向量与张量的代数运算和分析运算

1、本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。第一章矢量与张量1.矢量代数1.1向量的定义Einstein约定求和e仍与dij之间的关系2.张量代数2.1张量的定义2.2张量的运算2.3张量与矢量之间的运算2.4张量与张量之间的运算3.矢量分析3.1 Hamilton 算子3.2无旋场与标量势3.3无散场与矢量势Helmholtz 分解4.张量分析4.1矢量的梯度 4.2张量的散度和旋度4.3 V(AO)等公式4.4两个有关左右旋度的展开式 4.5 张量的Gauss公式和Stokes公式1向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间屏 中，建立直

2、角坐标系 工k,沿坐标气方向的单位向量为号& = 123），即其标架为慕电,曷 设从坐标原点。至点H的向量为点，它在所述坐标系中的坐标为（好），那么 可写成a =灼世1 +四勾+钓勺（1.1）设在中有另一个坐标系；舟七，其标架为富或阳，它与%闻,角之间的关系为（1.2）由于单位向量。上=123）之间互相正交，顷=1齐）之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有L =顼，其中上标表示转置。从（1.2）可反解出（1.4）向量皿在新坐标系。,元玖招 中的分解记为将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量皿的新坐标军6 =123)和旧坐标&=123)之间的关系，它是坐标变

3、换系数C应，广 技诲)的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质(如:长度、角度)不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义:一个有序数组版好)，如果在坐标变换下为关于变换系数%.(/ = 123)由(1.6)所示的一次齐次式，则称之为向量。1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成 = 务的2-1(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可

4、写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1至3求和。按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)皿=述航=彗系=ae(1.12)由此就得到了 (1.6)式的约定求和写法，&；=%.%. (i = 1,2,3)(1.13)今引入Kronecker记号，为=； :/京=1彩)(1.14)例如甬=1巡=0,。应用，单位向量之间的内积可写成%、气=如(1.15)向量点=%号和向量&=%勺之间的内积可写成a b = aiei - % =昭勺弓,气=以岛占掠=叩)(1.16)上式中最后一个等号是因为只有q 时，制才不等于零，在这里

5、角的作用似乎是 将j换成了，因而也称顼为“换标记号”。再引入Levi-Civita记号与我，L当3成为偶排列知为=4 T,当2点为奇排列(1.17)0.当孩J居中有相同者其中，氏分别取1, 2, 3中的某一个值。例如标;=闻31 = Eg = 1可关=鬼叫=闻匕=T，司口 = 4於=，。利用如#，向量之间的外积可写为弓艾勺=知其(1.18)隹罚= x岫=邛Kg(1.19)1.35与之间的关系Kronecker记号S”与Levi-Civita记号知,之间有如下关系We =用疤 -&以(1.20)证明1穷举法，先列出X 所有可能的81种取值情况，情形8JJw111112111231113然后逐个情

6、形证明，例如，情形1，马，故此情形(1.20)成立，。(1.21)证明2我们有双重外积公式将靖 代入(1.21)左右两边，得到(1.22)将上述两式代入(1.21)两边，移项，得由于弓的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。证明3利用Lagrange公式式(1.23)按证明2类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。证明4从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有其中分别为向量S那在标 中的坐标。按行列式的乘积法则，有(1.25)其中第二个等式应用了习等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得靖(1.26)注意到毒，以及换标记号客 和方 的意义，从(1.26)即得(1.20)

7、。证毕。2张量代数2.1张量的定义设 TOC o 1-5 h z A = Ajeiej(2.1)其中勾称为并矢基，它们共有9个，ele31 %与与殉(2.2)角世1殉角在坐标变换(1.11)之下，(2.1)成为A =(2.3)于是当=(2.4)从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组= l忌3)，在坐标变换下， 关于变换系数Gj为二次齐次式，则称戏为张量，也记作。鸟为其指标记号， A为其整体记号。张量4在并矢基乌下的9个分量，有一个矩阵月与之对应，记作Ai A2 AsA- A = 起 As(2.5)同一个张量在另一组并矢基&弓下所对应的矩阵为技， TOC o 1-5 h z Ai驾AsA

