2021年中考数学重难点题型专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【含答案】

1、 专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】【例1】如图，M，N是以AB为直径的O上的点，且，弦MN交AB于点C，BM平分ABD，MFBD于点F（1）求证：MF是O的切线；（2）若CN3，BN4，求CM的长思路点拨（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得OMB=MBF，得出OMBF，即可证得OMMF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明ACNMCB，可得，即可求CM的长满分解答（1）连接OM，OMOB，OMBOBM，BM平分ABD，OBMMBF，OMBMBF，OMBF，MFBD，OMMF，即OMF90，MF是O

2、的切线；（2）如图，连接，是直径，【例2】如图，AB为O直径，AC为O的弦，过O外的点D作DEOA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且D=2A，作CHAB于点H（1）判断直线DC与O的位置关系，并说明理由；（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长思路点拨（1）连接OC，易证COB=D，由于P+D=90，所以P+COB=90，从而可知半径OCDC；（2）由（1）可知：cosCOP=cosD=，设半径为r，所以OH=r2，从而可求出r的值，利用勾股定理即可求出CH的长度，从而可求出AC的长度满分解答解：（1）DC与O相切理由如下：连接OC，COB=2A，D=2A，COB

3、=D，DEAP，DEP=90，在RtDEP中，DEP=90，P+D=90，P+COB=90，OCP=90，半径OCDC，DC与O相切（2）由（1）可知：OCP=90，COP=D，cosCOP=cosD=，CHOP，CHO=90，设O的半径为r，则OH=r2在RtCHO中，cosHOC=，r=5，OH=52=3，由勾股定理可知：CH=4，AH=ABHB=102=8在RtAHC中，CHA=90，由勾股定理可知：AC=【例3】如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交O于点F，连接AE、DE、DF（1）证明：E=C；（2）若E=55，求BD

4、F的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中点，求EGED的值思路点拨（1）直接利用圆周角定理得出ADBC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出E=C；（2）利用圆内接四边形的性质得出AFD=180E，进而得出BDF=C+CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出AEGDEA，求出答案即可满分解答解：（1）证明：连接AD，AB是O的直径，ADB=90，即ADBC，CD=BD，AD垂直平分BC，AB=AC，B=C，又B=E，E=C；（2）解：四边形AEDF是O的内接四边形，AFD=180E，又CFD=180AF

5、D，CFD=E=55，又E=C=55，BDF=C+CFD=110；（3）解：连接OE，CFD=E=C，FD=CD=BD=4，在RtABD中，cosB=，BD=4，AB=6，E是的中点，AB是O的直径，AOE=90，且AO=OE=3，AE=，E是的中点，ADE=EAB，AEGDEA，即EGED=18【例4】如图，在AOB中，AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）以P为圆心，PA长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连

6、结CD、QC（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当Q经过点A时，求P被OB截得的弦长（3）若P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围思路点拨（1）由题意知CDOA，所以ACDABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0t5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PEOB于点E，利用垂径定理即可求出P被OB截得的弦长；（3）若P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，当QC与P相切时，计算出此时的时间；当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围满分解答（1）OA=6，OB=8，由勾

7、股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，AC=2t，AC是P的直径，CDA=90，CDOB，ACDABO，AD=，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，+t=6，t=；（2）当Q经过A点时，如图OQ=OAQA=4，t=4s，PA=4，BP=ABPA=6，过点P作PEOB于点E，P与OB相交于点F、G，连接PF，PEOA，PEBAOB，PE=3.6，由勾股定理可求得：EF=，由垂径定理可求知：FG=2EF=；（3）当QC与P相切时，如图此时QCA=90，OQ=AP=t，AQ=6t，AC=2t，A=A，QCA=ABO，AQCABO，t=，当0t时，P与QC只有一个交点，当QCOA时，此时Q

8、与D重合，由（1）可知：t=，当t5时，P与QC只有一个交点，综上所述，当，P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0t或t5【例5】如图，ABC内接于O，点为上的动点，且.(1)求的长度；(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问ADAE的值是否变化？若不变，请求出ADAE的值；若变化，请说明理由.(3)在点D的运动过程中，过A点作AHBD，求证.思路点拨（1）过A作AFBC，垂足为F，交O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtAFB即可求得AB长；（2）连接DG，则可得AG为O的直径，继而可证明DAGFAE，根据相似三角形的性质可得ADAE=AFAG，连接BG

