单目标函数最优化

1、单目标函数最优化1大体概念（1）设计变量（决策变量：在设计进程中进行选择并最终必需确信的各项独立参数。（2）最优化设计的维数：决策变量的数量称为最优化设计的维数，比如：1维、2维、3维设计问题。（3）设计空间：在最优化设计中由各决策变量的坐标轴所描述的空间称为设计空间。当决策变量数量大于3时，n维空间又称为超越空间。注意：设计空间中的一个点（一组决策变量的值）确实是一种设计方案。（4）目标函数：用决策变量表示的、反映所设计问题性能的函数表达式。注意：最优化设计的进程确实是选择合理的决策变量，使目标函数达到最优或找出目标函数的最小值（或最大值）的进程。（5）单目标函数最优化问题：目标函数只有一个

2、。（6）多目标函数最优化问题：目标函数（性能指标）有多个。（7）无约束优化、约束优化（8）线性计划（LinearProgramming,简记为LP）：目标函数和约束条件都是自变量（包括决策变量和非决策变量）的线性函数。非线性计划（NonlinearProgramming，简记为NP）：若是目标函数和约束函数中至少有一个是自变量的非线性函数，这种计划问题就称为非线性计划问题。2单目标函数最优化问题exa:（生产打算问题）某企业打算生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同设备上加工。每单位产品所耗用的设备工时、单位产品利润及各设备在某打算期内的工时限额如表1。试问应如何安排生产打算，

3、才能使企业取得最大利润。表1设备单位产品耗工时甲乙工时限额A116B128C026单位利润341）数学模型（优化模型）的成立决策变量：打算期内甲、乙两种产品的产量，别离用xi、x2表示，其取值均为非负;12目标函数：打算期内两种产品的总利润，用z表示，即z=3x+4x12问题：总利润最大，即maxz=3x+4x12约束条件：、x2受到工时限额的约束，即x+x612x+2x0,x012综上，该问题的数学模型（优化模型）为maxz=3x+4x12s.t.x+x6(1)12x+2x8彳122x012其中（2）s.t.”为“subjectto”（受约束于）的缩写。模型求解方式：线性计划的图解法图解法适

4、用条件：2维优化问题（几何含义：XOY二维坐标系），即只有两个决策变量。解可行域图形的确信LP模型所有约束条件组成的公共部份。称为可行域图形。因为“x20，可行域在第一象限。第一个约束条件曽x26表示半平面，此半平面是以直线片+x26为边界的在其左下方第一象限部份。类似地，可求出其余约束条件表示的半平脸部份（见图1）。图中的凸多边形OABCD即为该例的可行域图形。图1凸多边形（包括其边界）上的每一点，都是本例LP模型的一个可行解。因此凸多边形区域OABCD是该LP模型的可行解的集合，称为可行域，可行域中使目标函数达到最大（或最小）的点为最优势,最优势对应的坐标即为LP的最优解，相应的函数值称为

5、最优值。目标函数的等值线与最优势的确信考虑本例的目标函数z=3x+4x12它代表以z为参数，-3/4为斜率的一簇平行线。由小到大给z赋值，如令z=0,4,12等可取得一组平行线（见图1）,而位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因此称其为等值线。垂直于这组平行线画一直线，取z值沿此直线递增的方向，即为直线簇z=3xi+4x2的法线方向（如图1），其为z值增加最快的方向。12沿法线方向平行移动直线z=3xi+4x当移动到B点时，z值在可行域上达到最大，从而B为最优12势。求出B点坐标，解x+2x=812x+x=612得x*=4，x*=2，最优值为z=20。12max故本例的最优生产方案为：日

6、产甲产品4件，乙产品2件，天天可得最大利润20千元。（3）图解法求解工具：AutoCAD;MATLABAutoCAD步骤：1）设置极限（limits）:（-10,-10）,（10，10）2）设置栅格间距：3）打开栅格；4）绘制可行域图形（由各个约束条件对应直线组成的闭合凸多边形）；5）绘制目标函数对应直线（等值线）；6）沿目标函数法线方向平移目标函数等值线（offset）；7）确信最优解，利用目标捕捉工具获取最优解对应点坐标（id）。MATLAB：函数：linprog函数（具体参见该函数语法手册）求解问题：最小化问题minf（x），约束条件为A*xv=b格式：x=linprog（f,A,b,lb）,lb为向量X（x1,x2）的下限实例中目标函数（1）需转换为