2021年中考数学重难点题型专题11 平行四边形（简答题专练）【含答案】

1、专题11：平行四边形（简答题专练）1如图，在长方形中，点从点出发，以/秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：（1） （用的代数式表示）（2）当为何值时，？（3）当点从点开始运动，同时，点从点出发，以/秒的速度沿向点运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由（1）；（2）t=2.5，理由见解析；（3）存在，v=2.4或者v=2.【分析】(1)根据S=vt计算线段BP=2t，利用BP+PC=BC求PC即可；(2)根据三角形全等，得BP=PC=5，所以t=秒；(3)分和两种情形讨论求解.（1）点从点出发，以/秒的速度

2、沿向点运动，点的运动时间为秒，（2）当时，.理由：当时，在和中；（3）当时，时，；，解得，所以 ，；当， 时，；，解得，解得；综上所述，当或者时与.【点评】本题考查了矩形中的动点问题，熟练掌握三角形全等，灵活运用分类思想是解题的关键.2如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是 AB上一点，且AF=AB 求证：CEEF证明见解析【分析】利用正方形的性质得出，设出边长为，进一步利用勾股定理求得、的长，再利用勾股定理逆定理判定即可连接，为正方形，设是的中点，且，在中，由勾股定理可得同理可得： 为直角三角形 【点评】此题考查勾股定理的逆定理，正方形的性质和勾股定理，解题关键在于设出边长为3如图，

3、在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：BACDAC，AFDCFE；(2)若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使EFDBCD，并说明理由（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当BECD时，EFDBCD【分析】（1）先判断出ABCADC得到BAC=DAC，再判断出ABFADF得出AFB=AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出DAC=ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出BCFDCF，结合BECD即可(1)证明：在ABC和ADC中， ABCADC(S

4、SS)，BAC=DAC，在ABF和ADF中, ABFADF(SAS)，AFB=AFD，CFE=AFB，AFD=CFE，BAC=DAC，AFD=CFE； (2)证明：ABCD，BAC=ACD，BAC=DAC，BAC=ACD，DAC=ACD，AD=CD，AB=AD，CB=CD，AB=CB=CD=AD，四边形ABCD是菱形； (3)BECD时，BCD=EFD；理由如下：四边形ABCD是菱形，BC=CD，BCF=DCF，CF=CF，BCFDCF，CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD=EFD.4如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E

5、、F，连接EC（1）求证：OEOF；（2）若EFAC，BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长（1）证明见解析；（2）20.【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OD=OB，DCAB，推出FDO=EBO，证DFOBEO即可；（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出平行四边形ABCD的周长解：（1）四边形ABCD是平行四边形，OD=OB，DCAB，FDO=EBO，在DFO和BEO中，DFOBEO（ASA），OE=OF（2）解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD=BC，OA=OC，

6、EFAC，AE=CE，BEC的周长是10，BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=205如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析解：(1)四边形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA，又AMBE，MEAMAE90AFOMAEM

7、EAAFO，RtBOE RtAOF OEOF(2)OEOF成立四边形ABCD是正方形，BOEAOF90，OBOA又AMBE，FMBF90EOBE又MBFOBEFERtBOERtAOFOEOF6如图将矩形ABCD沿对角线AC对折,使ABC落在ACE的位置,且CE与AD相交于点F,求证:EF=DF.见解析【分析】先由四边形为矩形，得出AE=CD，E=D，再由对顶角相等，即可证明AEFCDF即可四边形ABCD是矩形，D=E，AE=CD，又AFE=CFD，在AEF和CDF中， ，AEFCDF(AAS)，EF=DF.7（1）如图矩形的对角线、交于点，过点作，且，连接，判断四边形的形状并说明理由（2）如果

8、题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由 （1）四边形的形状是菱形，理由见解析；（2）四边形的形状是矩形，理由见解析；（3）四边形的形状是正方形，理由见解析.【分析】（1）根据矩形的性质证得，再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CODP是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可证得结论；（2）根据菱形的性质可得DOC=90，再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CODP是平行四边形，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可证得结论；（3）根据正方形的性质可得OD=OC，DOC=90，