9、，求得AF=3，FG=，继而即可求得ADAE的值；（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明ADCADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AHBN，即可证得BH=HD+CD.满分解答（1)过A作AFBC，垂足为F，交O于G，AB=AC，AFBC，BF=CF=BC=1，在RtAFB中，BF=1，AB=；（2）连接DG，AFBC，BF=CF，AG为O的直径，ADG=AFE=90，又DAG=FAE，DAGFAE，AD：AF=AG：AE，ADAE=AFAG，连接BG，则ABG=90，BFAG，BF2=AFFG，AF=3，FG=，ADAE=AFAG=AF（AF+FG）=3

10、=10；（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，ADB=ACB=ABC，ADC+ABC=180，ADN+ADB=180，ADC=ADN，AD=AD，CD=ND，ADCADN，AC=AN，AB=AC，AB=AN，AHBN，BH=HN=HD+CD.【例6】已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于B(1，0)，C(5，0)两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A，B，C三点的P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于N，交P于D(1)填空:A点坐标是_，P半径的长是_，a=_，b=_，c=_；(2)若SBNC:SAOB48:5，求N点的坐标；(3)若AOB

11、与以A，B，D为顶点的三角形相似，求MBMD的值思路点拨（1）先将B、C两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得P半径，进而求得抛物线方程；（2）根据SBNC：SAOB=48：5求出N点的y坐标，将yN代入抛物线方程即可求得N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得MBMD的值满分解答(1) P的半径=3,a=55,b=-655,c=5； （2）由（1）知抛物线的解析式为y=55x2-655x+5=55(x-3)2-455，A点的坐标为（0，5），所以OA=5， 而OB=1,BC=OC-OB=5-1=4,SAOB=12OBOA=1215=52,SBNC:SAOB48:5,SBNC=2

12、455, 设点N的纵坐标为n，则有124n=2455，解得n=1255，而抛物线最小值是-455，n=1255， 在y=55x2-655x+5中，y=1255时，x1=-1（不合题意，舍去），x2=7，符合条件的N点的坐标是（7，1255）；（3）过点A作直径AQ联接BQ，ABQ=90,BAO+AOB=90,MA与P相切于点A，OAB+BAO=90,OAB=AOB,而AQB=ADB,OAB=ADB,而AMB=AMD,MABMDA,MAMB=MDMA,MA2=MBMD当AOBDBA时，ABD=AOB=90,易证AOBBOM,则OB2=OAOMOM=55,AM=OA+OM=655,MBMD=MA2

13、=365; 当AOBDAB时，BAD=AOB=90,BD是P的直径，DCB=90,而BD=23=6,BC=4,CD=62-42=25DCB=MOB=90,OMCD,MOBDCB,OMOB=DCOC,OM=1254=52,MA=5+52=352,MBMD=MA2=454; 所以，若AOB与以A,B,D为顶点的三角形相似，MBMD等于365或454【变式训练】1如图，已知圆的内接六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为（）A2B4CDD【详解】解：如图所示，连接，过作于，多边形是正六边形，是等边三角形，该圆的内接正三角形的面积，故选：D2如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平

14、分，的长是（）AB2CDA【详解】解： 与AC相切于点D， 故选A3如图，点是以为直径的半圆上的动点，于点，连接，设，则下列函数图象能反映与之间关系的是（）ABCDC【详解】设：圆的半径为，连接，则，即是圆的切线，则，则则图象为开口向下的抛物线，故选：4如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G若AF的长为2，则FG的长为A4 B33 C6 D23B【详解】连结OD，如图， DF是圆的切线， ODDF， ODF=90，ABC为等边三角形， C=A=B=60，AB=AC， 而OD=OC， ODC=60，ODC=A， O

15、DAB， DFAB在RtADF中，A=60， ADF=30， AD=2AF=22=4，而ODAB，点O为BC的中点， OD为ABC的中位线， AD=CD=4，即AC=8，AB=8， BF=AB-AF=6， FGBC， BGF=90，在RtBFG中，sinB=sin60=FGFB， FG=632=33.5如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，则PA的长为（ ）A4BC3D2.5A【详解】连接OD，PD与O相切于点D，ODPD，PDO=90，BCP=90，PDO=PCB，P=P，PODPBC，PO：PB=OD：BC，即

16、PO：（PO+4）=4：6，PO=8，PA=PO-OA=8-4=4，故选A.6如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A3cmB cmC2.5cmD cmD【详解】连接OB，AC是O的直径，弦BDAO于E，BD=8cm，AE=2cm在RtOEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，OB=3+2=5，EC=5+3=8在RtEBC中，BC=OFBC，OFC=CEB=90C=C，OFCBEC，即，解得：OF= 故选D7如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，

