信号与系统课件第五章复频5

1、F (s) L f (t) f (t)estdtdj 1 2jf (t)L1stF(s)F(s)e dsdjs平面jw2 1 1 0s1s Let (t) Res 1(s )2Ltet (t) Res aLet cost (t) s Res (s )2 2Let sin t (t) Res (s )2 2n!(s )n1Ltnet (t) Res a 部分分式展开法 留数法5-5反变换1.)将F(s)化成最简真分式29s 114 s s5s)s62例：F (15s2s 5s 6 371s 2s 37e3t 32et)tt(f)t ()2.)求F（s）分母多项式等于零的根，将F（s）分解成部分分

2、式之和3.)求各部分分式的系数4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。 一、部分分式展开法（Haviside展开法）m1m.1s0bba1.1s0an1n 1、mn, D(s)=0无重根假设D(s)=0的根为s1，s2， ，sn，则可以将F(s)表示为：nnKf ( )e i1 ( t)st tKiF (s)iii1sis)F ( sss sK(|s)i ii 2、mn, D(s)=0有重根（假设s1为p重根）， s sLs spD s s sp11nN s K1 p1K1 pK12LD sp 1p2s ss sss111Kp1K11s s1Kns snLs sp1N s D s N

3、s D s d ppKs ss Ksds 1 p111 p1ssss11N s d pk1s s1 p p k !d s pkK1kD s ss1 2、m=n时，先通过长除，将其变为一个关于s的真分式和多项式的和：用部分分式法求原信号f(t)1s(1) F (s) (2) 5s 6s2 2s 5s21s 4(3)(4) 4)3s2 (s2s(s 1)2 2、约当辅助定理 2）est中的实部满足Re(st)0，积分曲线为ABC BB t=n时，不能用此方法求解！这时的解决方法：先用长除进行预处理！1F (s) 例:S=j2S =0（二重） 4)3s2 (s212,31d n 1nst Re s

4、k ( n 1)! ds n 1( s s k )F ( s ) e s s k4、留数法与部分分式分解法比较：1）部分分式分解法只能解决有理函数，而留数法不受有理函数的限制；2） 留数法不能解决m=n的情况，部分分式分解法可以；3） 留数法在数学上比部分分式分解法严密。部分分式分解法涉及的基础知识比留数法简单。三、极零点与极零图j1、 H(s) 的极点和零点极点：使H(s)等于无穷大的s平面上的点，即D(s)=0的根。零点：使H(s)等于零的s平面上的点，即N(s)=0的根。H (s) N (s)D(s) 2、 H(s) 的极零图j 关于实轴对称 在s平面上将H(s)的极点和零点全部标出后的

5、图。H (s) N (s)D(s)1(s )2 2H (s) 、极零图的特性： ij 0从极零图分析时域特征 0 0H (s) 1is1H (s) 1iH (s) s ais a0 0 0 H(s) 的极点决定了其原函数中各个子信号的基本模式。 负实轴上的极点对应的时间函数如：e-t，t e-t，t2 e-t左半s平面内共轭极点对应于衰减振荡 e-tsinwt， e-t coswt0 0 0虚轴上共轭极点对应于等幅振荡；正实轴上的极点对应于指数规律增长的波形；右半s平面内共轭极点对应于增幅振荡。5-6.变换的基本性质t )UL ： U例1(s)1L ：sin tt j(2t (例je )tLe

6、(t)2 j11j1j s j 2ss22拉氏变换的基本性质（1）线性nki fi (t)i1n ki F (s)i1微分df (t)dtsF (s) f (0 )积分t f ( ) d 0F (s) f ( )dss时移f (t t0 ) (t t0 )e st0 F (s)频移f (t )e s0 tF(s s0 )拉氏变换的基本性质（2）s 1 af (at)F尺度变换af (0 ) lim sF (s)lim f (t) 初值定理t 0slim f (t) f () lim sF (s)终值定理t s0f1(t)* f2 (t)F1 ( s ). F2 ( s )卷积定理12j F1

7、(s) * F2 (s)f1(t). f2 (t)求Le3t (2t 1)例3： (2t 1) (2(t 1 )2L (t) 11 1L (2t) 12s s2s 1 s21sL (2t 1) e1( s3)1Le3t (2t 1) e2s 3设：L f (t ) F (s)一、微分性质1. 时域导数性质df (t) sF (s) f (0 )Ldtdf (t )stst udv uv vdudt eedf (t )dt00f (t ) e stf (t )( s)e st dt00f (t ) s f (0 ) sF (s) e stf (t )e st dt00L df (t) sF (s

