对“重心”概念的深入理解

1、x对“重心”概念的深入理解物体“重心”的位置为什么可以用悬挂法确定？用物体的“重心”能做些什么运算？高中物理课本除了简单的说明了质量分布均匀、形状规则的物体重心在几何中心外，对其他情况基本上语焉不详，然而高考题和平时训练题中，又大量存在可以变形的重绳、链条、液柱等模型，这些模型里重力做功的计算到底如何简化？只处理质点模型的高中课本基本上没有提供任何思路。鉴于此，笔者认为有必要为同学们深入的挖掘“重心”的概念定义、确定方法和运用途径。一、人教版高中物理必修1对“重心”的表述1、定义：“一个物体的各部分都受到重力的作用，从效果上看，我们可以认为各部分所受的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。

2、”2、说明：“质量分布均匀的物体重心的位置只跟物体的形状有关。质量分布不均匀的物体，重心的位置除了跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。”在此基础上，课本以举例的方式说明了，形状规则的匀质物体的重心在几何中心，质量分布不均匀的物体重心会向质量较大的一边偏移；然后，直接说薄板重心可以通过两次悬挂来确定。所有这些，都没有做任何解释：为什么就是这样的？二、深入理解课本对“重心”的定义“重心”的定义里，有这么一个关键的要求：从某些角度看，把重力看做集中作用于“重心”，应该与重力分散的作用在物体各个部分产生的“效果”相同。那么，“重心”概念是从重力产生的什么效果角度看问题的呢？课本在这里没做任何

3、解释。按高中力学里通常的思路，力的效果往往是从产生加速度角度进行分析的，不过，当物体不能视为质点时，各部分的加速度就未必相等，物体就可能存在旋转，这时，还仅仅从加速度角度分析问题，可能就不够了。我们知道，当不可视为质点的物体有固定转轴时，力的作用线不通过转轴，就会产生使物体绕轴转动的效应，此时力的效果，就应该用力和力臂的乘积来描述。Mg*M+m)gmmg如右图所示的一维系统的情形，用悬挂法确定“轻杆、质点”系统的重心位置时，只有确保系统在绳子拉力和通过重心的重力共同作用下不绕悬挂点转动时，悬点的位置才是系统重心的位置,此时绳子拉力和通过重心的重力才满足二力平衡的条件：等大反向共线。其实，共线一

4、一而不仅仅是等大反向一一其实就是确保系统不转动的意思。基于上述分析，在上例中，如果我们沿杆方向建立直线坐标系，质点M的坐标为x1，m的坐标为x2,则重心C的坐标xC应满足Mgx1mgx2即Mg(xCxjmg(X2xC)变形得xCMgx1mgx2Mgmg或者写作migxixC1LCmgjiXM壬#*x2m.0MgiCx2xmgF(M+m)g对于二维、三维物体，为了保证重心位置的确定性，如果在物体上建立固联的二维、三维坐标系，然后垂直这些坐标轴方向竖直稳定悬挂物体时，也应满足类似的平衡要求，即重心在物体上的位置坐标为migximigyi，yCmgCm.g珂，zC约掉重力加速度g,则重心的位置就是质

5、心的位置m.x.m.y.亠,ycmimi因此，在均匀重力场中，重心位置和质心位置重合。三、关于“重心”的一些必然的结论xczcm.z.iim.i1、基本结论重心的位置，实际上物体上各部分位置对重力的加权平均值，或者说是各部分位置对质量的加权平均值：xcmm1x1mm2x2叫m总丿111、ycm总丿111、总mm1总x.y1_mm2y2旦zcm总丿111、总mm1总z1_mm2z2Zjm.因此，必然有如下两个结论：1）质量分布均匀且形状规则的物体的重心在物体的几何中心处。比如匀质细直杆重心在杆的中点处，匀质圆形薄板重心在圆心处，正多边形薄板重心在正多边形的中心处，匀质球体重心在球心处，匀质圆柱体