8、A,= Aji编孤（2.6）.WiJ2崔按（2.4）可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换，4 =（2.7）其中为坐标变换矩阵（1.3）。附注：上述张量的定义可以推广：一个广阶有序数组AgZ,在坐标变换（1.10）下，若服从的广次齐次式，. =c. -C- C- A- (2.8)则称之为广阶张量。按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，（2.1）所述的张 量为二阶张量，也可证明Levi-Civita记号知#为三阶张量。（2.8）式中的下标队 和Jr化=1卫广任） 取值范围也可不必限于从1到3,也可从1到冉，那么（2.8 ）式所定义的张量称为依 维空间中的阶张

9、量。本书所述张量，以后如不作说明均为三维二阶张量。2.2张量的运算张量A = A声i勺 与张量厅=与产勺 的和与差记为士占AB =（AiJ.BiJ.）eieJ.张量的转置记为泌，泌=为号勺不难验证，妲笠和也是张量。例如，（4/）=耳j =。混孔孔 =件瑚一个张量称为对称张量，如果Ar = A与对称张量所对应的矩阵H为对称矩阵。一个张量称为反对称张量，如果Ar = -A(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)与反对称张量4所对应的矩阵为反对称矩阵，我们将反对称矩阵记成(2.14)从(2.14)可以得出，= 一号件舟(2.15)(2.16)不难验证量。由于由(2.16)所定义的由

10、=见号 为向量，它称为相应于反对称张量的轴向， = ei 弓=以G目巳=C贰疽旧所以1 = ”/声= 称之为单位张量。(2.17)为一张量，张量的迹定义为J以(2.18)2.3张量与向量之间的运算张量A = 与向量皿=的号 有左右两种内积，4皿=鸟弭.,仅航=也护护j (勺 & =目(2.19)(2.20)从(2.19) (2.19)，可得左右两种内积之间有关系式a A = Ar a如果为反对称张量，由(2.19) (2.15),得A a = -如.河(2.21)(2.22)张量A = 始闩 与向量# = %号 有左右两种外积，且” =4/弓 乂5, = A舟诗泠。乩（2.23）。履=的乌xA

11、戒卢稿=祯田&（2.24）张量与两个向量您和白之间有四种运算，皿a=沔弓-4胖 演=告鸟点横,勺）（* 巳）=4 A=或处点口以白=气号亦axAxh=aiAJ.kb5sij.?sepe2.4张量与张量之间的运算两个张量与3之间的内积和外积如下A B =鸟弓弓-B渺0 = A*兽a （% -=鸟功卢&Ay B = 4 x B好疔5 =鸟号晶 y* = &*幻E并罪罪两个张量刃与厅之间有四种双重运算ab =心勺,电您=&热（为 巳）（勺 q=&晶AxB = &产声乂日渺咨5 = 4/ y ）& 气）=鸟&电弟乂春=勾强:8渺怦5 = WJ号巳）（ x，）=也与切弓= &弭.:垃卢围=勺如信 y 如

12、x%）=鸟月洒疗锅*q对于双重运算，先将外层的两个基和巳 按下面的符号进行运算，再将内层的两个 基.和气 按上面的符号进行运算。从双重运算可得两个有用的公式，=勾牛N 气=Aji1 顼 y） = &卢对孔=(为-鸟山1 + (也孑- &嵬+(Ai - WJ角(2.25)i：a =号弓：4评产& =辱气)k Xej) = 4&敏痒押%(2.26)=(&肉广理点切心% = A拼痔广可产产弓=此外，尚有关系式AX7=-AX7(2.27)(2.28)A = &利用(2.25)(2.26),能得到两个有用的定理定理2.1=H对称A = 0点nA = V证明 从(2.25)立即得到所需的结论。定理 2.2

13、 A=ffA=ff 日 A = u证明 首先，如果A=0，那么A=ff，从(2.26)得到A=0。其次，如果A = 0给出A=0(2.29)对(2.29)取迹，得A=0(2.30)将(2.30)代回(2.29)，即得A=0。证毕。 3向量分析3.1 Hamilton 算子记氏W-(3.1)由于3-3 8七=c _d_ dx- dXj dXj(3.2)可知算子服从向量的定义。设*)为三维区域皿 中的标量场，关于呼(r)的左右梯度为其中，下标中的逗号表示对其后坐标的微商，尸=工网。从上述两式可以看dxj出标量的左右梯度相等。设夜侦)为三维区域血 中的向量场，关于皿w 的左右散度为V-a =, a-

