2022年全国卷理科数学与答案

1、2022 年一般高等学校招生全国统一考试（卷）逐题解析理科数学一、挑选题：此题共12 小题,每道题5 分,共 60 分；在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的；二、【题目1】2022 新课标全国卷理11.3 1i（）i. iA 12iB 1 2iC 2iD 2【命题意图 】此题主要考查复数的四就运算及共轭复数的概念,意在考查同学的运算才能【解析 】解法一：常规解法解法二：对十法3i可以拆成两组分式数3 1,运算的结果应为abi 形式,a3 11 12（分子十字相乘,1i112 12 1分母为底层数字平方和）,b1 13 11（分子对位之积差,分母为底层数字平方和）. 2 12 1解

2、法三：分别常数法解法四：参数法3 ia bi 3 i a bi 1 i 3 i a b a b i a b 3,解得 a 21 i a b 1 b 1故 3 i 2 i1 i【学问拓展 】复数属于新课标必考点,考复数的四就运算的年份较多,复数考点有五：1.复数的几何意义（ 2022 年）；2.复数的四就运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数；5.复数的模【题目 2】2022新课标全国卷理22.设集合1,2,4,x x24xm0如I1,就（）B 1,0C 1,3D 1,5A 1, 3【命题意图 】此题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算,以考查考生的运算才能为目的. 【解

3、析 】解法一：常规解法AIB1 1 是方程2 x4xm0的一个根,即m3,Bx x24x30故B1,3解法二：韦达定理法AIB1 1 是方程2 x4xm0的一个根,利用宏大定理可知：x 114,解得：x 13,故B1,3解法三：排除法集合 B 中的元素必是方程方程2 x4xm0的根,x 1x 24,从四个选项ABCD 看只有 C选项满意题意 . 【学问拓展 】集合属于新课标必考点,属于函数范畴,常与解方程求定义域和值域数集意义相结合,集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算 . 【题目 3】2022新课标全国卷理 33.我国古代数学名着 算法统宗 中有如下问题：“ 远望巍巍塔七层

4、,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？” 意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,就塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【命题意图 】此题主要考查等比数列通向公式 a 及其前 n 项和 S ,以考查考生的运算才能为主目的. 【解析 】解法一：常规解法一座 7 层塔共挂了381 盏灯,即S 7381；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍,即q2,塔的顶层为a ；由等比前n 项和S na 11qnq1可知：S 7a 11n 2381,解得q121a 13. 解法二：边界效应等比数列为递增数列,就有a n1S

5、,a8S 7381,解得a 12.9,a 13. 【学问拓展 】数列属于高考必考考点,一般占10 分或 12 分,即两道小题或一道大题,其中必有一道小题属于基础题,一道中档偏上题或压轴题,大题在 17 题显现,属于基础题型,高考所占分值较大,在高中教学中列为重点讲解内容,也是大部分同学的难点,主要是平常教学题型难度严峻偏离高考考试难度,以及讨论题型偏离命题方向,期望能引起留意；考试主线特别明晰,1.等差数列通向公式 a 及其前 n项和 S ；2. 等比数列通向公式 a 及其前 n 项和 S . 【题目 4】2022新课标全国卷理 44.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,学 科&网粗实线画出的

6、是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,就该几何体的体积为（）A 90 B 63 C 42 D 36【命题意图 】此题主要考查简洁几何体三视图及体积,以考查考生的空间想象才能为主目的 . 【解析 】解法一：常规解法从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分,详细图像如下：切割前圆柱切割中切割后几何体从上图可以清楚的可出剩余几何体外形,该几何体的体积分成两部分,部分图如下：从左图可知：剩下的体积分上下两部分阴影的体积,下面阴影的体积为 V Sh,r 3,h 4,V 1 36；上面阴影的体积 V 是上面部分体积 V 的一半,即 V 2 1V ,V 与 V 的比为高的比

7、（同底） ,2即 V 3 3V ,V 2 3V 1 27,故总体积 V 0 V 2 V 1 63 . 2 4其次种体积求法：V 3 Sh 54,其余同上,故总体积V 0 V 2 V 1 63 . 【学问拓展 】三视图属于高考必考点,几乎年年考三视图,题型一般有五方面,1.求体积； 2.求面积（表面积,侧面积等）；3.求棱长； 4.视图本质考查（推断视图,绽开图,空间直角坐标系视图）； 5.视图与球体综合联立,其中前三个方面考的较多 . 2 x 3 y 3 0【题目 5】2022新课标全国卷理 55.设 x , y 满意约束条件 2 x 3 y 3 0,就 z 2 x y 的最小值y 3 0是（

