初三一轮教案锐角三角函数与解直角三角形

1、第 28 章解直角三角形与中考中考要求及命题趋势 1、懂得锐角三角形函数的定义和把握特殊三角函数值并会利用其运算或证明；2、会由已知锐角求它的三角函数,由已知三角函数值求它对应的锐角；3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简洁实际问题；20XX 年将连续考查锐角三角形函数的概念, 其中特殊三角函数值为考查的重点；解直角三角形为命题的热点,特殊是与实际问题结合的应用题 . 4.本节内容课时支配 :分 3 课时 应试计策 1 要把握锐角三角函数的概念,会依据已知条件求一个角的三角函数,会娴熟地 运用特殊角的三角函数值,会使用科学运算器进行三角函数的求值；2 把握依据已知条件解直角三角形的方法,题

2、；详细做到：运用解直角三角形的学问解决实际问1）明白某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题,建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时,会通过作适当的帮助线构造直角三角形,使之转 化为解直角三角形的运算问题而达到解决实际问题第一节 锐角三角函数教案 一、本节教学要求：锐角三角形：基本要求： 通过实例熟悉锐角的正弦、余弦、正切；知道 30 、45 、60 角的 三角函数值；会用运算器由已知锐角求它的三角函数值或由已知三角函数值求它 对应的锐角；略高要求： 由某个角的一个三角函数值, 会求其余两个三角函数值； 会运算含有 特殊角的三角函数式的值；较高要求：能运用三角函数

3、解决与直角三角形有关的、简洁实际问题；二解题思路：如求边,用未知边比已知边,找已知角的三角函数；如求角,用已知边比已知边,找未知角的三角函数；挑选关系式： a 尽量用原始数据；. b 用便利算的数据； c 能用乘算不用除算的数据；非基本元素,例如中线、高线、角平分线, 周长、面积等,化成基本元素求解三. 教学目标 : 1 使同学懂得锐角三角函数的定义并会在解题中敏捷应用 和建模思想 . , 培育同学的方程思想2. 通过锐角三角函数的实际应用培育同学分析题的才能和解题技巧 , 在建模中构 建解题模式 . 四. 教学重难点教学重点： 使同学会利用特殊值进行运算或证明；会利用锐角三角函数解决简洁的实

4、际问题,如方向角问题,或仰角俯角等问题；教学难点：锐角三角函数的实际问题；【回忆与摸索】1、锐角 A的三角函数（按右图 Rt ABC填空）A的正弦： sin A = , A的余弦： cosA = , A的正切： tan A = , 2、锐角三角函数值, 都是 3、正弦、余弦值的大小范畴：；cos A4、填表实数（正、负或者 0）；sin A6、在 Rt ABC 中, C90,ABc,BCa,ACb, 1 ）、三边关系（勾股定理） ： 2 ）、锐角间的关系：+= 90 B= ；3）、边角间的关系： sin A = ； sinB = ；cosA = ； costan A = ； tan B = ；

5、【例题经典】一 锐角三角函数的定义和性质【例 1】在 ABC中, C=90 如 cosA= 1 2,就 tanB=_; 考查学问点：特殊角的三角函数值；（2）. Rt ABC 中,C900,BC,3tanB5,那么AC_.3考查学问点：锐角三角函数；【例 2】（1）已知： cos =2 3,就锐角 的取值范畴是（） A0 30 B45 60 C30 45 D60 90（2）（20XX年潜江市）当 45 cos sin Bsin cos tan Ctan sin cos Dcot sin cos考查学问点：会由特殊角的三角函数值比较大小；【例 3】解答以下各题（1）如 为锐角,且sin =cos

6、40 ,求 ；（2）已知 sin +cos =2 ,求 sin 2cos 的值；1考查学问点：1sinAcosB;（2）公式：sincos2二课堂练习1在直角三角形中,各边的长度都扩大原先的（）m倍,就锐角 A 的各三角函数值A都扩大到 m倍 B 都扩大到（ m+1）倍 C 不变 D不能确定2已知为锐角,且cos4,就 sintan53在 Rt ABC中, C=90 ,tan A2,AC=4,就 BC= 3三特殊角的三角函数值【例 4】（1）在平面直角坐标系内P 点的坐标（cos30,tan45）,就 P 点关于 x轴对称点 P的坐标为（）1 3,D3,1A31, B,13C2222考查学问点

