2021中考（通用版）数学二轮复习训练几何专题-四点共圆问题 【含答案】

1、2021中考（通用版）数学复习训练几何专题-四点共圆问题一选择题1如图，在等腰RtABC中，ABC90，ABBC4，D是BC中点，CADCBE，则AE（）A4B3C2D2如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN过点A作APBN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，PMAPCB，连接CM，有以下结论：PAMPBC；PMPC；M、P、C、B四点共圆；ANAM其中正确的个数为（）A4B3C2D13如图，若BC是RtABC和RtDBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”如图，ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图中“四点共圆”的组数为（）A

2、2B3C4D64如图，在四边形AOBC中，若12，3+4180，则下列结论正确的有（）（1）A、O、B、C四点共圆（2）ACBC（3）cos1（4）S四边形AOBCA1个B2个C3个D4个5如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（ab），M在BC边上，且BMb，连接AM，MF，MF交CG于点P，将ABM绕点A旋转至ADN，将MEF绕点F旋转至NGF，给出以下五个结论：MADAND；CPb；ABMNGF；S四边形AMFNa2+b2；A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A2B3C4D56如图，一副直角三角板满足ACBEDF90，ACBC，ABDF，EFD3

3、0，将三角板DEF的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D旋转，并使边DE与边AC交于点M，边DF与边BC于点N当EDF在ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：点C，M，D，N四点共圆；连接CD，若ADDB，则ADMCDN；若ADDB，则DNCMBNDM；若ADDB，则CM+CNAD；若DB2AD，AB6，则2SDMN4其中正确结论的个数是（）A2B3C4D57如图，在ABC中，B75，C45，BC62，点P是BC上一动点，PEAB于E，PDAC于D无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（）A33BC46D28在圆内接四边形ABCD中，BAD、ADC的角平分线交于点E，

4、过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN（）ABM+DNBAM+CNCBM+CNDAM+DN二填空题9如图，在等腰ABC中，ABAC，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求ADAF的值 10如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（ab），M在BC边上，且BMb，连接AM，MF，MF交CG于点P，将ABM绕点A旋转至ADN，将MEF绕点F旋转至NGF，给出以下五个结论：MADAND；CPa；ABMNGF；S四边形AMFNa2+b2；A，M，P，D四点共圆，其中正确的序号为 11如图，在

5、四边形ABCD中，ABCADC90，ABD72，则CAD的度数为 12如图，在ABC中，ABAC，点D在BA延长线上，点E在BC边上，CAE2ACD，BAE60，若AD3，ABE的面积为10，则CD的长为 13已知AB为圆O的一条弦（非直径），OCAB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N以下说法正确的有 O，M，B，P四点共圆；A，M，B，N四点共圆；A，O，P，N四点共圆14如图，线段AB、CD相交于E，AEAC，DEDB，点M、F、G分别为线段AD、CE、EB的中点，如果MAE25，AMF40，那么MFG的度数为 15如图，点O为等边ABC内

6、一点，OA2，OC，连接BO并延长交AC于点D，且DOC30，过点B作BFBD交CO延长线于点F，连接AF，过点D作DEAF于点E，则DE 16如图，ABCD，CBECAD90ACAD6，DE4，则BD长为 17如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD交于点O，E为DC上一点，DAE30，过D作DFAE于F点，连接OF则线段OF的长度为 三解答题18如图，A、B、C、D四点共圆，且ACBACD60求证：ABD是等边三角形19如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，BMCM，K为AM上一点，且BKC180BAC求证：BKDCKD20在学习圆这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内

7、接四边形的对角互补；事实上，它的逆对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：ABC是等边三角形，点D是ABC内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点F当点D在如图所示的位置时：（1）观察填空：与ACD全等的三角形是 ；AFB的度数为 ；（2）利用题干中的结论，证明：C，D，F，E四点共圆；（3）直接写出线段FD，FE，FC之间的数量关系 21如图，已知锐角三角形ABC，过点A作BC的

8、垂线与以BC为直径的O1分别交于点D，E过点B作CA的垂线与以CA为直径的O2分别交于点F，G求证：E，F，D，G四点共圆，并确定圆心的位置22如图，在锐角三角形ABC中，ABAC，ACB的平分线交AB于点D过ABC的外心O作直线OGCD交AC于点E，交CD于点G，过点E作EFAB交CD于F（1）求证：C，E，O，F四点共圆；（2）求证：A，O，F三点共线；（3）求证：EAEF23如图，ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，直线EF与直线AI，BI，DI分别相交于点M，N，K证明：DMKEDNKF24如图所示，在四边形ABCD中，已知BAADDC，ACBD，AC与BD交