8、）A15 B9 C1 D 9【命题意图 】此题主要考查线性规划问题,以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的,属于过渡中档题 . 【解析 】解法一：常规解法2 x 3 y 3 0依据约束条件 2 x 3 y 3 0 画出可行域（图中阴影部分）, 作直线 l : 2 x y 0,平移直线 l ,y 3 0将直线平移到点 A 处 Z 最小,点 A 的坐标为 6, 3 ,将点 A 的坐标代到目标函数 Z 2 x y ,可得 Z 15,即 Z min 15 . yl解法二：直接求法对于封闭的可行域,我们可以直接求三条直线的交点,代入目标函数中,三个数种选其最小的 2x+3y-3=0 C2x-3y+3

9、=0 为最小值即可,点 A 的坐标为 6, 3 ,点 B 的坐标为 6, 3 ,点 C 的坐标为 0,1 ,所求值分O x别为 15 9 1,故 Z min 15,Z max 9 .A y = -3 B解法三：隔板法第一 看约束条件方程的斜率约束条件方程的斜率分别为 22 0 ；3 3其次 排序依据坐标系位置排序 2 0 2；3 3再次 看目标函数的斜率和 y 前的系数看目标函数的斜率和 y 前的系数分别为 2 1；最终 画初始位置,跳格,找到最小值点目标函数的斜率在 2 ,0 之间,即为初始位置,y 前的系数为正,就按逆时针旋转,第一格为3最大值点,即 2 2,其次个格为最小值点,即 0,

10、2,只需解斜率为 0 和2 这两条线的交点3 3 3 3即可,其实就是点 A ,点 A 的坐标为 6, 3 ,将点 A 的坐标代到目标函数 Z 2 x y ,可得 Z 15,即 Z min 15 . 【学问拓展 】线性规划属于不等式范畴,是高考必考考点,常考查数学的数形结合才能,一般变化只在两个方向变化,1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面变化,目标函数就从方程的几何意义上变化,但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条件,求已知的二元一次方程目标函数）即可 . ,此题型属于过渡中档题,只需多积存各题型解决的方法【题目 6】2022新课标全国卷理 66.支配 3

11、名理想者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由1 人完成,就不同的支配方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【命题意图 】此题主要考查基本计数原理的应用,以考查考生的规律分析才能和运算求解才能为主 . 【解析 】解法一：分组安排之分人第一分组3 A 36种可能,另外一组从三人在选调一人,有C1 33种可将三人分成两组,一组为三个人,有能；其次排序2 A 22种可能；共计有36 种可能 . 两组前后在排序,在对位找工作即可,有解法二：分组安排之分工作工作分成三份有C2 46种可能,在把三组工作分给3 个人有3 A 36可能,共计有36 种可能 .解法三：分组安排之

12、人与工作互动先让先个人个完成一项工作,有3 A 424种可能,剩下的一项工作在有3 人中一人完成有C1 33种可能,但由两项工作人数相同,所以要除以2 A 22,共计有 36 种可能 .解法四：占位法其中必有一个完成两项工作,选出此人,让其先占位,即有 C 3 1C 4 218 中可能；剩下的两项工作由剩下的两个人去完成,即有 A 2 22 种可能,按分步计数原理求得结果为 36 种可能 . 解法五：隔板法和环桌排列第一让其环桌排列,在插两个隔板,有C26种可能,在安排给3 人工作有3 A 36种可能,按分4步计数原理求得结果为36 种可能 . 【学问拓展 】计数原理属于必考考点,常考题型有1

13、.排列组合； 2.二项式定理,几乎二者是隔一年或隔两年交互出题,排列组合这种排序问题常考,已经属于高考常态,利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态,特别是利用二项式定理求某一项的系数更为突出 . 【题目 7】2022新课标全国卷理 77.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成果老师说：你们四人中有 2 位优秀, 2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成果,给乙看丙的成果,学 科&网给丁看甲的成果看后甲对大家说：我仍是不知道我的成果依据以上信息,就（）A乙可以知道四人的成果 C乙、丁可以知道对方的成果B丁可以知道四人的成果 D乙、丁可以知道自己的成果【命题意图 】此题考