7、：特殊角的三角函数值与直角坐标系中的对称点相结合；（2）运算sin 30-2 1 cot 30 -tan45 sin 60cos45考查学问点：熟记特殊角的三角函数值；（3）在ABC中,C900,sinA3, 就 cos B 等于 2A、1 B、3 C 2、2 D 2、12考查学问点：三角函函数之间的关系；四课堂练习：11已知：是锐角,cos 2,tan =_；22已知 A 是锐角,且 tan A 3 , 就 sin A_；20 03tan 300 tan 450；1 tan 30 tan 454cos 60 sin 245 1 tan 2 30 cos 30 sin 30；45在 ABC中,

8、如（ sinA-1）2+| 3-cosB|=0 ,求 C的大小2 26当锐角 A 的 cos A 2时, A 的值为（）2A 小于 45 B 小于 30 C 大于 45 D 大于 60提高题：1如图,在 O 中,弦 AB=1.8cm,圆周角ACB=30o求 O 的直径A BOC2、如图,已知 AB 是 O 的直径,点 C、D 在O 上,且 AB5,BC3就 sinBAC= ；sinADC= 说明：这两道题是在圆中构造直角三角形,转化用三角函数求解；3、为了搞好防洪工程建设,需要测量岷江河某段的宽度,如图 1,一测量员在河岸边的 A 处测得对岸岸边的一个标记 B 在它的正北方向,测量员从 A 点

9、开头沿岸边向正东方向行进了 150 米到达点 C 处,这时测得标记 B 在北偏西 30 的方向（1）求河的宽度？（保留根号）（2）除上述测量方案外,请你在图说明：通过此题考查同学的动手才能；备选练习练习：2 中再设计一种测量河的宽度的方案1、在ABC 中,C90,就以下关系正确选项：（）A、ACABsinAB、BCACsinBC、ACABsinBD、ACBCtanA2、已知mtan30tan60,就 m 的值等于A、12B、32C、D、不确定3、在 RtABC 中,C90,a,2sinA1, 就cos A3A、232B、28C、89D、194、已知在C 中,C90, 设sinAm , 当是最小

10、的内角时,m 的取值范畴是（）A、m1B、m2C、m3D、m322325. 在 Rt ABC中, C=90 ,以下式子不肯定成立的是（） A sinA=sinB BcosA=sinB CsinA=cosB DA+B=906. 在 Rt ABC中,C=90 ,当已知 A 和 a 时,求 c,应挑选的关系式是 （ Ac= a Bc= a Cc=a tanA Dc=a cotA sin A cos A7. 已知 A 是锐角,且 sinA= 3,那么 A 等于（）2 A30 B45 C60 D758 已知 Rt ABC中, C=90 , tanA=4,BC=8,就 AC等于（）3 A6 B32 C10

11、 D12 39. 运算 2sin30 +2cos60 +3tan45 =_10. 已知 ABC中, C=90 ,AB=13,AC=5,就 tanA=_11. 运算以下各题（1）sin230+cos245 +2 sin60 tan45 ；（2）cos2302cos260n60. tan6012. 已知3tanA30就13. 已知 tan5 ,12是锐角,就 sin14. 等腰三角形底边长10cm,周长为 36cm,就一底角的正切值为15. 在 ABC 中, ACB 90,cosA= _. 16. 在直角三角形中,各边的长度都扩大（）3 ,AB 8cm ,就 ABC 的面积为 33 倍,就锐角 A

12、的三角函数值1A 也扩大 3 倍 B 缩小为原先的 C 都不变 D 有的扩大,有的缩小317. 以直角坐标系的原点 O为圆心,以 1 为半径作圆； 如点 P是该圆上第一象限内的一点,且 OP与 x 轴正方向组成的角为 ,就点P 的坐标为）（）A cos ,1 B 1,sin C sin ,cos D cos ,sin 18. 已知 a 为锐角, sina=cos500就 a 等于（A 200B 3000 C 400 D 5019. 如 tana+10 =3 ,就锐角 a 的度数是 A 、20 B、30 C、35 D、50其次节 解直角三角形的应用 （1）一、本章教学要求：解直角三角形：基本要求

13、： 知道解直角三角形的含义；略高要求：会解直角三角形； 能依据问题的需要合理作出垂线, 构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组成图形的问题；较高要求： 会解有特殊条件的四边形中的运算问题；综合运用直角三角形的性质解决简洁的实际问题；二、本章在中考的占分比例：1.20XX 年 18 题解答 5 分； 19 题综合 6 分 2.20XX 年解答 5 分 320XX年 19 题综合 5 分； . 三本章考点概述：会设计简洁的测量方案； 能1 同学必需背熟特殊角的三角函数值,娴熟把握三角函数值的运算和性质,拿到基础分 ; 2 本章是理论联系实际的重要章节,有关生活中的测量是中考命题的新动向；

