人教培优 易错 难题一元二次方程辅导专题训练及答案

1、一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收.2.关于x的方程(k1)x2+2kx+2=0求证：无论k为何值，方程总有实数根.设X,x2是方程(k1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=t+=+xT+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值.若不能，请说明理由.【答案】(1)详见解析；(2)S的值能为2,此时k的值为2.【解析】试题分析：(1)本题二次项系数为(k1)，可能为0,可能不为0,故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使0恒成立；(2)欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式

2、，代入数值计算即可.试题解析：(1)当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,1x=;有一个解；当k-1H0即kH1时，方程为一元二次方程，=(2k)2-4x2(k-1)=4k2-8k+8=4(k-1)2+40方程有两不等根综合得不论k为何值，方程总有实根-2k2(2)vxi+x2=,x1x2=二S=W+x1+x21-1v+工+jq+xi两衍-丁呵3-IkL4k-12Jt-1412k2&-Ik2+fr-1k-1=2k-2=2，解得k=2，当k=2时，S的值为2S的值能为2，此时k的值为2.考占.n八、元二次方程根的判别式；根与系数的关系.3.(问题)如图，在axbxc(长x宽x高，其

3、中a,b,c为正整数)个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？探究一:图图(1)如图，在2x1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2二学=3条线段,棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3x1x1=3.一-3x4如图，在3x1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=厂=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6x1x1=6.依此类推，如图，在ax1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有a(a+1)1+2+.+a=线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为2探究二:棱AC棱ACa(a+1)如图，在ax2x1个小

4、立方块组成的长方体中，棱AB上有一-一条线段,2x3上有1+2=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为a(a+1)3a(a+1)x3x1=22a(a+1)如图，在ax3x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有一-条线段,3x4上有1+2+3=厂=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为依此类推，如图，在axbx1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为探究二：a(a+1)如图，在以axbx2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有一2条线段，棱b(b+1)AC上有-22x3条线段，棱AD上有1+2=3条线段，则图中长方体的个数为3a(a+1)b(b+1)3ab(a+1)(

5、b+1)TOC o 1-5 h zxx3=. HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 224a(a+1)如图，在axbx3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有一2一条线段，棱ACb(b+1)3x4上有条线段，棱AD上有1+2+3=6条线段，则图中长方体的个数为22SA(结论)如图，在axbxc个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为(应用)在2x3x4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为.(拓展)如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论.a(a+1)【答案】探究一：(

6、3)；探究二：23ab(a+1)(b+1)探究三：(8)；【结论】2ab(a+1)(b+1)(5)3a(a+1)；(6)4abc(a+1)(b+1)(c+1)；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64,见解析.【解析】【分析】(3)根据规律，求出棱AB,AC,AD上的线段条数，即可得出结论；根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(8)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2,b=3，c=4

7、代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论【详解】a(a+1)解：探究一、(3)棱AB上共有线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，2a(a+1)a(a+1)则图中长方体的个数为X1X1=22、a(a+1)故答案为2a(a+1)探究二：(5)棱AB上有条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线2段，a(a+1)则图中长方体的个数为x6xl=3a(a+1),2故答案为3a(a+1)；a(a+1)b(b+1)(6)棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段,22a(a+1)b(b+1)ab(a+1)(b+1)则图中长方体的个

8、数为XX1=224故答案为ab(a+1)(b+1)4探究三：(8)棱AB上有a条线段，棱AC上有b(；+1)条线段，棱AD上有6条22线段，a(a+1)b(b+1)3ab(a+1)(b+1)则图中长方体的个数为xx6=2223ab(a+1)(b+1)故答案为2a(a+1)b(b+1)c(c+1)(结论)棱AB上有一-一条线段，棱AC上有一-一条线段，棱AD上有一-一条线厶厶厶段，a(a+1)b(b+1)c(c+1)abc(a+l)(b+l)(c+1)则图中长方体的个数为XX=2228、abc(a+1)(b+1)(c+1)故答案为(应用)由(结论)知，abc(a+1)(b+1)(c+1)在2x3

9、x4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为2x3x4x(2+1)x(3+1)x(4+1)=180,8故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x,由题意得X3(X+1)3=1000,8x(x+1)3=203x(x+1)=20，X=4,x2=-5(不合题意，舍去)4X4X4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目4某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱为了促销，该水果店决定降价销售市场调查反映:若售价每降价1元，每星期