14、查推理与证明的有关学问,考查考生推理论证才能 . 【解析 】解法一：假设法甲看乙丙成果,甲不知道自己的成果,那么乙丙成果中有一人为优,一人为良；乙已经知道自己的成果要么良,要么优,丙同样也是,当乙看到丙的成果,肯定知道自己的成果,但是丙一定不知道自己的成果；而丁同学也知道自己的成果要么良,要么优,只有看到甲的成果,才能判断自己的成果,丁同学也肯定知道自己的成果,故只有乙丁两位同学知道自己的成果 . 解法二：选项代入法当我们不知道如何下手 , 就从选项入手,一一假定成立,来验证我们的假设是否成立,略【学问拓展 】推理与证明近两年属于热点考题,2022 年的第 15 题（理）第 16 题（文）,今

15、年的理（ 7）文（ 9）,属于创新题,突出新奇,但题的难度不大,需要考生冷静的摸索,抓住主要学问要点,从而能够快速做题,属于中档题. a1,就输出的 S（）【题目 8】2022新课标全国卷理88.执行右面的程序框图,假如输入的A2 B3 C4 D5 【命题意图 】此题考查程序框图的学问,意在考查考生对循环结构的懂得与应用. 【解析 】解法一：常规解法S 00,K01,a 01, SSa K , a7a ,执行第一次循环：S 11a 11K12；执行其次次循环：S 21a21K23；执行第三次循环：S 32a 31S 42a41K45；执行第五次循环：S 53K34；执行第四次循环：a 51S

16、63a 61K6；当K676时,终止循环,输K56；执行第五次循环：出S 63,故输出值为3.解法二：数列法S nS n111nn ,Kn6n1,裂项相消可得S nS 1i n31ii ；执行第一次循环：,故输出2i 24564,即S 63S 11,当Kn时,n6即可终止,S 612a 11K值为 3. 【题目9】 2022新课标全国卷理99.如双曲线C:x2y21（a0,b0）的一条渐近线被圆a2b2x22y24所截得的弦长为2,就 C 的离心率为（）. A2 B3C2D2 3 3【命题意图 】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系,意在考查考生的转化与化归思想【解析 】解法一：常规解法依

17、据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为yb ax,依据直线与圆的位置关系可求得圆心到2. 渐进线的距离为3 , 圆心到渐近线的距离为2b2,即12b23,解得eaa1bbaa解法二：待定系数法设渐进线的方程为 y kx,依据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为 3 ,2 k 2 k 2 圆心到渐近线的距离为2,即2 3,解得 k 3；由于渐近线的斜率与离心率1 k 1 k关系为 k 2e 21,解得 e 2 . 解法三：几何法从题意可知：OAOO 1O A2,OO A 为e2. 等边三角形,所以一条渐近线的倾斜较为3,由于ktan,可得k3,1,解得渐近线的斜率与离心率关系为k22 e解

18、法四：坐标系转化法依据圆的直角坐标系方程：x22y24,可得极坐标方程4cos,由 4cos2可得极角3,从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等,所以k3,渐近线的斜率与离心率关系为k22 e1,解得e2. 解法五：参数法之直线参数方程如上图,依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为ybx,可以表示点A 的坐标为2cos,2sin,acosa, sinb 点 A 的坐标为2a,2 b,代入圆方程中,cccc解得e2. 【学问拓展 】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科）,一般与三角形直线与圆向量相结合,属于中档偏上的题,但随着二卷回来基础的趋势,圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上

19、位置,但难度逐年下降. 1010.已知直三棱柱C）11 C 中,C120o,2,【题目 10】2022新课标全国卷理CCC11,就异面直线1与C 所成角的余弦值为（A3B15C10D3 3255【命题意图 】此题考查立体几何中的异面直线角度的求解,意在考查考生的空间想象才能【解析 】解法一：常规解法在边BB B C A B AB 上分别取中点E F G H ,并相互连接 . 由三角形中位线定理和平行线平移功能,异面直线 AB 和 BC 所成的夹角为 FEG或其补角,通过几何关系求得 EF 2,FG 5,2 211FH,利用余弦定理可求得异面直线210AB 和 BC 所成的夹角余弦值为 .5解法