14、3 把三角函数融入到二次根式、 一元二次方程等其它学问体系中进行考察是中考 热点之一；4 本章是其它章学习的工具,它如与相像形、圆、一元二次方程联合命题时,往往也是一个压轴题；学问整理 1解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些边和角求未知的边和角叫做 解直角三角形2解直角三角形的类型： 已知一边,一锐角；已知两边3解直角三角形的公式：AcB（1）三边关系： a 2+b 2=c 2,（2）角关系： A+B=_,b（3）边角关系： sinA=a c,sinB=b c,cosA=b c,CacosB=a c,tanA=a b,cosA=b a,tanB=b a,（1）A4仰角、俯角图中角可以看作

15、是点 A 的角也可看作是点 B 的角；5、（1）坡度（或坡比）是坡面的高度（ h）和长度（ l）的比；记作 i , 即 i = ；（2）坡角坡面与水平面的夹角；记作 ,有 i h =tan lB,坡面就越C（3）坡度与坡角的关系：坡度越大,坡角 就越坡度： AB的坡度 i AB=AC,BC 叫坡角, tan =i=ACBC6象限角： OA：北偏东 60 ,OB：东南方向,OC：正东方向, OD：西偏南 70 北A西DO 7060 45BC东南【回忆】转化- 直角三角形问题常用术语视角坡度方位角解直角三角形一【例题经典】【例 1】在 Rt ABC中, C90 ,由以下条件解直角三角形：（1）已知

16、 a4 3 ,b2 3 ,就 c= ；（2）已知 c20,A60 ,就 a= ；（基此题）在 Rt 中,知道两个元素,用三角函数或勾股定理求其它的元素；【例 2】如图,河对岸有铁塔 AB ,在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30 ,向塔前进14 米到达 D,在 D 处测得 A 的仰角为 45 ,求铁塔 AB 的高；（较高题）A 分析：（1）此题让同学把握设参数（BD=AB=x ）2 转化在 Rt 用三角函数求解 . 二课练习C D ABB 1斜坡的坡度是1:3,就坡角_ _.（基本）B ,当30m2一个物体 A点动身,在坡度为1:7的斜坡上直线向上运动到时,物体上升（）基本A 30 m B 3

17、0 m C 7 83如图,已知两座高度相等的建筑物32m D 不同于以上的答案AB 、CD 的水平距离 BC60 米,在建筑物 CD 上有一铁塔 PD,在塔顶 P 处观看建筑物的底部 B 和顶部 A,分别测行俯角0 45,0 30,求建筑物 AB 的高；（运算过程和结果一律不取近似值）较高三【例 3】（07 辽宁）为了农田浇灌的需要,某乡利用一土堤修筑一条渠道,在 堤中间挖出深为 1.2 米,下底宽为 2 米,坡度为 1：0.8 的渠道（其横断面为等腰梯形）.,并把挖出来的土堆在两旁,使土堤高度比原先增 加了 0.6 米（如下列图）求：（1）渠面宽 EF；（2）修 200 米长的渠道需挖的土方

18、数【例 4】（07 云南）已知：如图,在 ABC中,B = 45 ,C = 60 ,AB = 6求BC的长 结果保留根号 . 较高分析 : 在三角形中求线段长 , 一般在 Rt 中求 , 添加帮助线 , 构造 Rt 求解 . 四课堂练习1、某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i1:3,坝外斜坡的坡度105i1:1,就两个坡角的和为（）A 90B 60C 75D 2、电视塔高为 350m,一个人站在地面,离塔底O肯定的距离 A处望塔顶 B,测得仰角为 60 ,如某人的身高忽视不计时,0OA _ m. 3、如图沿 AC方向修隧道 , 为了加快施工进度 , 要在小山的另一边同时进行 . 已知AB

19、D=150 0,BD=520m,B=600,那么开挖点A,C,E 成始终线 . 提高题：E 到 D 的距离 DE=_m时, 才能使 1 CD已 知 ： 如 图 所 示 , 在 ABC 中 , BAC=90 , AD BC 于 D, AB=4,9,设DAC,求sin 和 tan 的值；5AaBDC分析：欲求 sin 和 tan ,从图形上看 角在直角三角形ADC中,先运算直角三角形 ADC各边的长,然后用定义求sin 和 tan ；2 如图,河旁用一座小山,从山顶 A 处测得河对岸 C的俯角为此 30 ,测得岸边点 D的俯角为 45 ,已知河宽 CD为 50 米,现需从山顶 A 到对岸点 C拉一

20、条笔直的缆绳 AC,求缆绳 AC的长（答案带根号）E A30C D点评：此题考查了三角函数的意义,俯角的意义,平行线的性质,直角三角形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,一元一次方程的解法,一元二次方程的解法等； 要求考生第一将实际问题转化为解直角三角形的问题,考查了同学利用转化思想、方程思想、数形结合思想解决问题的才能；备选练习：1某人沿着坡度 i=1: 3的山坡走了 50 米,就他离地面 米高；2如图,在坡度为 1：2 的山坡上种树,要求株距（相邻两树间的水平距离）是 6 米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米；B N C A （第 2 题）（第 3 题）M D 3如图,在ABC中,

21、C=90 ,AC=8cm,AB的垂直平分线 MN交 AC于 D,连结 BD,如 cosBDC= 3 ,就 BC的长是（）54如图, 两建筑物的水平距离为 am,从 A点测得 D点的俯角为 a, 测得 C点的俯角为 , 就较低建筑物 CD的高为 A.a m B.a tan m C.a/tan m D.atan tan m （第 4 题）（第 5 题）5如图,钓鱼竿 AC 长 6m,露在水面上的鱼线 BC 长 3 2 m,某钓者想看看鱼钓上的情形,把鱼竿 AC 转动到 A C 的位置,此时露在水面上的鱼线 B C 为 3 3,就鱼竿转过的角度是 A60B45C15D906 ABC中, C90 1

22、已知： c 83 ,A60 ,求 B、a、b 2 已知： a3 6 , A30 ,求 B、b、c. 7如图山脚下有一棵树 AB,小强从点 B沿山坡向上走 50m到达点 D,用高为 1.5m的测角仪 CD测得树顶的仰角为 10 , 已知山坡的坡角为 15 , 求树 AB的高 . 精确 到 0.1m, 已 知 sin10 0.17,cos10 0.98,tan10 0.18,sin15 0.26,cos15 0.97,tan15 0.27 8如图,已知 MN表示某引水工程的一段设计路线,从M到 N 的走向为南偏东30 ,在 M的南偏东 60 方向上有一点 A,以 A 为圆心, 500m为半径的圆形

23、区域为居民区；取 MN上另一点 B,测得 BA的方向为南偏东 75 . 已知 MB=400m,通过运算回答,假如不转变方向,输水线路是否会穿过居民区？9. 化简:1-2sinacosa其中 0 a90 分析：利用三角函数的关系和增减性及有界性即可求解； 10. 大路 MN和大路 PQ在点 P 处交汇,且QPN30 ,点 A 处有一所中学,AP=160m,一辆拖拉机以 3.6km/h 的速度在大路 MN上沿 PN方向行驶,假设拖拉机行驶时,四周 100m以内会受噪声影响,那么,学校是否会受到噪声影响？如果不受影响,请说明理由；假如受影响,会受影响几分钟？N P A Q M 第三节解直角三角形的应

24、用 2 教学目标：1通过本节练习使同学能够娴熟解决简洁的实际问题,培育肯定的解综合 题的才能；2通过解直角三角形的过程使同学建立解题的基本模型,培育解题技巧；一、重点难点 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法；前者又是复习 解直角三角形的难点,更是复习本部分内容的关键；二、中考导向 把握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步争论 任意角三角函数的重要基础； 因此,解直角三角形既是各地中考的必考内容,更是热点内容； 个别省市也有小型综合题和创新题；用题显现；三复习建议：（1）重视锐角三角函数定义的学习；（2）学会合理地设参数；（3）树立解直角三角形的意识

25、；（一）学问点回忆几乎每份试卷都有一道实际应1. 解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素,可以“ 知二可求三”,但“ 知二” 中至少应当有一个是边 . 1定义：已知边和角（两个,其中必有一边）全部未知的边和角；2依据：边的关系：a2b2c2角的关系： A+B=90 边角关系：三角函数的定义；留意： 尽量防止使用中间数据和除法；2坡度： i = 1:m = h/l = tan北 ；hli=1:m坡角 : . 3. 方位角：北偏 西30a东南 偏 东 704仰角与俯角：铅垂线仰角水平线俯角5.互余两角的三角函数关系：sin90 -=cos;6.三角函数值随角度变化的关系 7.查三角函数表 8.对

26、实际问题在两个直角三角形中, 都缺解直角三角形的条 解直角三角形（二）；【例题经典】件时,可用列方程的方法解决；【例 1】1如图 2,已知 A BC 中 C Rt, ACm,BAC,求 A BC 的面积（用 的三角函数及 m 表示）分析：要求 A BC 的面积,由图只需求出 BC；解：由 tanBACBCm mtan1m2tanACBCACtanBACACm,BACBCmtanSABC1AC BC1222考查学问点：会用字母表示边角的关系；2某片绿地势状如下列图,其中 CD=100m,.求 AD 、BC 的长ABBC,CDAD ,A=60 , AB=200m,【点评】设法补成含 60 的直角三

27、角形再求解；考查学问点：把不规范的图形转化为直角三角形,敏捷运用三角函数求解；3已知,三角形 ABC 中, A=30,AC=10,BC=52,求 AB 的长；【点评】没有给图,告知同学是属于“ 边边角” 类型,要分类有争论；考察学问点：锐角三角函数的特殊值和斜化直的问题；4已知,如图, P 是矩形 ABCD 的 CD 边上一点, PEAC 于 E,PFBD 于 F,AC=15,BC=8,求 PE+PF的值【点评】在图中的隐含条件是等角的正弦值和矩形的对边相等；考察的学问点：正弦矩形的性质；（三） .课堂练习1. 如图,太阳光线与地面成60 角,一棵倾斜的大树与地面成30 角,这时测得大树在地面

28、上的影子约为10 米,就大树的高约为 _米（结果保留根号）分析：加帮助线（垂线）构造直角三角形；考查学问点：通过添加帮助线转化直角三角形,数形结合的思想；2如图 :在 ABC 中,BAC=105 ,B=30 ,AB=8,求:BC 和 AC 的长. AB C分析 :过 A 作 BC 上的高线 ,构造直角三角形 . 考查学问点： 通过添加帮助线转化直角三角形,三角形模型；（四）【例 2】1（07 包头）如图,某船以每小时此类问题的解题思路是构建直角 36 海里的速度向正东航行,在A.点测得某岛 C 在北偏东 60 方向上,航行半小时后到 B 点,测得该岛在北偏东 30 方向上,已知该岛四周 16

29、海里内有暗礁（1）试说明 B 点是否在暗礁区域处；（2）如连续向东航行,有无触礁危急？请说明理由yBoAx说明： 1）方位角要清晰；2）构造直角三角形转化用三角函数求解；2 如右图 :已知点 A 的坐标为 1,0,点 B 在直线 y=-x 上运动 ,当线段 AB 最短时 ,点B 的坐标 1 1 2 2 1 1A ,0 0 B , C , D , 2 2 2 2 2 2说明：此题是三角形函数与直角坐标系相结合的题；（五）.课堂练习1 一船向东航行,上午8 时到达 B处,看到有一灯塔在它的南偏东0 60 ,距离为72 海里的 A 处,上午 10 时到达 C 处,看到灯塔在它的正南方向,就这艘船航行

30、的速度为（）A 18海里 / 小时 B 18 3 海里 / 小C 36海里 / 小时 D 36 3 海里 / 小时2. 如图: 已知 ABC中,AB=AC,BDAC于 D,BC=4,DC=2AD,求: sin A 和 AB. ADB C提高题：已知：如图,在 ABC 中, ACB90 , CDAB ,垂足为 D,如 B30 , CD6,求： AB 的长CADB2 已知：如图,在梯形 ABCD 中, AD BC,ABC=90o,C=45o, BECD 于点 E,AD=1,CD= 22,求 BE 的长 . ADEB C备选练习：1（20XX年上海市）已知 中,正确选项（）Rt ABC中, C=90

31、 , AC=2,BC=3,那么以下各式 AsinB=2 3 BcosB=2 3 CtanB=2 3 DtanB=3 22点（ -sin60 ,cos60 ）关于 y 轴对称的点的坐标是（）A（3,1 2） B（-3,1 2）22 C（-3,- 1 2） D（- 1 2,-3 2）23每周一学校都要举办庄重的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣 .某同学站在离旗杆 12 米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30 ,.如这位同学的目高 1.6 米,就旗杆的高度约为（） A6.9 米 B8.5 米 C10.3 米 D12.0 米4如图 5 所示,在 300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为 30.和 60 ,就塔高 CD为（） A200m B180m C 150m D 100m （图 5）（第 6 题）5在 ABC中,A、B为锐角且 sinA= 1 2,cosB=3,试判定 ABC的外形？2答案：等腰三角形6在 ABC中, C=30 , BAC=105 , ADBC,垂足为 D,AC=2cm,求