8、) f (0 )dt s 1 1s例1：L (t) L d (t )dtd 2 f (t ) ssF (s) f (0 ) f (0 )Ldt 2d 2f (t) sF (s) sf (0 ) f2L(0 )dt 2dn f (t )n1n1 sF (s) sf (0 ) L fn(0 )Ldtn设：L f (t) F (s)Lt f (t) dF (s)2.频域导数性质dsd11例1：Lt (t ) ()s2()sdsn! )d n1例2：Lt n (t ) (1)n()ssn1dsn d (11(s )2例3：Ltet )dss 设：L f (t) F (s)二. 积分性质f ( )d 1

9、 F (s)tLs0t(f) d ( Ls )()t )证：L令f0 (s) F (s)tF(s)s (s ) df (t 0s00ttf ( )d L )d Lf ( )d Lf (0t101L f ( )d s f ( )d s F (s)L df (t) sF (s) f (0 )dt 复频域微分与积分 L f t, a F s, a 对参变量微分与积分 La2f t, ad a a2 F s, ad sa1a1f t, aF s, a L a a f t L sF sd stLt f t d F sds三.平移性质设：L f (t) F (s)1.时域平移(延迟定理)f(t)(t-t0

10、)f(t-t0)(t-t0)f(t)(t)tttt0t0L f (t t0 ) (t t0 ) e0 F (s) st例1：有始周期函数的拉氏变换f(t)设f (t)为第一个周期函数1L f1(t) F1(s)1.1则：L f (t) F (s)t11 esTT/2Tf1 (t ) f1 (t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T ) 证：f (t ) L f (t) F (s) esT F (s) e2sT F (s) 111 F (s)1 esTe2 sTe3sT 11F (s)1 e sT11f(t)L f (t) F (s)1 e sT11.Tt( t ) ( t )

11、( t f)T/2T12T s211F1 ( s ) ess111esT/2) 1 (1F(s) (s)1esT1 e sT /2 ss例2：f(t)f (t ) t (t ) (t T )T sTe1F (s)Ts2s2f (t ) t (t ) (t T ) (t T ) T (t T )11 e sTT e sTF (s) s2s2s 思考：这个信号的收敛域？2.频域平移性质Letf (t) F (s )1(s )21例1：Ltet (t )Lt (t) s2s例2：Let cost (t )s Lcost s2 2(s )2 2初值定理：如果f(t)和 f(t) 的导数也存在，并有变换

12、，则：(0)()L df (t) sF (s) f (0 )df (t)e st dt0证明：dtdtdf (t)df (t)df (t)00000 st st stedt edt f (t) |edtdtdt0dtdf (t)e st dt dtdf (t)e st dt dt0 f (0 ) f (0 ) 0sF (s) f (0 ) f lim ft()sFlimst0s初值定理：如果f(t)和 f(t) 的导数也存在，并有变换，则：lim()(0)fft0tsFlims()s3s2 4s 5例1：已知F (s) 求f (0 )s(s2 2s 3)3s2 4s 5 lim 3 2s 3)

13、s (s2s21F (s) s2 1s2f(t)= (t)-s(t)113sf(0+)=0lim sF (s) lim 但1s s2s初值定理：如果f(t)和 f(t) 的导数也存在，并有变换，则：lim()(0)fft0tsFlims()s如果f(t) 中含有冲激函数（或其导数）limsF(s不)存在，就不能用上式直接求初值。或除将过长这时可以先通F(s)变成一个真分式Fp(s)与一个关于s的多项式之和，然后将初值定理表示为：lim()(0)fft0tsFlpims()s终值定理：如果f(t)和f(t)的导数存在，f(t)的LT也存在，且F(s)的极点位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在

14、单极点，lim f (t )存在时t lim sF (s) lim f (t) f ()则：s0t 证：利用导数性质d0f (t)estdt limsF (s) f (0 )limdts0s0df (t ) lim estdts0 f (ft() f (0 ) lim sF (s) f (0 )0 dt0s0lim sF (s) lim f (t) f ()s0t F(s)的极点位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在单极点 01不存在a0例：f(t)=eat(t)f()=lim sF (s) 0 lim sF (s) 1 s0a 0a 0a 0 s01F (s) s a不存在 卷积定理 时域

15、卷积定理 1 F ( s ) * F( s )12f1 (t ). f 2 (t ) 复频域卷积定理 2 jF1 ( s ). F 2 ( s )f1 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( s ). F 2 ( s ) LTt0f1( ) f2 (t )dedtstf (t)*f (t)120tf ( )f2 (t )edtdst10000f ( )f (t ) (t )estdtd1200 )F (s)e )es F (s)sf (df (d1221 F1(s)F2 (s)F s 1例：求原函数f(t)s s F s 1 1 1Le t t L f t 1 F s s s s 111 1s e t e t t Le t t L ft sf (