20、二：补形通过补形之后可知：BC D 或其补角为异面直线 AB 和 BC 所成的角,通过几何关系可知：BC 1 2,C D 5,BD 3,由勾股定理或余弦定理可得异面直线 AB 和 BC 所成的夹角余弦值为 10.5解法三：建系解法四：投影平移- 三垂线定理建立如左图的空间直角坐标系,A0,2,1,B 10,0,0,B0,0,1,C13,1,022uuuur BC 13,1, 1,uuur B A0,2,122cosuuur uuuurB A BC 1uuur uuuurB A BC 1522105设异面直线AB 和BC 所成的夹角为3利用三垂线定理可知：异面直线AB 和BC 所成的夹角余弦值为

21、10.5【学问拓展 】立体几何位置关系中角度问题始终是理科的热点问题,也是高频考点,证明的方法大体有两个方向：1.几何法； 2.建系；几何法步骤简洁,但不易想到；建系简洁想到,但运算量偏大,平常复习应留意各方法优势和不足,做到胸有成竹,方能事半功倍 . 【题目 11】2022新课标全国卷理1111.如x2是函数f x x2ax1 ex1的极值点,就f x 的微小值为（）B.2e3D.1 C. 5e3A.1【命题意图 】此题主要考查导数的极值概念及其极大值与微小值判定条件,意在考查考生的运算求解才能 . 【解析 】解法一：常规解法fxx2ax1x e1 导函数fxx2a2xa1x e1f20a1

22、0 + 导函数fxx2x2ex1令fx0,x 12,x 11当 x 变化时,fx , fx 随变化情形如下表：+ 0 - 从上表可知：微小值为极大值1. 微小值f1【学问拓展 】导数是高考重点考查的对象,极值点的问题是特别重要考点之一,大题小题都会考查,属于压轴题,但难度在逐年降低. ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC内一点,【题目 12】2022 新课标全国卷理1212.已知就uuur PAuuur PBuuur PC的最小值是（）C. 4D. 1A. 2B.323【命题意图 】此题主要考查等边三角形的性质及平面对量的线性运算数量积,意在考查考生转化与化归思想和运算求解

23、才能【解析 】解法一：建系法连接 OP ,uuur OA0, 3,uuur OB1,0,uuur OC31,0. uuur PCuuur PBx,y3x ,yuuur 2 PO,uuur uuurPO PAuuur uuurPO PA23x2y23y2 xy24uuur uuurPO PA3,uuur PAuuur PCuuur PB2uuur uuurPO PA342最小值为32解法二：均值法uuur PCuuur PB2uuur PO,uuur PAuuur PCuuur PB2uuur uuurPO PA2uuur PO22uuur uuurPA PO由上图可知：uuur OAuuur

24、PAuuur PO；两边平方可得3uuur PAuuur PA2uuur PO22uuur uuurPA PO,2uuur uuurPO PA32uuur PAuuur PCuuur PB2uuur uuurPO PA3,最小值为322解法三：配凑法uuur PCuuur PB2uuur PO2uuur uuurPO PAuuur POuuur PA22uuur POuuur PA2uuur POuuur PA2uuur AO23uuur PAuuur PCuuur PB22最小值为32【学问拓展 】三角形与向量结合的题属于高考经典题,一般在压轴题显现,解决此类问题的通法就是建系法,比较直接,

25、易想,但有时运算量偏大 .二、填空题：此题共 4 小题,每道题 5 分,共 20 分；【题目 13】2022新课标全国卷理 1313.一批产品的二等品率为 0.02 ,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100次,表示抽到的二等品件数,就 D【命题意图 】此题考查二项分布概念及其数字特点,意在考查同学的运算求解才能 . 【解析 】解法一：一般解法随机变量X B100,0.02,D Xnp1p1.96【学问拓展 】离散型随机变量是高考考点之一,随机变量分布是热点话题,正态分布和二项分布都以小题显现,且在基础题位置,难度较低,在平常复习时不宜讨论难题3 cosx. 3（x0,2）的最大值【题

26、目14】2022 新课标全国卷理1414.函数fxsin2x4是【命题意图 】此题考查三角函数同角基本关系及函数性质最值,意在考查考生转化与化归思想和运算求解才能【解析 】解法一：换元法fxsin2x3cosx3x0,2,sin2x2 cosx14fx2 cosx3 cosx111） 2022 年和 2022 广西卷均显现此10,就4设tcosx ,t0,1,fxt23 t14函数对称轴为t30,1,fxmax12【学问拓展 】此类问题属于热点题型,2022 年二卷（文题型,解决方法相同,但二卷近几年不会再出了. a n的前 n 项和为S ,a 33,S 4【题目15】 2022新课标全国卷理