6、的重心在中轴线中点处等。而匀质圆环或者匀质球壳的重心，在环心或球心处，显然，物体的重心未必在物体上。2）质量分布不均匀或形状不规则的物体的重心会偏向质量分布较多的一侧。所以，空载的货车重心靠前，而满载的货车（连同货物）的重心相对原来会向后、向上偏移。2、其他结论（1）物体各部分所受重力对重心的力矩的矢量和为0；物体各部分所受重力对某点O的力矩，等于物体总重力过重心C时对O点的力矩。（2）物体若分为几部分，则可先将各个部分的重心确定后，将物体等效为几个处在各自重心位置处的质点，然后再求这几个质点的系统重心位置，这就是该物体的重心位置。【证明】设物体可以分为A、B等两个部分，则有每个部分的重心位置

7、分别为则物体的重心位置为xAxBmAixAiyK，yAmBixBj，mxBL，mBjzAzBmAizAimAimkxmAixAi叫ixxAmAixBmBjmAxAkmAiBjmBjmBxmAimBjmAAab，mBmkmBjyyAmAimBjmAyA喩mAiBjmBjmAimBjmB，AmBmkzzAmAizBmBjmAzAmByycAimBjmBjmBjzBjmBjxcmBzzcmkmAmBm叽mz物体分为更多部分，证明与此类似。Bj（3）物体的重力势能可以用物体总重力乘以重心高度计算；若只有部分位置发生的变动，可以用变动部分的总重力乘以该部分重心高度的变化计算重力势能的变化。因此，重力对物

8、体所做的功可以用物体的总重力乘以重心高度变化来计算；若只有部分位置发生的变动，可以用变动部分的总重力乘以该部分重心高度的变化计算重力的功。【证明】以参考平面所在高度为原点，沿竖直向上方向建立y坐标轴，则有各部分的位置坐标与高度相等yi=hi；而物体重力势能等于各部分重力势能之和，即Epmighimigyiy。igEpqghiqg%ycm.g用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端I/A【例题】（2017全国卷III）如图，一质量为m、长度为I的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂严乍wI。重力加速&度大小为g。在此过程中，外力做的功为（）A-1mglB.imglTOC o 1-5 h z

9、96yCmglD.imgl32a解析选AQM段绳的质量为m=2m,未拉起时，QM段绳的重心在QM中点处，与M点距离为11,33绳的下端Q拉到M点时，QM段绳的重心与“点距离为Ql-1PI,此过程细绳重力势能增加为EpG=m（gJ3=-1mgl，将绳的下端Q拉到M点的过程中，由能量守恒定律，可知外力做功W=AEpG1=mgl，可知A99项正确，B、C、D项错误。四、重心位置的实验测定：平衡法物体只受两个力而处于平衡状态时，由力的平衡，这两个力应等大反向，由力矩的平衡，这两个力还必须共线，因此，二力平衡的条件是两个力等大、反向、共线。当将物体由竖直细绳悬挂而处于静止状态时，由二力平衡条件，易得绳子

10、拉力与过重心的总重力必须等大、反向、共线，因此，绳子所在直线，必然通过重心；或者说，如果重心不在绳子所在直线时，以绳系点为转轴，总重力可以等效作用在重心处，则重力的总力矩就不等于零，物体就会在重力作用下旋转。据此可知，只需要将绳系在物体上两个不同的点进行竖直悬挂，就可以用两次悬绳所在直线的交点来确定重心的位置。对于薄板或者细杆，用支点支撑而静止平衡时，同样的，由二力平衡可知，过重心的总重力必然在支点的正上方。五、关于“重心”的常见误解1、以为重心是重力的作用点。重力是物体受到地球吸引而产生的力，实际上作用于物体上的每一部分，重心不过是将作用于各部分的重力等效集中作用在一点的那个点，这个点甚至可以不在物体上，当然就不能说是物体的重力是作用在重心上的。2、以为重心时物体上最重