研究生数值分析(232425)newtoncotes求积公式

1、将积分区间a，b等分，取分点作为求积节点，并作变量替换3 Newton-Cotes求积公式 将积分区间的等分点作为求积节点，构造出来的求积公式称为牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式。1、牛顿-科茨公式的求积系数为 那么插值型求积公式则 于是得相应的插值型数值积分公式这就是一般的牛顿科茨公式，称为科茨系数。 若记 其中从科茨系数公式可以看出，科茨系数的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了积分区间的等分数n，就能算出例如，当 n=1时，有相应的牛顿科茨公式为 这就是前面提到的梯形公式。当 n=2时，有相应的牛顿-科茨公式为 辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的抛物线代替y=

2、f(x)所得曲边梯形的面积。 这个公式称为辛普森（Simpson）公式。如图所示 为了便于应用，我们把部分科茨系数列在下表中。利用这张科茨系数表，可以很快写出各种牛顿科茨公式。 n123456例如，当 n=4时，有其中 下面，我们给出梯形公式，辛普森公式和科茨公式的截断误差（余项）和它们的代数精度的几个结论。这个公式称为科茨（Cotes）公式。定理3 若在a , b上连续，则梯形公式若在a,b上连续，则辛普森公式若在a,b上连续，则科茨公式的余项为的余项为的余项为证 1、因在a , b上连续，由Newton-Cotes求积公式的截断误差且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差其中。请推到

3、此式故根据积分中值定理，必存在使得下式成立其中。上连续。在上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号，在设由于的截断误差为可以看出，梯形公式具有一次代数精度。因此，梯形公式辛普森公式截断误差为可以看出，辛普森公式具有三次代数精度。科茨公式截断误差为可以看出，科茨公式具有五次代数精度。定理4 梯形公式的代数精度为1； 辛普森公式的代数精度为3； 科茨公式的代数精度为5。梯形公式 辛普森公式 科茨公式 其中 在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。 例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分的近似值，并估计截断误差。解：用梯形公式计算，得截断误差估计为用Simpson公式计算，得截

4、断误差估计为4 Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性记其中是Newton-Cotes求积系数今考察是否对任何在a,b上可积的函数f (x)都有这是Newton-Cotes求积公式的收敛问题。先看一个例子，此时有In(f)的一些计算结果如表nIn(f)2468105.49022.27763.32881.94113.5956 从表可以看出，当n时，In(f)不收敛于I(f)。这说明，Newton-Cotes求积公式并不是对所有在a，b上可积的函数都收敛。 多节点的Newton-Cotes求积公式的数值稳定性是没有保证的。 为了提高计算结果的精度，常常采用复合求积的方法。 复合求积，

5、就是先将积分区间a,b分成几个小区间然后在每个小区间上计算积分4 复化求积公式的近似值。用此方法得到的数值积分公式，统称为复合求积公式。的近似值并取它们的和作为整个区间a，b上的积分其中上应用梯形公式称为步长比如，在小区间 的近似值于是 得积分若将近似值记作，并注意到和则由上式可得复合求积公式 用类似方法可以导出复合辛普森公式该公式称为复合梯形公式。和复合科茨公式其中 下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森公式和复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。定理5 若在积分区间a，b上连续，若则复合辛普森公式的余项为 则复合梯形公式的余项为在积分区间a，b上连续，若则复合科茨公式的余项为在积分区间a

6、，b上连续，证明略例2 对于利用数据表计算积分01/81/43/81/25/83/47/814.000000003.938461543.764705883.506749323.200000002.876404492.560000002.265486732.00000000解：这个问题有明显的答案将积分区间0，1划分为8等分，取 n=8应用复合梯形公式现在用复合求积公式进行计算。求得如果将积分区间0,1划分为4等分，取n=4应用复合辛普森公式求得 比较与点的函数值，工作量基本相同，然而精度却差别只有2位有效数字，有7位有效数字。的结果，它们都需要提供9个很大，例3 利用复合辛普森公式计算积分的近

7、似值，使截断误差不超过并用同样点按复合梯形公式和复合科茨公式重新计算近似值。解：首先应根据精度的要求，确定区间 0，1的等分数 n由于 故 根据复合辛普森公式的余项表达式 为满足精度要求，需 n 满足这只需即 n4，取 n=4 可得 对同样9个点上函数值（见下表）01.00000005/80.93615561/80.99739783/40.90885161/40.98961587/80.87719253/80.976726710.84147091/20.9588510若用复合梯形公式计算，所得近似值为若用复合科茨公式计算，所得近似值为 三种方法计算工作量相同（都需计算9个点的函数值），但所得结

8、果与积分准确值0.9460831相比较，复合辛普森公式具有精度高，计算较简便等优点，因此得到较广泛应用。解：设所以由例4 利用复合辛普森公式计算000.750.164383560.1250.0311280.8750.1836065570.250.06153810.20.3750.0905660.50.1176470.6250.14234875于是 9个点上的函数值如下表例5 取9个点的函数值，用复合辛普森公式估计误差，并说明结果的有效数字。解：各求积节点和各求积节点的函数值如下表：计算积分近似值，013/80.97672766/80.90885171/80.99739794/80.95885117/80.87719262/80.98961585/80.936155610.8414