27、1515. 等差数列n11kS k【命题意图 】此题主要考查等差数列通向公式【解析 】解法一：常规解法a 及其前 n 项和以及叠加法求和,S 410,a 2a 3a 1a 4,a2a 35n11nN 这个条件,此处属于a 33,a22annS nn a 1a nS n21121212n nS nn nnin12 1n112 n11S nnin12 n1,nN1S nn【学问拓展 】此题不难,属于考查基础概念,但有一部分考生会丢掉易错点 . 【题目 16】2022新课标全国卷理1616.已知 F是抛物线 C:y28x 的焦点,是 C 上一点, F的延长线交 y 轴于点如为 F的中点,就F【命题意

28、图 】此题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系,意在考查考生的转化与化归思想运算求解的才能【解析 】解法一：几何法 点 M 为线段 NF 的中点xM1M23MFxNF 2 MF 6【学问拓展 】此题从抛物线定义入手,定比分点求坐标,这是基础概念题,课本习题常有练习 .三、解答题：共 70 分；解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤；第 1721 题为必做题,每个试题考生都必需作答；第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答；（一）必考题：共 60 分；【题目 17】2022新课标全国卷理 1717.（12 分）2 BABC的内角 A B C 的对边分别为 a b c ,已知 sin

29、A C 8sin21求 cosB2如 a c 6 , ABC 面积为 2,求 .【命题意图】此题考查三角恒等变形,解三角形【试题分析】在第（）中,利用三角形内角和定理可知ACB ,将sinAC8sin2B转化2为角 B 的方程,思维方向有两个：利用降幂公式化简sin2B ,结合 2sin2B2 cosB1求出 cosB ； .在第（）中,利用二倍角公式,化简sinB8sin2B,两边约去sin B ,求得 2tan B ,进而求得 2cosB2利用（）中结论,利用勾股定理和面积公式求出ac、ac,从而求出 b （）【基本解法1】2sinBcosB8sin2B, 又sin B 20, 所 以由题

30、设及ABC,sinB8sin2 B,故2上式两边平方,整理得2 17cos B-32cosB+15=0解得cosB=1（舍去）,cosB=1517【基本解法2】由 题 设 及ABC,sinB8sin2B, 所 以2222tan B 21,cos B12 tanB152 B412 tanB4ac172（）由cosB=15得sin B8,故SABC1a sin1717217又SABC=2,就ac172由余弦定理及 ac6得所以 b=2 【学问拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等学问解题,解题时要敏捷利用三角形的边角

31、关系进行“ 边转角”“ 角转边” ,另外要留意ac ac a22 c 三者的关系,这样的题目小而活,备受老师和同学的欢迎【题目 18】2022新课标全国卷理 1818.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学 | 科网,收成时各随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示大事：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估量 A 的概率；（2）填写下面列联表,并依据列联表判定是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg 箱产量 50kg旧养殖

32、法新养殖法（3）依据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估量值（精确到 0.01）【命题意图】概率统计 , 独立检验等学问的综合运用【基本解法】（）旧养殖法的箱产量低于 50kg 的频率为 0.012 5+0.014 5+0.024 5+0.034 5+0.040 5=0.62,由于两种养殖方法的箱产量相互独立,于是 P（A） =0.62 0.66=0.4092（）旧养殖法的箱产量低于50kg 的有 100 0.62=62 箱,不低于50kg 的有 38 箱,新养殖法的箱产量不低于 50kg 的有 100 0.66=66 箱,低于 50kg 的有 34 箱,得到 2 2 列联表如

33、下：旧养殖法箱产量 0.50,不低于 55kg 的频率为 0.046 5+0.010 5+0.008 5=0.320.50,于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg 到 55kg 之间,设新养殖法箱产量的中位数为x,就有（55-x） 0.068+0.046 5+0.010 5+0.008 5=0.50 解得 x=52. 3529 因此,新养殖法箱产量的中位数的估量值 52. 35；【学问拓展】第一,先表示大事,再写出其发生的概率,将未知大事用已知大事表示,依据大事间的关系,求出未知大事的概率.统计的基本原理是用样本估量总体.独立性检验, 先填 2*2 列联表, 再运算,与参考值比较,作出结论；中