9、于点P，ABC+BCD120，求证：PBPC（提示：在解答本题时，可能用到以下结论：对角互补的四边形内接于圆，简称四点共圆）25（本题证明值可直接利用如下结论：若公共边所对的两个张角相等，则相应的四点共圆例如如图1，由ACBADB，可得四点A、B、C、D共圆）如图2，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BEAD，垂足为H，过点H作平行于CE的直线，与直线AC，DC分别交于F，G证明：（1）点A，B，F，H共圆；（2）四边形BFCG是矩形26如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点D，点E是AC的中点，连接OD（1）求证：ODDE；（2）求证：O、A、E、D四点共圆（3）AB

10、C满足什么条件时，经过O、A、E、D的圆与BC相切？并说明理由27如图，圆O内接四边形ABCD的对边AD，BC延长线交于点P，对角线AC，BD交于点Q，设PDB的外接圆交直线PQ与P和另一个点K，求证：（1）OKPQ（2）C，D，O，K四点共圆；（3）三条直线AB，OK，DC交于一点28如图，四边形ABCD中，ACBADB90，自对角线AC、BD的交点N作NMAB于点M，线段AC、MD交于点E，BD、MC交于点F，P是线段EF上的任意一点证明：点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和29如图，RtABD，BAD90，A、B、C、D四点共圆，且BAEC（1）确定圆的位置，圆心记为点

11、O（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（2）求证：AE与O相切于点A：（3）若AEBC，BC2，AC2，求半径的长30阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆例：如图1，若ADBACB，则A，B，C，D四点共圆；或若ADC+ABC180，则A，B，C，D四点共圆（1）如图1，已知ADBACB60，BAD65，则ACD ；（2）如图2，若D为等腰RtABC的边BC上一点，且DEAD，BEAB，AD2，

12、求AE的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE3，求EF的长31如图，在ABC中，过A作BC的垂线，垂足为D，O为AD的中点，以AD为直径的O分别与边AB、AC交于点E、F试求证：（1）BC是O的切线；（2）B、C、F、E四点共圆吗？说明理由32如图，ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，BGDBADC（1）求证：BDBCBGBE；（2）如果BAC90，求证：AGBE33如图，以锐角ABC的边AB为直径作半圆O交边BC、CA于点E、F过点E、F分别作O的切线得交点P求证：

13、CPAB34如图1，在四边形ABCD中，找一点P，使得点P到A、B、C、D的距离之和最小，即PA+PB+PC+PD的值最小，并说明理由如图2，在四边形ABCD中，ADBC，BN是ABC的角平分线，且BNCD，点N为垂足，若DNCN，若四边形ABCD的面积为，求四边形ABND的面积若在四边形ABCD中，满足A+C180，则可以得到A、B、C、D四点共圆问题解决：如图3所示，在四边形ABCD是一个不规则的便民活动场所，其中ABADCD，BC1000米，ABC+BCD120，根据政府的要求，在活动场所中建立一个标志建筑P，要求满足标志P到便民场所的四个顶点A、B、C、D的距离之和最短，并且标志建筑P

14、到点B与点C的距离相等，若你是该项目的工程师，请问是否存在这样的点P满足政府的要求？若存在，请你用相关几何知识进行说明，并在图中标注点P的位置，并求出此时点P距离BC的距离若不存在，请说明理由35已知，在四边形ABCD中，连接AC、BD（1）如图1，若ACAD，BACBDC，ABDBDC+60，求证：ABDB（2）如图2，在（1）的条件下，以AB为斜边作RtABF，AFB90，连接FD交AB于点E，当DFAB，AE9，FAB30时，求CB的值36已知ABC中，A60，E、F分别为AB、AC延长线上的点，且BECFBC，ACE的外接圆与EF交于不同于E的点K，设BF与CE交于点T（1）证明：A、

15、B、T、C四点共圆；（2）证明：点K在BAC的角平分线上37发现如图ACBADB90，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图）思考如图，如果ACBADBa（a90）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在圆O外，要么在圆O内，以下该同学的想法说明了点D不在圆O外（如图，过A，B，C三点作圆，圆心为O，假设点D在圆O外，设AD交圆O于点E，连接BE，则AEBACB，又由AEB是BDE的一个外角，得AEBADB，因此ACBADB，就与条件ACBADB矛盾，所以点D不在圆O外）请结合图证明点D也不在O内结论综上

16、可得结论：如图，如果ACBADBa（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：点A、B、C、D四点共圆应用利用上述结论解决问题：如图，已知ABC中，C90，将ACB绕点A顺时针旋转一个角度得ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F，（1）求证：点B、C、A、F四点共圆；（2）求证：BFEF38如图，A，P，B，C是圆上的四个点，APCCPB60，AP，CB的延长线相交于点D（1）求证：ABC是等边三角形；（2）若PAC90，AB2，求PD的长39（1）已知：如图1，ABC为等边三角形，CE平分ABC的外角ACM，点在BC上，连接AD、DE，如果ADE60，求证：ADD