14、V =- 5 = ai?i，从上面两式可以看出向量的左右散度相等。关于向量场试，)的左右旋度为禹弓吊勾勺=2扭知对比,aV= a.e.xd.e. =.，对于点的左右旋度，有关系式Vxfl = -flxV标量场呼的Laplace算子为，寸甲=呵7 =a.押=%啊“ =向量场队的Gauss公式为(3.3)其中为区域皿的边界曲面，顼s，用为ae上的单位外法向量。向量场队的Stokes公式为 这里S为任意曲面，沦 为S的边界曲线，在边界游 上积分的环向与s的外法向 依右手定向规则：料指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。3.2无旋场与标量势对任意标量场呼有下述关系V x（V贵）=喝x 0/疗）=

15、物寿气=0（3.5）上式用到了关系仍”=啊责，因为本书总假定所出现的函数具有所需的各阶连续导数。（3.5）说明有势场呼是无旋场，其逆命题一般也成立，即有，定理3.1设皿为单连通区域技上的任意向量场，则Vxfl = A 存在诉，使得（3.6）证明 充分性由（3.5）即得。现证必要性，若= ，令*）=广协（3.7）这里命为皿 中的某个定点。不难验证，忒N即合所求。首先，（3.7）中的线积分由 于无旋假定而与路径无关，即朝仅为位置尸的函数。其次，从（3.7）可算出*=怪 证毕。如果区域是多连通的尚需加上单值性条件。3.3无源场与向量势对任意的向量场B有如下公式，(3.8)矿嘴）=喝-（a/疽稣与）=

16、虹书产加=o上式说明，具向量势的向量场其散度为零，即为无源场。此命题的逆命题也成立。定理3.2对区域上的任意向量场。，有V- = 0 。存在B，使得a = V xA(3.9)证明 充分性由(3.8)即得。关于必要性，下述的3即合所求，3时,)= 一何丁的住,由春翊(,z) = 0(3.10)其中伍1，互见)=底浓J =京，(如光气)为痘 中的定点。证毕。附注：定理3.2的证明中引用了定积分，因此区域必须具备凸性才可使定积分得以进行。关于一般区 域中的证明参见Stevenson(1954)的论文，此文还指出定理3.2 一般只对具有单边界的区域成立，对于有 多边界的区域还需补充一些条件。Helmh

17、oltz 分解对任意的向量场耳，它的二重旋度有如下表示Vx(Vx) = . x(勺脆勺=(快,一标她疽位)-%(3.11)利用(3.11)可得下面的重要定理定理3.3 (向量的Helmholtz分解)对区域皿 上的任意向量场。，总存在标量 势W和向量势3，使得皿=如+如8， 且矿3 = 0(3.12)证明令必，哗)=(痔叫”日依制亍(3.13)其中 p = -事 + 板 fV + 0 ，从(3.13),按 Newton 位势，有寸耳=a(3.14)将(3.11)代入(3.14)，得= V(V-)-Vx(yxH)(3.15)设俱=矿研b= -V，从(3.15)即得欲证之(3.12)式。证毕。4张

18、量分析向量的左右梯度均为张量(4.1)W =黑叩凸=5相应于向量左右梯度的矩阵为Vfl从(4.1),或(4.2),可得(V矿=V7(Va) = 7(aV)=V-a(4.2)(4.3)(4.4)4.2张量的散度和旋度张量的左右梯度均为向量从 (4.5)看出，对于特殊的张量叫，其左右梯度为张量的左右旋度仍为张量4 “ /税目尸出Sjk5eie5(4.5)(4.6)(4.7)(4.8)(4.9)与张量的旋度所相应的矩阵为(4.10)(4.11)(4.12)3P2 -41-3/2 222分3N 夹Aim-是 “1Ab 3- As 4_ Apl-Ap2 戏责 1 一也9咛 34 -Ab咛也可列出所相应的矩阵。从(4.8) (4.9)，可得(Vx A)r = -Ar xV当为对称张量时，由（4.10） （4.11）有J（yxA）=J（AxV）=O4.3矿（4力等公式我们有下面四个公式矿（4 a） =（V- A）-a + A. （oV）= （V,4）xfl +J4x（flV）（4.13）V（A-a