34、位数的运算要依据中位数以左其频率和为50%.求面积和运算频率. 【题目 19】2022新课标全国卷理1919.（12 分）如图,四棱锥P-ABCD中,侧面 PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,AB BC 1 AD ,2（1）证明：直线 CEBADABCo 90 ,E是 PD 的中点 . / /平面 PAB（2）点 M 在棱 PC 上,且直线BM 与底面 ABCD所成锐角为45o,求二面角M-AB-D 的余弦值【命题意图】线面平行的判定,线面垂直的判定,面面垂直的性质,线面角、二面角的求解【标准答案】（1）证明略；（ 2）105【基本解法 1】（1）证明：取 PA 中点为 F ,连接 EF

35、、 AF由于 BAD ABC 90,BC 1 AD 所以 BC 1AD2 2由于 E 是 PD 的中点,所以 EF 1AD ,所以 EF BC2所以四边形 EFBC 为平行四边形,所以 EC / / BF由于 BF 平面 PAB , EC 平面 PAB所以直线 CE / / 平面 PAB（2）取 AD 中点为 O,连接 OC、OP由于PAD为等边三角形,所以 PO AD由于平面 PAD 平面 ABCD ,平面 PAD I 平面 ABCD AD , PO 平面 PAD所以 PO 平面 ABCD由于 AO BC ,所以四边形 OABC为平行四边形,所以 AB / / OC所以 OC AD以 OC

36、OD OP 分别为 x y z轴建立空间直角坐标系,如图uuur设 BC 1,就 P 0,0, 3, A 0, 1,0, B 1, 1,0, C 1,0,0,所以 PC 1,0, 3uuuur uuur设 M , x y z ,就 PM , , x y z 3,AB 1,0,0uuuur uuur由于点 M 在棱 PC 上,所以 PM PC 0 1,即 , x y z 3 1,0, 3uuuur所以 M ,0, 3 3 ,所以 BM 1,1, 3 3 r平面 ABCD 的法向量为 n 0,0,1由于直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45 ,uuuur r所以 | sin 45 | | co

37、s uuuur rBM n | | uuuur BM n r | | 3 3 | 2| BM | n | 1 21 2 3 3 21 2解得 1 2,所以 uuuurBM 2,1, 62 2 2 uuur urur AB m x 0设平面 MAB 的法向量为 m , , ,就 uuuur ur 2 6BM m x y z 02 2令 z 1,就 urm 0, 6,1ur r 2所以 cos m n ur rur m n uur 1 10| m | | n | 6 2 2 5 12所以求二面角 M AB D 的余弦值 105【基本解法 2】（1）证明：取 AD 中点为 O ,连接 OC、OE由于

38、 BAD ABC 90,BC 1AD 所以 BC 1AD ,即 BC AO2 2所以四边形 OABC为平行四边形,所以 OC / / AB由于 AB 平面 PAB , OC 平面 PAB所以直线 OC / / 平面 PAB由于 E 是 PD 的中点,所以 OE / / PA由于 PAI平面 PAB, OE PA / / 平面 PAB平面 PAB所以直线OCE/ /平面 PAB由于 PAABA,所以平面由于 CE 所以直线平面 PAB CE / / 平面 PAB（2）同上【学问拓展】线面平行的证明一般有两个方向,线面平行的判定或面面平行的性质；角的求解多借助空间直角坐标系,需要留意两个问题：（1

39、）题中没有现成的三条线两两垂直,需要先证明后建系；（2）ur r m n是指两个法向量的夹角,与二面角相等或互补,需要观看所求二面角是锐二面角仍是钝二面角【题目 20】2022新课标全国卷理2020. （ 12 分）2uuuur NM. 2 设 O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆 C：x2y21上,过 M 做 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满意uuur NP1 求点 P 的轨迹方程；2 设点 Q 在直线 x=-3 上,且uuur uuur OP PQ1.证明：过点P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F. 【命题意图】椭圆,定值问题的探究；运算求解才能【基本解法】（）解法一：相关