17、E（2）如果ABC为任意三角形，且ACB60，其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理由40如图1，等腰ABC中，ABAC，点D在AC的垂直平分线上，射线BD与BC所夹锐角为30，连接AD（1）求证：ABAD；（2）如图2，AD交BC于点E，将CBD沿BD翻折交CD的延长线于点F，直接写出DF与DE的数量关系 ；（3）如图3，在（2）的条件下，延长AB，CD交于点H，若H30，HBb，ABE的面积为a，求AB的长（用含a，b的式子表示）答案一选择题1解：如图，连接DE，ABC90，ABBC4，CBAC45，ACAB4，D是BC中点，CDBC2，CADCBE，点A，点B，点D，点E四点共圆，A

18、BDDEC90，CEDC45，DECECD，AEACCE3，解法二、CADCBE，CC，CADCBE，BE，解直角三角形可求：AE2+3，解法三、作BF垂直于AC交于F，AFBFCF2，CADCBE，点A，点B，点D，点E四点共圆，BDABEA，tanBDAtanBEA2，BF2，EF，AE3故选：B2解：APBN，PAM+PBA90，PBA+PBC90，PAMPBC，PMAPCB，PAMPBC，故正确；PAMPBC，APMBPC，CPMAPB90，即PMPC，故正确；MPC+MBC90+90180，B、C、P、M四点共圆，故正确；APBN，APNAPB90，PAN+ANB90，ANB+ABN

19、90，PANABN，APNBPA90，PANPBA，PAMPBC，ABBC，AMAN，故正确；故选：A3解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组故选：D4解：3+4180，A、O、B、C四点共圆，（1）正确；作CDOA于D，CEOB于E，如图所示：则C

20、DACEB90，12，CDCE，3+4180，3+CAD180，CAD4，在ACD和BCE中，ACDBCE（AAS），ADBE，ACBC，（2）正确；cos1，cos2，cos1+cos2+，12，cos1cos2，2cos1，cos1，（3）正确；CDCE，sin1，CDcsin1，S四边形AOBCSOAC+SBOCaCD+bCE（a+b）CD（a+b）csin1，（4）正确；正确的结论有4个，故选：D5解：四边形ABCD是正方形，BADADCB90，BAM+DAM90，将ABM绕点A旋转至ADN，NADBAM，ANDAMB，DAM+NADNAD+ANDAND+NAD90，DAMAND，故正

21、确；四边形CEFG是正方形，PCEF，MPCEMF，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（ab），BMb，EFb，CMab，ME（ab）+ba，CPb；故正确；将MEF绕点F旋转至NGF，GNME，ABa，MEa，ABMENG，在ABM与NGF中，ABMNGF；故正确；将ABM绕点A旋转至ADN，AMAN，将MEF绕点F旋转至NGF，NFMF，ABMNGF，AMNF，四边形AMFN是矩形，BAMNAD，BAM+DAMNAD+DAN90，NAM90，四边形AMFN是正方形，在RtABM中，a2+b2AM2，S四边形AMFNAM2a2+b2；故正确；四边形AMFN是正方形，AMP90

22、，ADP90，AMP+ADP180，A，M，P，D四点共圆，故正确故选：D6解：正确理由如下：如图1中，ACB90，EDF90，MCN+MDN180，点C，M，D，N四点共圆正确理由如下：如图2中，连接CDACBCADDBCDAB，CDADDB，ADCMDN90，ADMCDN，在ADM和CDN中，ADMCDN故正确正确理由如下：如图3中CACB，ACB90，ADDB，CDADDB，CDAB，AACDDCN45，ADCEDF90，ADMCDN，在ADM和CDN中，ADMCDN，AMCN，DMDN，ACBC，CMBN，DNCMBNDM正确理由如下：如图4中，作DHAC于H，DGBC于GACDBCD

23、45，DHDG，DHCHCGCGD90，四边形CHDG是矩形，DHDG，四边形CHDG是正方形，HDGMDN90，CHCG，MDHGDN，在DHM和DGN中，DHMDGN，MHNGCM+CNCH+MH+CGNG2CH，ADCDCH，CM+CNAD正确理由如下：如图5中，作DHAC于H，DGBC于GAB6，BD2AD，AD2，BD4，AHDH，DGGB2，DHCHCGCGD90，四边形CHDG是矩形，HDGMDN，MDHNDG，DHMDGN90，DHMDGN，设DMx，则DG2x，SDMN2xxx2，当DMAC时，DM的值最小，此时DMDH，DMN的面积最小值为2，当DMAB时，DM的值最大，此