9、再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定即可证得结论.（1）四边形的形状是菱形，理由是：四边形是矩形，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形；（2）四边形的形状是矩形，理由是：四边形是菱形，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形；（3）四边形的形状是正方形，理由是：四边形是正方形，四边形是平行四边形，平行四边形是正方形【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，考查学生的猜想能力和推理能力，综合性较强8在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分AEC，（1）如图1，判断BCE的形状，并说明理由； （2）如图

10、2，若A=90，BC=5，AE=1，求线段BE的长 （1）证明见解析；（2） （1）如图1中，结论：BCE是等腰三角形证明：四边形ABCD是平行四边形， BCAD，CBE=AEB，EB平分AEC，AEB=BEC，CBE=BEC，CB=CE， CBE是等腰三角形；（2）如图2中，四边形ABCD是平行四边形，A=90，四边形ABCD是矩形，A=D=90，BC=AD=5，在RtECD中，D=90，ED=AD-AE=4，EC=BC=5， 在中，A=90，AB=3AE=1，9如图，在ABCD中，DECE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：ADEFCE；(2)若AB2BC，F36，求B的度数

11、（1）见解析；（2）108【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ADBC，AD=BC，证出D=ECF，由ASA即可证出ADEFCE；（2）证出AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，D=ECF，在ADE和FCE中， ADEFCE（ASA）；（2）ADEFCE，AD=FC，AD=BC，AB=2BC，AB=FB，BAF=F=36，B=180-236=108【点评】运用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键10如图，在RtABC

12、中，ACB90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE（1）求证：CEAD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形，理由见解析；（3）当A45时，四边形BECD是正方形，理由见解析【分析】（1）根据两组对边平行，证明四边形ADEC是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到CEAD；（2）先根据一组对边平行且相等，证明四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边

13、的一半证明CDBD，从而证明四边形BECD是菱形；（3）当A45时，四边形BECD是正方形，证明是等腰直角三角形，再利用“三线合一”的性质证明CDAB，从而证明四边形BECD是正方形（1）证明：DEBC，DFB90，ACB90，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四边形ADEC是平行四边形，CEAD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：D为AB中点，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四边形BECD是平行四边形，ACB90，D为AB中点，CDBD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），四边形BECD是菱形；（3）当A45时，四边形BECD是正方形，理由是：解：ACB90，A

14、45，ABCA45，ACBC，D为BA中点，CDAB，CDB90，四边形BECD是菱形，菱形BECD是正方形，即当A45时，四边形BECD是正方形【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练利用这些性质和判定进行证明11如图，在ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD（1）求证：四边形DBEC是平行四边形（2）若，则在点E的运动过程中：当BE_时，四边形BECD是矩形，试说明理由；当BE_时，四边形BECD是菱形

15、（1）见解析；（2）2，理由见解析；4【分析】（1）先证明EBFDCF，可得DC=BE，可证四边形BECD是平行四边形；（2）根据四边形BECD是矩形时，CEB=90，再由ABC=120可得ECB=30，再根据直角三角形的性质可得BE=2；根据四边形BECD是菱形可得BE=EC，再由ABC=120，可得CBE=60，进而可得CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案（1）ABCD，CDF=FEB，DCF=EBF，点F是BC的中点，BF=CF，在DCF和EBF中，EBFDCF（AAS），DC=BE，又DCBE，四边形BECD是平行四边形； （2）BE=2，当四边形BECD是矩形时，CEB

16、=90，ABC=120，CBE=60；ECB=30，BE=BC=2，故2；BE=4，四边形BECD是菱形时，BE=EC，ABC=120，CBE=60，CBE是等边三角形，BE=BC=4故4【点评】本题主要考查了菱形和矩形的性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握菱形四边相等，矩形四个角都是直角12如图,在ABC中,点D是AB边的中点,点E是CD边的中点,过点C作CFAB交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证:DB=CF；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.(1)证明见解析；（2）四边形BDCF是矩形，理由见解析.(1)证明：CFAB，DAECFE又DECE，AE

17、DFEC，ADEFCE，ADCFADDB，DBCF(2)四边形BDCF是矩形证明：由(1)知DBCF，又DBCF，四边形BDCF为平行四边形ACBC，ADDB，CDAB四边形BDCF是矩形13阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗.小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD当AC与BD满足

