人口统计模型

1、城市人口统计模型一摘要P(r)=4本文主要研究城市人口统计问题，首先本文在知道某城市人口密度r2+20的情况下，求距市中心2km区域内的人口数；以及假设人口密度近似为:P(r)=1比-0.2r(单位不变)试求距市中心2km区域内的人口数.根据两种模型的不同，分别取距离微元和时间微元，建立人口统计的积分模型，然后用定积分的换元法和分部积分法求解.关键词：人口密度、距离微元、时间微元、定积分换元法、分部积分法二问题重述P(r)=4某城市2000年的人口密度近似为r2+20，p(r)表示距市中心r公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人.试求距市中心2km区域内的人口数；若人口密度近似为:P(r

2、)=1-2e-0.2r(单位不变)试求距市中心2km区域内的人口数.二。设p(t)表示t时刻某城市的人口数假设人口变化动力学受下列两条规则的影响：(1)t时刻净增人口以每年r(t)的比率增加；(2)在一段时期内，比如说从T1到T2，由于死亡或迁移，T1时刻的人口数P(T1)的一部分在T2时刻仍然存在，我们用h(T2-T1)P(T1)来表示，0h(T2-T1)1，T2-T1是这段时间的长度.试建立在任意时刻人r(t)=5X104+1051h(t)=e-t/40口规模的模型如果P丿。丄u十丄ur丿，2000年时该城市的人口数107为，试预测2010年时该城市的人口数.三符号说明P(r):人口密度p

3、(t):表示t时刻某城市的人口数r(t):t时刻净增人口比率P(T1):T1时刻的人口数四模型建立及求解根据两种模型的不同，分别取距离微元和时间微元，建立人口统计的积分模型，然后用定积分的换元法和分部积分法求解：第一步:(I)假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成n个小区间,每个小区间的长度为Ar每个小区间确定了一个环，如下图所示r=2n让我们估算每个环内的人口数并把它们相加，就得到了总人口数第个环的面积为:nr2-nr2=n(r-Ar)2jj-1j2-2rAr+(Ar)2=nr2-njjj=2nrAr一n(Ar)2j在第j个环内，人口密度可看成数P(rj)，所以此环内的人

4、口数近似为：p(j-2nrjAr第二步：距市中心2km区域内的人口数近似为:XP(r)-2nrArjjj=1所以人口数:N=j2P(r)2nrdr4第三步：(1)当r2+20j22n-4r2+2002rrdrr2+2024=4nln(r2+20)I2=4nIn袈2.291020距市中心2km区域内的人口数大约为229100.(2)当p(r)=1-2-e0r2时,N=f22nx1.2e一0-2r-rdr=2.4n02re一o.2r(?e一0-2r=2.4n-2.4nJdr-0.20-0.20=-24ne一0.4+12n0.2丿=-24ne一0-4+(-60ne一0-4+60n)q11.6020距

5、市中心2km区域内的人口数大约为1160200.第五步：将r(t)二5x104+1051,h(t)二e/4()及T=10，P（0）=I。7代入（1）式得：P(10)=h(10)P(0)+f10h(10-t)r(t)dt0=107e-i/4+e-i/4!5x104f10e-t/40dt+105f101e1/40d11L00=107e-1/4+2x106e-1/4e一t/40+4x106e-1/4te-1/40010-160 x107e-1/4et/400=2x106(1eJ)+107(17xe-1-12)1.28x1072010年时该城市大约有人口1280万.模型评价和说明人口统计模型（I）中两个人口密度有一个共同特点P(r)0，即随着r的增大,P（r）减少，这是符合实际的另外，需要指出的是人口密度