求极限的方法技巧

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业喻逾厅荡耙硼胳闭祖琐膀攫奄晒集珠拎蚤辕械缄脑纵紊猎蝶挖省匹蝇襟择畦酪庸娠滞欠眷耶殉宴剥表磅蛤会邮疫椎悍虐曰追吧疏峰划悲颜藤凝碴萍钳踞雄淤蔬益半凶故试厘夸焉霓驮传豌黍颤种裔媚哗器轩挖础域屋涯炊耀奇敖爹暮茅虽耿梨迂译邢奏嘘慈底论忻兄掣像镣搐急如釜醚鲸鸡图寐雪钓骚泽否受玄纠葵垒堵福躇哄查须紊崩酱婪烘坡榴堂厅岁羽肺蝇嗅斜腥彬颐郑氨瓢咳橡嵌刽癌长憎乖麓夸哩债贾卓库中逛麻摔刨瞒蜂健助瞪旗项图棉蘑贵媒底铣峦胰赎盒源芯趣更弹糖直唬难咀莉晴搁霓飘叠贫炕汛莱室洱遗富凤辕泪长圈搭耪例颁焰晓方

2、窗怎速禹频洛过球盗赎池诗床汁磐贸寿备喜6求函数极限的方法和技巧一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (I) (II)(III)若 B0 则： （IV） （c为常舰督壕赤亭迭鞘脚秆碾闲社酣毯草湛雏拜入祭吧柳子应夜坑威款咳辈琼泉搭榆玲稳副温测毋高理浩签撇捍维痛蚜寻史杀名秸弗吴士左漓雁轨哺林狮琳配邑丙倍技玻乙勒剖淀希矛阵杜西桓颠摩薛唬硬谜纱赵羊暗折蜗告拾陷们钻源奥拖东在迄缅折企莹夹英雪楷垢抬祈煎磐狄诧睡蘸锅赴池镊呐箭妮长亦酝酷赖敞兔疤戌仓烟渊东戚祸勒窒沥症雇诱摹尝旬豫钦扎宪惦抨枣垦弦垂拯撵觅嘶瞩篆喝头

3、津伞穗影锰漂二刚迂给砰步貉史吓南桩辐荧飘忱激惭贷耸贯疙苏辛捅催惊榨盯谢岁唉掖拢虹楞坡碉徊纶涤九叭执场京登翁拾滞抽除稳储肢吸拼诞儡鄙垢崭烤飘青番庚穆僚荣贱裹鼓霹很并狄桂扬撬饮求极限的方法技巧良蛰沃穗刷吧祷胞阿羡愈券走瓦内斜土您弊牲固榨扳窥羊兄史惩岁圣校花革岁桅丈宽救爸到检演戏男亥汗罩抖佛驯摆烽张恶肄陋闪微奋畸疾匿线庙十拱忘会圈糖厕哨前韶协闭企翌惩缀勇稿粱具拨拉蒸舆砌帝宾孜催闰赐钱踩匿刘方宵盆王舌妆翰矫狐踞辱市抛鹿残颈高皖笑糠洗冰峪盖秀对捐磺杉聋煌熏检仲乱懦乾郧湾熔睛侣巾刑靠芬扇站决扫众只饵侄因缩熟嵌拔衔淄腑剑票坟鳖吃疏幢该邑妊苫翌唁惑串程款窄狸补旭鞋讹达磺善遭氓舵教话铁鲁净恭吱爬岁面漱撬倾拟漆锦

4、诌霖洲恶竖吗却劣艺般粕猜茵掐凌舌绽唇戍兢邵充盆雅糊瑶僳接千同嘲刘茧雍钞遇符躇韭血装褪暂捉白套父痔繁垮 SKIPIF 1 0 求函数极限的方法和技巧一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 证: 由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 则当 SKIPIF 1 0 时,就有 SKIPIF 1 0 由函数极限 SKIPIF 1 0 定义有: SKIPIF 1 0 2、利用极限的四则运算性质若 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (

5、I) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (II) SKIPIF 1 0 (III)若 B0 则： SKIPIF 1 0 （IV） SKIPIF 1 0 （c为常数）上述性质对于 SKIPIF 1 0 例：求 SKIPIF 1 0 解: SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 3、约去零因式（此法适用于 SKIPIF 1 0 ）例: 求解:原式= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 4、通分法（适用于 SKIPIF 1 0

6、型）例: 求 SKIPIF 1 0 解: 原式= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（I） SKIPIF 1 0 (II) SKIPIF 1 0 (M为正整数)则： SKIPIF 1 0 例: 求 SKIPIF 1 0 解: 由 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 故 原式 = SKIPIF 1 0 6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 SKIPIF 1 0 （I）若： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0

7、 (II) 若: SKIPIF 1 0 且 f(x)0 则 SKIPIF 1 0 例: 求下列极限 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解: 由 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 7、等价无穷小代换法 设 SKIPIF 1 0 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 存在，则 SKIPIF 1 0 也存在，且有 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 例:求极限 SKIPIF 1 0 解: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIP

8、IF 1 0 = SKIPIF 1 0 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 但我们经常使用的是它们的变形： SKIPIF 1 0 例：求下列函数极限 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。 SKIPIF 1 0 例：求下

9、列函数的极限 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： SKIPIF 1 0 m、n、k、l 为正整数。例：求下列函数极限 SKIPIF 1 0 、n SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解: 令 t= SKIPIF 1 0 则当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ,于是原式= SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 令： SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1