10、可多卖10箱.设该苹果每箱售价x元(40WXW60)，每星期的销售量为y箱.求y与x之间的函数关系式；当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10 x+780；(2)57；当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元，则多销售的数量为60-x,解一元二次方程即可求解,表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：(1)T售价每降价1元，每星期可多卖10箱，设该苹果每箱售价x元(40WXW60)，则y=180+10(60-x)=-10

11、x+780,(40 x60),(2)依题意得：(x-40)(-10 x+780)=3570,解得：x=57,当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.(3)设每星期的利润为w,W=(x-40)(-10 x+780)=-10(x-59)2+3610,-100；(2)X=0,x2=2.【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根可知A二b2-4ac0,即可求出n的取值范围；根据题意得出n的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】根据题意知，人=b24ac=(2)24xlx-(n-1)0解之得：n0；vn0且n为取值范围内的最小整数，n1，则方程为x2-2x0，即x(x-2)0，解得0,

12、x22.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程ax2+bx+c0(a丰0)的根与Ab2-4ac的关系(当人0时，方程有两个不相等的实数根；当A0时方程有两个相等的实数根；当A0时，方程无实数根)是解题关键.某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m(单位：件)是关于时间t(单位：天)的一次函数，调研所获的部分数据如下表:时间t/天131020日销售量m/件98948060这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：y二41+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m关于t的函数关系

13、式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a4）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间！的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）m=-2t+100；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.5a4.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润阳销售量x每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围【详解】（1）设

14、该函数的解析式为:m=kx+b98=k+b由题意得：94=3k+b解得:k=-2,b=100二m关于t的函数关系式为:m=-2t+100.（2）设前20天日销售利润为W元，由题意可知，W二（-2t+100）-1+25-2014丿1二-12+15t+1002=-1（t-15）2+612.521-0，.当t=15时，W最大二612.5.在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元3）由题意得：W=(-2t+1004t+25-20-a=-12+（15+2a）t+500-100a，2对称轴为：t=15+2a，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，且1t20,a2.5,2.5a4.【点睛】

15、本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.7.已知关于x的方程（k】）x2+（2-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2.（】）求k的取值范围.（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？13【答案】（1）k0,可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值.可得：k-1H0且【详解】（1）方程（k-1）X2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x,x2,=-12k+130，13解得：k迈且旳（2）假设存在两根的值互为相反数，设为xT，x2.2k-33

16、-x1+x2=0,.-k-r=0,.k=213.k不存在又:k且kH1,丄厶【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握耳，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q8已知:如图，在RtAABC中，ZC=90。,AC=8cm,BC=6cm.直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E.同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t（0t5）.当t为何值时，四边形PFCE是矩形？当AABC面积是APEF的面积的5倍时，求出t的值；V305+J5【答案】(1)t=；(2)t=亠。112【

17、解析】【分析】首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.根据面积相等列出方程，求解即可.【详解】解：(1)在RtAABC中，tZC=90。,AC=&BC=6，AB=AC2+BC2=倍+62=10PAPEAE10-2tPEAETOC o 1-5 h z.PE/BC,.=,=ABBCAC106834.PE=5(102t),AE=5(102t)，当PE=CF时，四边形PECF是矩形，3/“、30.5(102t)=t解得t=242411o(2)由题意=12+-t=5x2x6x8厶JJJ厶5+J整理得t25t+5=0，解得t=2.t=沁5，AABC面积是

18、APEF的面积的5倍。2【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握9.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为ABC三边的长.如果x=-1是方程的根，试判断厶ABC的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断厶ABC的形状，并说明理由；如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.【答案】ABC是等腰三角形；(2仏ABC是直角三角形；x1=0，x2=-1.【解析】试题分析：(1)直接将x=-1代入得出关于a,b的等式，进而得出a=b,即可判断厶ABC的形状；利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断ABC的形状；利用ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可.试题解析：(1)ABC是等腰三角形；理由：x=-1是方程的根，(a+c)x(-1)2-2b+(a-c)=0，a+c-2b+a-c=0，.a-b=0，.a=b，.ABC是等腰三角形；T方程有两个相等的实数根，.(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，.4b2-4a2+4c2=0，.a2=b2+c2，.ABC是直角三角形；当厶ABC是等边三角形，.(a+c)x2+2