17、连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，则AD的长为（）A5B4C3D2D【详解】如图：连接BE，在RtABC中，AB5，BC10，AC5，连接BE，BACEDB，ADBC，ABC90，BAD90BD是圆的直径，BED90CBA，ABCDEB，DB3，在RtABD中，AD2，故选D8如图，ABC内接于O，AB为O的直径，CAB=60，弦AD平分CAB，若AD=6，则AC=_2【详解】解：连接BD，AB是O的直径，C=D=90，BAC=60，弦AD平分BAC，BAD=BAC=30，在RtABD中，AB=4，在RtABC中，AC=ABcos60=4=2故答案为29如图，已知AB为

18、O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若ABC=30，则AM=_【详解】连接OM，OC，OB=OC，且ABC=30，BCO=ABC=30，AOC为BOC的外角，AOC=2ABC=60，MA，MC分别为圆O的切线，MA=MC，且MAO=MCO=90，在RtAOM和RtCOM中，RtAOMRtCOM（HL），AOM=COM=AOC=30，在RtAOM中，OA=AB=1，AOM=30，tan30=，即=，解得：AM=故答案为10如图，是O的内接三角形，且AB是O的直径，点P为O上的动点，且，O的半径为6，

19、则点P到AC距离的最大值是_【详解】过O作于M，延长MO交O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值，O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是，故11如图，在O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为_【详解】解：作OHAB，延长DC交O于E，如图，AH=BH=AB=，CDOC，CD=CE，ABD=DEA，BCD=ECA，BCDECA，CDCE=BCAC，CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，CD=，当CH最小时，CD最大，而C点运动到H点时，CH最小，此时CD=，即CD的最大值为故答案为12如

20、图，已知半圆与四边形的边都相切，切点分别为，半径，则_.1【详解】如图，连接 OE，AD、AB与半圆 O 相切， OEAB，OA平分DOE，AOE=DOE，同理BOE=EOC，DOE+EOC=180，AOE+BOE=90，即AOB=90，ABO+BAO=90，BAO+AOE=90，ABO=AOE，OEA=BEO=90，AEOOEB，AE：OE=OE：BE，AEBE=OE=1，故答案为1. 13如图，以AB为直径的O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB18，A30，弦CDAB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是_（写出所有正确结论的序号）；扇形OBC的面积为；OCFO

21、EC；若点P为线段OA上一动点，则APOP有最大值20.25【详解】弦CDAB，AB是直径，所以正确；BOC=2A=230=60，扇形OBC的面积=，所以错误；O与CE相切于点C，OCCE，OCE=90，COF=EOC，OFC=OCE，OCFOEC，所以正确；APOP=(9-OP)OP= -(OP-)2+，当OP=时，APOP的最大值为=20.25，所以正确，故14如图，已知O是ABC的外接圆，且BC为O的直径，在劣弧上取一点D，使，将ADC沿AD对折，得到ADE，连接CE（1）求证：CE是O的切线；（2）若CEC D，劣弧的弧长为，求O的半径（1）见解析；（2）圆的半径为3【详解】（1），C

22、ADBCAEAD，设：DCADEA，DCEDEC，则ACE中，根据三角形内角和为180，2+2+2180，+90，CE是O的切线；（2）过点A作AMBC，延长AD交CE于点N，则DNCE，四边形AMCN为矩形，设：ABCDx，则CEx，则CNCExAM，而ABx，则sinABM，ABM60，OAB为等边三角形，即AOB60，2r，解得：r3，故圆的半径为315如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O于点E（1） 求证：AC平分DAB；（2） 连接BE交AC于点F，若cosCAD，求的值（1） 详见解析；（2）.【详解】（1）证明：连接OC，则OCCD，又AD

23、CD，ADOC，CADOCA，又OAOC，OCAOAC，CADCAO，AC平分DAB（2）解：连接BE交OC于点H，易证OCBE，可知OCACAD，COSHCF，设HC4,FC5，则FH3又AEFCHF，设EF3x，则AF5x，AE4x，OH2x BHHE3x3 OBOC2x4在OBH中，（2x）2（3x3）2（2x4）2化简得：9x22x70，解得：x（另一负值舍去）16如图，四边形ABCD内接于O，AB=AC，BDAC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：BAC=2DAC； (2)若AF10，BC4，求tanBAD的值. (1)见解析；(2) tanB

