关于高等数学A期末试题及答案

1、济南高校 20222022 学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课 程 高等数学 A（一）考试时间 2022 年 12 月 31 日 注：请将答案全部答在答题纸上,直接答在试卷上无效； 一、填空题 （每道题 2 分,共 10 分）1 . 2连续点 . 1 x lim 11 xx1e2 设ytanxx2,就 dy12x2 secxx2dx3 曲线y2x36x2x3的拐点是,16 . 4 111x2dx2 . 05 11 dx 2 x 1 二、挑选题 （每道题 2 分,共 10 分）1 lim xsin2xAxA 0 . B 1. C 2 . D 2 设fx tanx,就x0是函数fx的A xA 可

2、去间断点 . B 跳动间断点 . C 其次类间断点 . D 3 当x0时,以下变量中与x 是等价无穷小的是 B 1x. A sin3 x. B x e1. C cos . D 4 函数fx在x 点可导是它在该点连续的 C 以上都不A充分必要条件 . B 必要条件 . C 充分条件 . D 对. C. 5设fx在,内有连续的导数,就以下等式正确选项D A fx dxfx . B dfxdxfxdxC xf tdtfx f 0 . D xf t dtfx . 00三、运算以下极限、导数 （每道题 6 分,共 18 分）1 lim x 13x2xx1x. 解：lim x 132xx1xlim x 1

3、3x2xx1x3x11x2x22 3xx 2 limlnsinx2. 解：limlnsinx2cosxlimsin 4 x 2x2x 2x x2x2x23 设函数yyx由方程ylnyxy0所确定,求：dy 和 dxd2y. dx2两边对 x求导得：lny1y1y0所以得 ; y21yln四、运算以下积分 （每道题 8 分,共 32 分）1xsin 22 xdx. 解：xsin2x2 dx1sin 2x2d2x21cos 2x2C222 1x2dx. 解：令xsin ,| t|2,就：1x2dx2 costdt31 0arctanxdx. 解：1arctan xdxxarctan x 11x2d

4、xxdx21t tedt0001x1exdx. ,1e4解：令tx,就x2t,dx2 tdt000五、综合题 （每道题 10 分,共 20 分）31 设函数 y y x 由参数方程y x t0 t 2e tu du 1所确定,求函数 y y x 的极值 . t 4解：dy 2 te2,令 dy0,得 t 0,代入得：x 1；dx 1 3 t dx当 x 1 时,t 0,所以 dy 0；当 x 1 时,t 0,所以 dy 0；dx dx函数 y y x 的极大值为 y 1 0；2 过点 O 0 , 0 做曲线 L ：y e x的切线,切点为 A ；由曲线 L ,直线 OA 和 y 轴所围成的图形

5、记为 D . 求： OA的直线方程；ex 0e x 0,即0 x1, D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解： 设 A点的横坐标为x ；由于yex,所以x 0A 点的坐标为,1 e , OA的直线方程为yex； V 0 1 e 2 xe 2x 2 dx6 e 22六、证明题（ 10 分）设函数 f x 在闭区间 0 , 1 上连续,在开区间 0 , 1 内可导,且f 0 0,f 1 1 . 证明： 存在一点 0 x 0 1, ,使得 f x 0 1；2 在 ,0 1 内存在两点 1x 和 x ,使得 1 12 . f x 1 f x 2 证： 由于 f x 在闭区间 0 , 1 上连续,且 f 0 1 f 1,有介值定理,存2在一点 0 x 0 1, ,使得 f x 0 1；2 由于 f x 在闭区间 ,0 1 上连续,在开区间 0 , 1 内可导,就在 0 , x 0 内存在一点 1x ,使得 f x 1 f x 0 f 0 1；又在 0 x 1, 内存在