40、点法求轨迹：xx 0,y,uuuur NM0,y 0. 设Mx 0,y 0,N x 0,0,P x y ,就：uuur NP又uuur NP2uuuur NM, 所以：xx 0,y2 0,y 0,就：xx 0,y2y . 0又Mx 0,y 0在椭圆 C上,所以：x 02y021；2所以：x2y22. 解法二：椭圆 C的参数方程为：x2 cos（为参数） . y 1,就：x2 cos ,y2 sin. 2 sin,ysin设M2 cos ,sin,N2 cos ,0,P x y ,就：uuur NPx2 cos ,y,uuuur NM0,sin. 又uuur NP2uuuur NM, 所以：x2

41、 cos ,y2 0,sin,F就：x2y22. , 就uuur OP1,02 cos ,（ ） 解 法 一 ： 设P2 cos ,2 sin,Q3,uuur OQ3,y 1,uuur PQ32 cos ,y12 sin,uuur PF12 cos ,2 sin. . 2sin21又uuur uuur OP PQ1, 所以：32cos , y 12sin13 2 cos2cos22y 1sin2 cos ,2 sin即：3 2cos2y 1sin3.3, y33 2 cos2 sin0那么：uuur uuur PF OQ12 cos ,2 sinuuur 所以： PFuuur OQ. 即过 P

42、 垂直于 OQ 的直线 l 过椭圆 C的左焦点 F ；解法二：设P x y 1 1,Q3,y 2,F21,0, 就uuur OP1x y 1uuur,OQ3,y2,uuur PQ3x y 2y 1,uuur PF1x 1,y 1. 3 x 1x 1y y22 y 1. 又uuur uuur OP PQ1, 所以：x y 13x y 2y 1. 又P x y 1在x2y22上,所以：3x 1y y23又uuur uuur PF OQ1x 1,y 13,y 233 x 1y y 20. uuur 所以： PFuuur OQ. 即过 P 垂直于 OQ 的直线 l 过椭圆 C的左焦点 F ；【题目 2

43、1】2022新课标全国卷理f2121.（12 分）已知函数f x ax2axxlnx 且 0. （1）求 a；（2）证明：f x 存在唯独的极大值点x ,且e2f x022. 【命题意图】此题考查函数的极值,导数的应用【基本解法】 1法一 . 由题知：f x x axalnxx0,且f x 0,所以：a x1lnx0. ；当x1,时,alnx 1；lnx即当x0,1时,ax1x当x1时,a x1lnx0成立 . 令g xx1 lnx,gx11x1,当x0,1时,gx0,1；xxg x 递减 ,g xg1xlnx,即：ln xx 11.所以：a0,所以：1当x1,时,gx0,x1lnx,即：ln

44、 xx 11.所以：a1；g x 递增 ,g xg10,所以：综上：a1. 法二 .洛必达法就由题知：f x x axalnxx0,且f x 0,lim x 11. 1.所以：a x1lnx0. 即当x0,1时,alnx；当x1,时,alnx；x1x1当x1时,a x1lnx0成立 . 令g xlnx,gx1xx12lnx11lnx. xxx1112x令h x11lnx,hx1112 xx. xx2x当x0,1时,hx0, h x 递增,h xh10；所以gx0, g x 递减,g xlim x 1lnxlim x 1lnxx1 x1x所以：a1；lim x 111.当x1,时,hx0, h

45、x 递减,h xh10；所以gx0, g x 递减,g xlim x 1lnxlim x 1lnxx1x1 x所以：a1；x . 0故：a1. （1）由1知：f x x x1lnx ,fx2x2ln设x2x2lnx ,就x21x. x当x1 0, 2时,x0；当x1 , 2时,所以 x 在 0, 12 递减,在 1 ,2 递增 . 又 e 20,12 0,1 0 ,所以 x 在 0, 12 有唯独零点 0 x,在 1 ,2 有唯独零点 1,且当 x 0, x 0 时,x 0；当 x x 0,1 时,x 0；当 x 1, 时,x 0 . 又 f x x ,所以 x x 是 f x 的唯独极大值点 . 由 f x 0 0 得 ln x 0 2 x 0 1,故 f x 0 x 0 1 x 0 . 由 x 0 0,1 得 f x 0 14 . 由于 x x 是 f x 在 0,1 的唯独极大值点,由 e 1 0,1,f e 10 得2 2所以 e f x 0 2.（二）选考题：共 10 分；请考生在第 22、23 题中任选一题作答；假如多做,按所做的第一题计分；【题目 22】2022新课标全国卷理 2222.选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy