几何法求解二面角题型分类

1、二面角 一,作点在面上的射影 作垂线 ABD 折起,使 A 移A1点,A11,已知矩形 ABCD 中, AB 10 , BC 6 ,将矩形沿对角线 BD 把且 在 平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上 到 （）求证： BC A1 D ； （）求证：平面 A1 BC 平面 A1BD ； （）求二面角 A1 BD C的余弦值 2,在如以下图的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB CD , DAB=60 , FC平面 ABCD , AE BD , CB=CD=CF ； （）求证： BD 平面 AED ； （）求二面角 F BD C 的余弦值； 0 60 , PA O E B 分别

2、3. 如图 1, 在等腰直角三角形 ABC 中 , A 90 , BC 6, D, E 分别是 AC , AB 上的点 , CD BE 2, O 为 BC 的中点 C. ADE 沿 DEO.折起 , 得到如图 2B所示的四棱锥 将 A BCDE , 其中 A O D3 . E 证明 : A O 平面 BCDE ； 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值 . C4一个三棱锥 S ABC 的三视图A,直观图如图D（ 1）求三棱锥 S ABC 的体积； 图 1 图 2 2 , PB 2, E, F （ 2）求点 C 到平面 SAB 的距离； （ 3）求二面角 S AB C 的余弦值 PD 二,过棱

3、作垂面（线）法 作垂面 1.在锥体 P ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的棱形,且 DAB 是 BC , PC 的中点, （ 1）证明： AD 平面 DEF ; （ 2）求二面角 P AD B 的余弦值 . 2,如图, 边长为 2 的正方形 ABCD ,E,F 分别是 AB,BC 的中点, 将 AED , DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于 A ； （1 求证： A D EF; D的余弦值 . _D_E _A_/ _D（2）求二面角 A EF 3,如图,四棱锥 P ABCD 的底ABCD 是正方形, PD _A 面 平面 ABCD, E 为 PB 上的点,2BE

4、EP； 且 _E 第 1 页,共 4 页（ 1）证明： AC DE； （ 2）如 PC 2 BC,求二面角 E AC P 的余弦值； 4, 如图 , 在四棱锥 PABCD中 , 底面是边长为 23的菱形 , 且 BAD=120, 且 PA平面 ABCD, PA= 2 6 , M, N 分别为 PB, PD 的中 点 . 证明 : MN平面 ABCD; 过点 A 作 AQ PC, 的余弦值 . 垂足为点 Q, 求二面角 AMN Q的平面 角 三,无棱的延展半平面（作延长线或平行线） 1.如图 4,在三棱柱 ABC A1 B1C1 中, ABC 是边长为 2 的 等边三角形, AA1 平面 ABC

5、 , D, E 分别是 CC1 , AB 的中点 . （ 1）求证： CE 平面 A1BD ； （ 2）如 H 为 A1B 上的动点,当 CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切值为 15 时, 2求平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的余弦 . 2如图,在棱长为 a 的正方体 值 ABCD A1B1C1 D1 中,点 E 是棱 D1D A1 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且中意 C1 B1 B1F 2 FB （ 1）求证： EF A1C1 ； D（ 2）在棱 C1C 上确定一点 G , 使 A , E , G , F 四点共面,并求 此时 C1G 的长； （ 3）求平面

6、 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值 A E C3. 如图 5, 已知 ABC 为直角三角形 , ACB 为直角 . 以 AC 为直径作半 O, 使半圆 O 所在B平面平 ABC,P 为半圆 圆 面 周异于 A,C 的任意一点 . 图 4 1 证明 :AP 平面 PBC 2 如 PA=1,AC=BC=2,半圆 O 的弦 PQ AC, 求平面 PAB 与平面 QCB 所成锐二面角的余弦值 . 4如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 ,AB 丄平面 PAD,PD=AD, E 为 PB 的中点 , 向 量 , 点 H 在 AD 上 , 且 I 证明 EF/ 平面 PAD. II 如 PH=

7、 3 ,AD=2, AB=2, CD=2AB,1 求直线 AF 与平面 PAB 所成角的正弦. 值 2 求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦. 值 第 2 页,共 4 页5.如图 5,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径, 点 E 为弧 AC 的中点, 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, 平面 AEC 外一点 F 中意 FB =FD = 5a , FE= 6a . （ 1）证明： EB FD ； 2 22 已知点 Q, R 为线段 FE , FB 上的点, FQ FE , FR FB , 3 3求平面 BED 与平面 RQD 所成的两面角的正弦值 .

8、课后 6. 练习 1,如图 , 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, AC 3 , AB 5 , BC 4 , AA1 4 , C 1 B 1点 D 是 AB 的中点 A 1 ,求证： AC1 / / 平面 CDB1 ； ,求二面角 C1 AB C 的正切值 2,已知等腰直角三角形 RBC,其中 RBC =90o, RB BC 2C点 A,D分别是 RB,B RC中点,现将 RAD沿着边 AD折起到 PAD 位置,使 PA AB ,连结 DPB , PC A （1）求证： BC PB； （2）求二面角 A CD P 的平面角的余弦值 3,已知平面 BCC1 B1 是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴

9、的截面）, BC 是圆柱底面的直径, O 为底面圆心, E 为 母线 CC1 的中点, AA 1 为母线,已知 AB AC AA1 4（ I）求证： B1O 平面 AEO； （ II ）求二面角 B1 AE O 的余弦值 （）求三棱锥 A B1OE 的体积 . 4,长方体 ABCD A1 B1C1D1 中, CC1 4 , AB BC 3 AD 2EC =2. （ 1）如 E ,F 分别是 BC1 , A1C1 中点,求证： EF/ 平面 DCC 1 ； （ 2）求二面角 A1 BC1 D的正弦值 5右图为一简洁组合体,其底面 ABCD 为正方PD 平面 ABCD , EC / PD ,且PD 形, （ 1）求证： BE / 平面 PDA ； P E （ 2）求证： AC 平面 PBD ； （ 3）求二面角 A-PB-E 的余弦值； DC6,如图 ,已知三棱锥 O ABC 的侧棱 OA, OB,OC 两两垂直 ,且 A OA 1, OB OC 2 , E 是 OC 的中点 . A B 1 求 O 点到面 ABC 的距离； B O E CA A A 第 3 页,共 4 页2 求二面角 E AB C 的正弦