24、AD=.【详解】解：（1）ABAC，=，ABCACB，ABCADB，ABC（180BAC）90BAC，BDAC，ADB90DAC，BACDAC，BAC2DAC； (2)DF=DC，BFC=BDC=BAC=FBC,CB=CF,又BDAC，AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10.又BC4，设AEx, CE=10 x, AB2AE2=BC2CE2, 100 x2=80(10 x)2, x=6AE=6,BE=8,CE=4,DE=3,BDBEDE3811，作DHAB，垂足为H，ABDHBDAE，DH，BH，AHABBH10，tanBAD=.17如图，ABC中，以BC为直径的O交AB于点

25、D，AE平分BAC交BC于点E，交CD于点F且CE=CF（1）求证：直线CA是O的切线；（2）若BD=DC，求的值（1）证明见解析；（2）【详解】解：（1）证明：BC为直径，BDC=ADC=90，1+3=90AE平分BAC， 1=2， CE=CF4=5，3=4，3=5，2+5=90，ACB=90，即ACBC，直线CA是O的切线；（2）由（1）可知，1=2，3=5，ADFACE，BD=DC，tanABC= =ABC+BAC=90，ACD+BAC=90，ABC=ACD，tanACD=，sinACD=，=18如图，AB是C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是C上的点，且DE2DB DA延长AE至

26、F，使AEEF，设BF10，cosBED=.(1)求证：DEBDAE； (2)求DA，DE的长；(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.(1)证明见解析； (2)DA=，DE=；(3)MD.【详解】(1)DE2DBDA，又DD，DEBDAE；(2)AB是C的直径，E是C上的点，AEB=90，即BEAF，又AE=EF，BF=10，AB=BF=10，DEB DAE，cos BED=，EAD=BED，cos EAD =cos BED=，在RtABE中，由于AB10，cos EAD，得AE=ABcosEAD=8，DEB DAE， DB=DA-AB=DA-10，解得，经检验，是的解，DA=，

27、DE=； (3)连接FM，BEAF，即BEF90，BF是B、E、F三点确定的圆的直径，点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，点M在以BF为直径的圆上，FMAB，在RtAMF中，由cos FAM得AMAFcos FAM 2AEcos EAB28，MDDAAM.19如图，AB是O的直径，点D是弧AE上一点，且BDE=CBE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是O的切线；（2）若BD平分ABE，求证：DE2=DFDB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）PD=4，OA=【详

28、解】（1）证明：AB是O的直径，AEB=90，EAB+ABE=90，EAB=BDE，BDE=CBE，CBE+ABE=90，即ABC=90，ABBC，BC是O的切线；（2）证明：BD平分ABE，1=2，而2=AED，AED=1，FDE=EDB，DFEDEB，DE：DF=DB：DE，=DFDB；（3）连结DE，如图，OD=OB，2=ODB，而1=2，ODB=1，ODBE，PODPBE，PA=AO，PA=AO=BO，即，PD=420如图，AB是O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作ECOB，交O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AFPC于点F，连接CB（1）求证：

29、AC平分FAB；（2）求证：BC2=CECP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【详解】（1）AB是直径，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，AFC=90，AEC=90，FAC=EAC，即AC平分FAB；（2）OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切线，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，CD是直径，CBD=CBP=90，CBECPB，BC2=CECP；（3）如图，作BMPF于M则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=

30、a，MCB+P=90，P+PBM=90，MCB=PBM，CD是直径，BMPC，CMB=BMP=90，BMCPMB，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，BOD=120，的长=21如图，以AB边为直径的O经过点P，C是O上一点，连结PC交AB于点E，且ACP=60，PA=PD（1）试判断PD与O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CECP的值（1）PD是O的切线证明见解析.（2）8.【详解】（1）如图，PD是O的切线证明如下：连结OP，ACP=60，AOP=120，OA=OP，OAP=OPA=30，PA=P

31、D，PAO=D=30，OPD=90，PD是O的切线（2）连结BC，AB是O的直径，ACB=90，又C为弧AB的中点，CAB=ABC=APC=45，AB=4，AC=Absin45=C=C，CAB=APC，CAECPA，CPCE=CA2=（）2=822如图，点D在以AB为直径的O上，AD平分，过点B作O的切线交AD的延长线于点E(1)求证：直线CD是O的切线(2)求证：(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】解：证明：(1)连接OD，AD平分，直线CD是O的切线；(2)连接BD，BE是O的切线，AB为O的直径，23如图，在中，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点（1）求证：直线是的切线；（2）求证：；（3）若的半径为4，求阴影部分的面积（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【详解】解：（1）如图所示，连接，而，直线是的切线；（2）连接，则，