初三《圆》知识点及定理

1、一、圆的概念圆学问点及定理外离（图 1）无交点dRr；Rr；外切（图 2）有一个交点dRr；相交（图 3）有两个交点Rrd集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；内切（图 4）有一个交点dRr； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；内含（图 5）无交点dRr； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径drdRrdr图 4dRrR图 2的圆；（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线图1（也叫中垂线） ； 3、角的平

2、分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；d 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；RrR 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直图 3线距离都相等的一条直线；图5二、点与圆的位置关系r点 C 在圆内；ABrrdddO五、垂径定理D21、点在圆内dr垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；2、点在圆上dr点 B 在圆上；推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；3、点在圆外dr点 A在圆外；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直

3、径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧三、直线与圆的位置关系无交点；C以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中1、直线与圆相离d个即可推出其它3 个结论,即：2、直线与圆相切dr有一个交点； AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD3、直线与圆相交dr有两个交点；中任意 2 个条件推出其他3 个结论；rdd=r推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；A弧 AC即：在 O 中, AB CDCOD弧 BDABOCEE四、圆与圆的位置关系六、圆心角定理OBFD圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距

4、相等；此定理也称1 推 3 定理,- 1 - / 4 ACB即上述四个结论中,3 个结论,九、切线的性质与判定定理只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；即： AOB DOE；AB DE； OC OF； 弧BA 弧 BD两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即： MN MN 是 O的切线OA且MN过半径OA外端七、圆周角定理BDOCA（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）MON1、圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和

5、圆周角推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；AOB2ACBC以上三个定理及推论也称二推肯定理：A2、圆周角定理的推论：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 相等的圆道其中两个条件就能推出最终一个；周角所对的弧是等弧；即：在 O 中,C 、D 都是所对的圆周角CBBOC十、切线长定理BPOECBOECD切线长定理：A从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；是半圆,所对的弦是直径；BOO即： PA 、 PB是的两条切线CA两即：在 O 中

6、, AB 是直径或C90A PAPBC90 AB 是直径PO 平分BPAD推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形C十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交, 交点分得的是直角三角形；即：在ABC中,OCOAOB条线段的乘积相等；PA ABC 是直角三角形或C90A即：在 O中,弦 AB 、 CD 相交于点 P ,是它分注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上 PA PBPC PD的中线等于斜边的一半的逆定理；（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半八、圆内接四边形D直径所成的两条线段的比例中项；BODAA即：在 O 中,直径ABCD ,圆的

7、内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,CE2AE BE四边形 ABCD 是内接四边形CBAD180BD180DAECA（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割PDO线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长BCBE- 2 - / 4 的比例中项；即：在 O 中, PA是切线, PB 是割线PA2PC PBCB（3）正六边形AlD1同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAB 中 进 行 ,（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条AB OB OA1:3 : 2.O线段长的积相等（如上图）；即：在 O

8、中, PB、 PE 是割线B PC PBPD PEA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式十二、两圆公共弦定理1、扇形：（1）弧长公式：ln R；B圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆180的的公共弦；A（2）扇形面积公式：S2 n R1lROS如图：O O 垂直平分 AB ；O1O23602即：O 、O 相交于 A 、 B 两点Bn ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S：扇形面积O O 垂直平分 AB2、圆柱：AD十三、圆的公切线A（1）圆柱侧面绽开图两圆公切线长的运算公式：CS 表S 侧2S 底=2rh2r2BC底面圆周长母线长O1C1（1）公切线长：Rt O O

9、C 中,AB2CO 122 O O 2CO 22；O2（2）外公切线长：CO 是半径之差；内公切线长：CO 2A（2）圆柱的体积：V2 r hB1（2）圆锥侧面绽开图是半径之和；C十四、 圆内正多边形的运算（1） S 表S 侧S 底=Rrr2O（1）正三角形Rt BOD中进O（2）圆锥的体积：V12 r hR在 O 中ABC是正三角形,有关运算在行：OD:BD OB1:3 : 2；BD3十六、圆中常见的帮助线ACrB（2）正四边形 同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAE 中 进 行 ,B1）作半径,利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距,利用垂径定理进行证明或运算,或利用“

10、 圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明OE:AE OA1:1:2：O3）作半径和弦心距,构造由“ 半径、半弦和弦心距” 组成的直角三角形进行运算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角AED- 3 - / 4 5 作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角A B C DCM6 遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角7 遇到切线,作过切点的半径,构造直角例 3 如图 23-12 ,在半径为4 的 O中, AB、CD是两条直径, M为 OB的中点,延长8 欲证直线为圆的切线时,分两种情形：1 如知道直线和圆有公共点时,常连结交 O于 E,且 EMMC,连结 OE、DE,公共点和圆心证明直线垂直；2 不知道直线和

11、圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径求： EM的长9 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点例 4 如图 23-13 , AB是 O的直径, PB切 O于点 B,PA交 O于点 C, PF分别交10 遇到三角形的内心,常作：1 内心到三边的垂线；2 连结内心和三角形的顶AB、BC于 E、D,交 O于 F、G,且 BE、BD恰好是关于 x 的方程 其中 m为实数 的两根1 求证： BEBD；点11 遇相交两圆,常作：1 公共弦； 2 连心线12 遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线13 求公切线经常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一 条直角边2 如,求