热力学与统计物理热统

1、2022/8/26第十章 涨落理论1第十章 涨落理论2022/8/26第十章 涨落理论210.1 涨落的准热力学理论1、按统计学的方法求涨落热力学平均量：偏差的平均值：偏差平方的均值：2022/8/26第十章 涨落理论32、涨落的准热力学理论：由热力学基本公式由已知量的涨落求未知量的涨落 因为传统热力学理论不能处理涨落问题，因此 这一理论被称为准热力学理论粒子数、内能、体积等的涨落：存在对应的微观量温度、熵等物理量的涨落：无对应的微观量，应从热力 学函数关系理解。2022/8/26第十章 涨落理论43、孤立系热力学量涨落热平衡状态时：偏离热平衡时：2022/8/26第十章 涨落理论5系统热源因

2、此，理解为系统偏离平衡态的概率4、应用到粒子数不变的系统与热源组成的孤立系2022/8/26第十章 涨落理论6由熵的广延性：由热力学基本方程T、p是平衡时热源的，也是系统的温度与压强得：2022/8/26第十章 涨落理论7将E看作是S、V的函数，在平衡值附近作泰勒展开以上公式可以用于小涨落及大涨落的情况5、小涨落情况：2022/8/26第十章 涨落理论8注意到：得：2022/8/26第十章 涨落理论9此即系统偏离平衡态的概率注意上式中只有两个自变量，以p、V为自变量：因此也可写成2022/8/26第十章 涨落理论10由此求热力学量的涨落值：可以求得：2022/8/26第十章 涨落理论11对于磁

3、介质：表示系统与平衡态具有偏差T、m的概率据此，2022/8/26第十章 涨落理论126、巨正则系综的涨落表示温度、体积及粒子数相对平衡值有偏差T、V及N时概率2022/8/26第十章 涨落理论13概率表示为：因此，可求得：2022/8/26第十章 涨落理论14与正则系综相同，是由系统与源的能量交换引起粒子数交换引起的。2022/8/26第十章 涨落理论1510.5 布朗运动理论1、布朗运动现象及机理粒子的典型大小：受液体分子的碰撞瞬间不平衡2、朗之万（Langevin）方程设粒子：牛顿方程介质分子的静作用力外场力2022/8/26第十章 涨落理论16将f(t)分解成两部分：第一部分称为粘滞阻

4、力，源于粒子与分子碰撞的平均效果，v为粒子速度；当分子为球形时，系数与粘滞系数的关系：stokes关系第二部分为随机力，理解为静止粒子受到的净作用力其值可正可负。2022/8/26第十章 涨落理论17因此朗之万方程无外场时令为零以x乘上式，注意到得：作系综平均，利用（因为F与位置无关）2022/8/26第十章 涨落理论18及（能均分定理）得：方程的解为：第二部分在很短时间后变为零因此：此为朗之万方程的解，后为皮兰的实验所证实。此为随机过程的典型结果；机械动动的位移平方与t平方成正比2022/8/26第十章 涨落理论193、从扩散的观点研究布朗运动定义粒子密度n(x,t) 粒子流量J(x,t)菲

5、克定律：扩散系数 连续方程：得扩散方程：设初始条件为：2022/8/26第十章 涨落理论20扩散方程的解为：表示x处的粒子数随时间的推移按高斯率减少。由上式可以求得粒子位移平方的系综平均值：与朗之万结果比较，可得扩散系数与粘滞阻力系数的关系爱因斯坦关系2022/8/26第十章 涨落理论2110.6 布朗颗粒动量的扩散与时间的关联即描述粒子的动量由初值趋于平均值的过程将朗之万方程改写为：将方程两边乘以其解为：1、动量扩散2022/8/26第十章 涨落理论22其中的p(0)为初始动量，是布朗运动的特征时间表示粒子的初动量经过此时间后才发生显著改变。上式作系综平均：动量的扩散：定义动量的散差因为：2

6、022/8/26第十章 涨落理论23所以：称为涨落力的时间关联，其定义为：第i个粒子在时刻t受到的随机力这个量表示相临间隔内，粒子所受随机力的关系由随机力的性质可以知，经过某一特征时间后，随机力必相互无关2022/8/26第十章 涨落理论24如有：则可写成：即不同时刻的涨落力不存在关联。而D则描述了涨落力的幅度。因此，动量的散差为：2022/8/26第十章 涨落理论25这是随机过程的典型结果，动量扩散系数据能均分定理，达到热平衡后2022/8/26第十章 涨落理论26因此，涨落耗散定理涨落力导致动量的聚集与扩散粘滞阻力导致动量的耗散涨落耗散定理给出了涨落与耗散的关联。通过涨落耗散定理，可以计算

7、近平衡下的非平衡态下的耗散 性质（如各种输运性质） 可从近平衡下耗散性质去认识平衡态的涨 落性质（如近年兴起的趋衡动力学研究）2022/8/26第十章 涨落理论272、动量的时间关联函数在t1/后，动量的时间关联函数定义为：代入定义式，2022/8/26第十章 涨落理论283、由动量时间关联式求布朗运动的位移2022/8/26第十章 涨落理论292022/8/26第十章 涨落理论30可以看到同求解朗之万方程的结果相同。2022/8/26第十章 涨落理论3110.7 布朗运动简例热噪声随机电压电阻R与涨落电压V(t)都来源于传导电子受其周围的声子散射：R代表平均效果，而V(t)是扣除了平均以后剩余的涨落部分。因此，Ri称为慢变部分，V(t)称为涨落部分。2022/8/26第十章 涨落理论32将上式与朗之万方程比较对应关系：因此由对应关系2022/8/26第十章 涨落理论33得到：Nyquist定理它指出涨落电压的不同频率分量是统计独立的，其涨落的方均值与电阻R和温度T成正比，与频率无关。2022/8/26第十章 涨落理论34白噪声的特点(1). 谱密度是delta函数，与频率无关，类比于白光，因此称为白噪