18、什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论（1）是平行四边形；（2）AC=BD；证明见解析；ACBD【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质及平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；若四边形EFGH是矩形，则HGF=90，即GHGF，又GHAC，GFBD，则ACBD解：（1）是平行四边形证明如下：如图2，连接AC，E是AB的中点，F是BC的中点，EFAC，EF=AC，同理HGAC，HG=AC，综上可

19、得：EFHG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，当AC=BD时，FG=HG，平行四边形EFGH是菱形；当ACBD时，四边形EFGH为矩形理由如下：同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，ACBD，GHAC，GHBD，GFBD，GHGF，HGF=90，四边形EFGH为矩形【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半14图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点（1）在图1中

20、画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且MON=90；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾

21、股定理画出图3：考点：1.作图应用与设计作图；2.勾股定理.15已知：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论（1）见详解；（2）四边形ADCF是矩形；证明见详解【分析】（1）可证AFEDBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论；（2）若AB=AC，则ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知ADBC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又ADBC，则四边形ADCF是矩形（1

22、）证明：E是AD的中点，AE=DEAFBC，FAE=BDE，AFE=DBE在AFE和DBE中，AFEDBE（AAS）AF=BDAF=DC，BD=DC即：D是BC的中点（2）解：四边形ADCF是矩形；证明：AF=DC，AFDC，四边形ADCF是平行四边形AB=AC，BD=DC，ADBC即ADC=90平行四边形ADCF是矩形【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明16如图1，已知锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点（1）求证

23、：MNDE（2）连结DM，ME，猜想A与DME之间的关系，并证明猜想（3）当A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由（1）详见解析；（2）DME=180-2A；详见解析；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，详见解析【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿照（2）的计算过程解答（1）证明：如图，连接，、分别是、边上的高，是的中点，又为中点，；（2）在中，；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：如图，同理（1）可

24、知：，故结论（1）正确；，在中，故结论（2）不正确【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键17阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式 例如：化简 解：将分子、分母同乘以得： 类比应用： （1）化简： ； （2）化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形如图，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；（2）如图，将图中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图中，

25、连结AE，则点D到线段AE的距离为 类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）【分析】类比应用：（1）仿照题干中的过程进行计算；（2）仿照题干中的过程进行计算；拓展延伸：（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可；（3）连接AE，DE，过D作DGAE于点G，根据AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.解：类比应用：（1）根据题意可得：=；（2）根据题意可得：=2；拓展延伸：（1）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，若黄金矩形ABCD的宽AB=1，则黄金矩形ABCD的长B

26、C=；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=，FD=EC=AD-AF=，=，故矩形DCEF为黄金矩形；（3）连接AE，DE，过D作DGAE于点G，AB=EF=1，AD=，AE=，在AED中，SAED =，即，则，解得DG=，点D到线段AE的距离为.【点评】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识18四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接 （1）如图，求证：矩形是正方形；（2）若，求的长度；（3）

27、当线段与正方形的某条边的夹角是30时，直接写出的度数（1）证明见解析（2）（3）当与的夹角为时，；当与的夹角为时，【分析】（1）过作于点，于点，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现是中点，点与重合，由（1）可知四边形是正方形，由此即可解决问题（3）分两种情形考虑问题即可；解：（1）证明：过作于点，于点，如图：四边形为正方形在和矩形是正方形（2）如图：由（1）可知，在中，与重合四边形是正方形（3）当与的夹角为时，如图：，；当与的夹角为时，如图：，综上所述， 或故答案是：（1）证明见解析（2）（3）当与的夹角为时，；当与的夹角为时，【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、

28、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题19猜想与证明：如图摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为_；(2)如图摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 猜想与证明：猜

29、想DM与ME的数量关系是：DMME，证明见解析；拓展与延伸：(1)DMME，DMME；(2)证明见解析【分析】猜想：延长EM交AD于点H，利用FMEAMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明（1）延长EM交AD于点H，利用FMEAMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，（2）连接AC，AC和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，解：猜想与证明：猜想DM与ME的数量关系是：DMME.证明：如图，延长EM交AD于点H.四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形，ADBG，EFBG，HDE90.ADEF.AHMFEM.又AMFM，AMHFME，AMHFME.