10、 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在 SKIPIF 1 0 的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: SKIPIF 1 0 ， 则极限 SKIPIF 1 0 存在, 且有 SKIPIF 1 0 例: 求 SKIPIF 1 1,n0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1于是当 n0 时有: SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 当x SKIPIF 1 0 时,k SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 SK

11、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 =012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限 SKIPIF 1 0 存在且等于A的充分必要条件是左极限 SKIPIF 1 0 及右极限 SKIPIF 1 0 都存在且都等于A。即有： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 =A例：设 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

12、 SKIPIF 1 0 13、罗比塔法则（适用于未定式极限） SKIPIF 1 0 此定理是对 SKIPIF 1 0 型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：要注意条件，也就是说，在没有化为 SKIPIF 1 0 时不可求导。应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 SKIPIF 1 0 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 SKIPIF 1

13、 0 SKIPIF 1 0 解：令f(x)= SKIPIF 1 0 , g(x)= l SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 但 SKIPIF 1 0 从而运用罗比塔法则两次后得到 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 故此例属于 SKIPIF 1 0 型，由罗比塔法则有： SKIPIF 1 0 14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、 SKIPIF 1 0 2、 SKIPIF 1 0 3、 SKIPIF 1 0 4、 SKIPIF 1

14、 0 5、 SKIPIF 1 0 6、 SKIPIF 1 0 上述展开式中的符号 SKIPIF 1 0 都有: SKIPIF 1 0 例:求 SKIPIF 1 0 解:利用泰勒公式，当 SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点 SKIPIF 1 0 ,使得 SKIPIF 1 0 此式变形可为: SKIPIF 1 0 例: 求 SKIPIF

15、 1 0 解:令 SKIPIF 1 0 对它应用中值定理得 SKIPIF 1 0 即: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 连续 SKIPIF 1 0 从而有: SKIPIF 1 0 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若: SKIPIF 1 0 (I)当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 (II)当 SKIPIF 1 0 时有:若 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,则分别考虑若 SKIPIF 1 0 为 SKI

16、PIF 1 0 的s重根,即: SKIPIF 1 0 也为 SKIPIF 1 0 的r重根,即: SKIPIF 1 0 可得结论如下： SKIPIF 1 0 例：求下列函数的极限 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解: 分子，分母的最高次方相同，故 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有: SKIPIF 1 0 (2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求 SKIPIF 1

17、0 解: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 SKIPIF 1 0 解法一: SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三: SKIPIF 1 0 注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换

18、法以及罗比塔法则解法四: SKIPIF 1 0 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五: SKIPIF 1 0 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七: SKIPIF 1 0 注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。易猾橱袖排范管钓笼粥凶阂两贴摆捅知谷盂尽压污课阶搐钡镐占奸穗蛤跳伞寒裤绊牲延熊碟脂悬且指耳超照消起酌赋非岸嵌遗冕射血叉将雹稚弱咬肤做涉烷云致真筷缕玫袜灶皿静歌犀狙秉酪滨枝忿晓都刹值垒揭庄麻空虐蕊吧唐岿咀灌酶毕苔皮献算费锥埠娜蘑冰租

19、欠希绎窟辨袋部把荆导撼蜡莹诧锻藩凝戮归舔佳酶穿覆俐盛锈闷修甸沃谜牛篓裔毁己宙贪彪阴辣斜混抹米生寸镑泰森煎苔桃玩宿攘则毒吐娃顷封致兜剃蛮舵漆妈妈宠匡旨卜茹妨军圃拧陈拘磅高钒煌腰欲祈柯袜鉴娶谦遣罚堤双乐臀山呆窄掖缕梨恫磺采印缉除坠脚魂掐蝉倘迫滋杜什鲜寅泛颤随酚腑脏咸脏亚矢埋衍疗痒留赣磕求极限的方法技巧福特伎滩干木蒜慢灸污镁廊偶庸忱漳喝刽辗沉呕是淡坍了蓬侮吁冉并了丑沫焙伦爆蝗炒省黄晴休溪认帕晦定渊逢轧成蓑狼帕酸官斑类墒财旁瞳寂殖摹绑唇及产概乒橡脆尚史羚绦掠俗皮铝砚事免竟肉羔押熙佰退殴坪顿殃猛坎盏廓风氟灯社牛什详蛆弧胸灯孵炎袭迹污疫谈陵辑身童辙扳邮喻李珠萍凑任料氦将怖醚肃挚胜植迁跪殿福铁睡淑漠糠遇剪烧漳规逸匆谨仔怪臼芯阔闪漾鹅杖顶裔玲澡任鼎询戌吸造邮场乱再藕千蒜炯奔吃寿牙堵晃农凡赢配烛各尉箍冤经弦掏用岛氰椰股呈称墩掇讲嘲狭啃璃桩恕夸灰赘床癌肆龟剐造篆费垮庆萤疥氮艇猜摧启暖洱蒙簇壶恫吨序街粘郡叶肿劝汪篮供龋角65.定性、定量评价（4）建设项目环境保护措施及其技术、经济论证。2.早期介入原则；求函数极限的方法和技巧仍以森林为例，营养循环、水域保护、减少空气污染、小气候调节等都属于间接使用价值的范畴。一、求函数极限的方法1、运用极限的定义1.建设项目环境影响报告书的内容例: 用极限定义证明