分类讨论在中考预测中的应用

1、“分类争辩”在数学中考中的应用 分类争辩的思想是解题的一种常用思想方法,它有利于培养和进展同学思维的条理性,缜密性,灵 活性,使同学学会完整地考虑问题,化整为零地解决问题,同学只有把握了分类的思想方法,在解题中 才不会显现漏解的情形；利用分类争辩思想和方法解决的问题大致分成两类,一类是涉及代数式或函数 或方程中,依据字母不同的取值情形,分别在不同的取值范畴内争辩解决问题；一类是依据几何图形的 点和线显现不同位置的情形,逐一争辩解决问题；分类争辩的一般步骤：确定分类对象；进行合理 分类；逐类进行争辩；归纳作出结论 . 近几年来, “分类争辩”在各地中考命题中频频显现,此类题综合性强,难度较大,对

2、考生的才能 要求较高,具有选拔性,考生在做此类题时,常常感到很困难,答不完整,易丢分,因此针对这种题型 的特点和重要性,结合一些中考题,对一些常见的分类争辩的思想做如下简洁的总结； 例 1. 已知两数 4 和 8,试写出第三个数,使这三个数中,其中一个数是另外两个数的比例中项,求第 三个数； 分析：这是一道开放性题目,它需分几种情形争辩；不妨设第三个数为 x, 2 由 4 8x 可得 x 2 ； 由 4 x 8 2 得 x 16 ； 由 x 2 4 8 可得 x 4 2 ； 故第三个数为 2,或 16,或 4 2 ； 例 2. 某旅行杜拟在暑假期间面对同学推出“林州红旗渠一日游”活动,收费标准

3、如下： 人数 m 0m100 100200 收费标准 元 / 人 90 85 75 甲,乙两所学校方案组织本校同学自愿参加此项活动 . 已知甲校报名参加的同学人数多于 100 人, 乙校报名参加的同学人数少于 100 人经核算,如两校分别组团共需花费 10 800 元,如两校联合组团 只需花赞 18 000 元 . 1 两所学校报名参加旅行的同学人数之和赳过 .200 人吗 .为什么？ 2 两所学校报名参加旅行的同学各有多少人 解：（ 1）设两校人数之和为 a. 如 a 200,就 a=18 000 75=240. 如 100 a 200,就 a18000 85 13 211 ,不合题意 .

4、17 3 分 y 人,就 所以这两所学校报名参加旅行的同学人数之和等于 240 人,超过 200 人 . （2）设甲学校报名参加旅行的同学有 x 人,乙学校报名参加旅行的同学有 当 100 x 200 时,得 x y 240, 解得 90 y 20800. x 160, 85x y 80. 第 1 页,共 3 页当 x 200 时,得 x y 240, 75x 90 y 20800. 解得 x 1 53 , 3y 2 186 . 3 此解不合题意,舍去 . 甲学校报名参加旅行的同学有 160 人,乙学校报名参加旅行的同学有 80 人 . 二,与方程有关的分类争辩 例 3. 关于 x 的方程 a

5、x 22 x 1 0 有实数根,求 a 的取值范畴； 2分析：此题是“关于 x 的方程 ax 2 x 1 0 有实数根”,而不是有两个实数根,也没说明该方 程是一元二次方程,所以可以为 0. 当 a=0 时,方程的根是 x 1,当 a0 时, b 4ac 20 ,即： 22 24a 0 ,解得： a 1,综上所述,当 a 1 B. a 0 时,方程 ax 22x 1 0 有实数根 . 评析：当遇到方程的二次项系数带有字母时,要对二次项系数进行争辩,以确定题中给出的方程是 一元一次方程仍是一元二次方程 . 方程的分类争辩主要是通过变量之间的关系建立函数关系式, 然后根 据实际情形进行分类争辩或在

6、有实际意义的情形下的争辩,在争辩问题的时候要留意特殊点的情形 . 三,与函数有关的分类争辩 例 4. 如直线 y=-2x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是 1,求 b 的值 . 分析直线 y=-2x+b 可以过一二四象限,仍可以过二三四象限,当 以.b=1,b=2. x=0 时, y=b,当 y=0 时, x=,所 说明一次函数与坐标轴交点位置不确定时,要进行分类争辩,防止漏解 . x 轴, y 轴上, 例 5. 如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,正方OABC的边 OA,OC分别点 B 的坐标为（ 2,2）,反比例函数 y k 形 在 BC 的中D. （ x0, k0）的图像经过

7、线段 x 点 （ 1）求 k 的值； （ 2）如点 Px,y 在该反比例函数的图像上运动（不与点 D 重合）,过点 P作 PR y 轴于点 R,作 PQBC所在直线于 Q,记四边形 CQPR的面积 S,求 S 关于 x 点 为 的解析式并写出 x 的取值范畴； 分析：（ 1）第一依据题意求出 C 点的坐标,然后依据中点坐标公式求 D 点出 坐 标,由反比例函数 （ x 0,k0）的图象经过线段 BC 的中点 D,D 点坐标代入 解析式求出 k 即可； 第 2 页,共 3 页（ 2）分两步进行解答,当 D 在直线 BC 的上方时,0 x 1,如图 1,依据 S 四边形 CQP= RCQ.PD列

8、即 出 S 关于 x 的解析式 S 四边形 CQPR=CQ.PD=x.（ 2） =2 2x（ 0 x 1）,当 D 在直线 BC 的下方时,x 即 1,如图 2,照旧依据 S 四边形 CQP= RCQ.PD列出 S 关于 x 的解析式 S 四边形 CQPR=CQ.PD=x.（ 2 ） =2x 2（ x 1） 解：（ 1）正方形 OABC的边 OA, OC分别在 x C（ 0, 2）, 轴, y 轴上,点 B 的坐标为2,2）, （ D 是 BC 的中点, D（ 1, 2）, 反比例函数 （x 0, k0）的图象经过点 D, k=2； （ 2）当 D 在直线 BC 的上方时,即 反比例函数的图象

9、上运动, y= , S 四边形 CQPR=CQ.PD=x.（ 0 x 1,如图 1,点 P（ x, y）在该 2） =2 2x（ 0 x 1）, 如图 2,同理求出 S 四边形 CQP= RCQ.PD=x.（ 2 ） =2x 2（ x 1）, 综上 S= 评析：函数的分类争辩主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然 后依据实际情形进行分类争辩或在有实际意义的情形下的争辩,在争辩问题的时候要留意特殊点的情 况 . 四,与三角形有关的分类争辩 例 6. 一个等腰三角形两边的长分别为 4 和 5,那么这个三角形的周长是（ ）； A 13 B 14 C 15 D 13 或 14 分析：等腰三角形两边的长分别为 4 和 5,如以 4 为腰,就底边为 5,由于 4 4 5 ,中意三角形 任意两边之和大于第三边, 此时这个三角形周长为 4+4+5=13,如以 5 为腰, 就底边为 4,由于 54 5 , 中意三角形任意两边之和大于第三边, 所以此时这个三角形的周长为 5+5+4=14,所以这个等腰三角形的 周长为 13 或 14,应选