24、时DMAD2，DMN的面积的最大值为4，2SDMN4故选：D7解：解法一：当APBC时，线段DE的值最小，如图1，PEAB，PDAC，AEPADP90，AEP+ADP180，A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，在RtPDC中，C45，PDC是等腰直角三角形，APD45，APD也是等腰直角三角形，PAD45，PEDPAD45，AED45，AEDC45，EADCAB，AEDACB，设AD2x，则PDDC2x，AP2x，如图2，取AP的中点O，连接EO，则AOOEOPx，EAPBACPAD604515，EOP2EAO30，过E作EMAP于M，则EMx，cos30，OMxx，AMx+xx，由勾股定理

25、得：AE，（+1）x，ED则线段DE的最小值为；解法二：如图3，取AP的中点F，连接EF、DF，有EFDFAP，EFD120，EFD为顶角为120的等腰三角形，当APBC时，线段DE的值最小，如图4，作AB的中垂线，交AP于一点O，交AB于G，连接OB，设OAOB2x，BOP2BAO30，BPx，OPx，APPC（2+）x，BC62，x+2x+x62，x42，AP（2+）x（2+）（42）2，EFFD1，如图5，过F作FHED于H，EHDH，FED30，FH，EHDH，DE；故选：B8解：如图，在NM上截取NFND，连接DF，AFNFDNDF，A，B，C，D四点共圆，ADC+B180，MNBC

26、，AMNB，AMN+ADN180，A，D，N，M四点共圆，MND+MAD180，AE，DE分别平分BAD，CDA，END+2DFNEND+2DAE180，DFNDAE，A，F，E，D四点共圆，DENDAF，AFMADE，MAF180DAFMND180DENMNDEDNADEAFM，MAMF，MNMF+NFMA+ND故选：D二填空题9解：如图，连接AE，CF，DE，ABAC，ABDACB，点C关于直线AD的对称点为点E，BEDBCF，AEDACDACB，ABDAED，点A，E，B，D四点共圆，BEDBAD，BADBCF，点A，B，F，C四点共圆，AFBACBABD，AFBABD，ADAFAB2（

27、）25，故510解：四边形ABCD是正方形，BADADCB90，BAM+DAM90，将ABM绕点A旋转至ADN，NADBAM，ANDAMB，DAM+NADNAD+ANDAND+NAD90，DAMAND，故正确；四边形CEFG是正方形，PCEF，MPCMFE，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（ab），BMb，EFb，CMab，ME（ab）+ba，CPb；故错误；将MEF绕点F旋转至NGF，GNME，ABa，MEa，ABMENG，在ABM与NGF中，ABMNGF（SAS）；故正确；将ABM绕点A旋转至ADN，AMAN，将MEF绕点F旋转至NGF，NFMF，ABMNGF，AMNF，

28、四边形AMFN是矩形，BAMNAD，BAM+DAMNAD+DAN90，NAM90，四边形AMFN是正方形，在RtABM中，a2+b2AM2，S四边形AMFNAM2a2+b2；故正确；四边形AMFN是正方形，AMP90，ADP90，AMP+ADP180，A，M，P，D四点共圆，故正确故11解：ABCADC90，点A，点B，点C，点D四点共圆，ABDACD72，CAD90ACD18，故1812解：如图，在ABC中，ABAC，BACB，DAC2ACB，CAE2ACD，CAD+CAE2ACB+2ACD2（ACB+ACD），DAE2BCD，BAE60，DAE180BAE120，BCD60，DAE+DCB

29、180，点A，E，C，D四点共圆，连接DE，ADEACB，ADEABC，过点E作EFAB于E，BFDF，设AFx，则BFDFAF+ADx+3，AB2x+3，在RtAFE中，BAE60，AEF30，AE2x，EFx，ABE的面积为10，SABEABEF（2x+3）x10，x4（舍）或x，AE5，BF，AB2x+38，EF，BD2BF11，根据勾股定理得，BE7，DCB60BAE，BB，BAEBCD，CD，故答案为13解：如图，OCAB于C，BOCAOCAOB，NANB，BPMAOB，BPMBOC，O、M、B、P四点共圆，正确四边形AMBN为凹四边形A、M、B、N不共圆，错误NANB，NABNBA

30、，NAB+NBA+ANP180，ANP+2NBA180AOP2NBA，AOP+ANP180，A、O、P、N四点共圆，正确故14解：如图，连接AF，DG，AEAC，DEDB，点F，点G是CE，BE的中点，AFCE，DGBE，AFDAGD90，点A，点F，点G，点D四点共圆，DFGGAD25，AFD90，点M是AD中点，AMFMDM，DFMFDM，且AMFFDM+DFM40，DFM20，MFGMFD+DFG45，故答案为4515解：过点C作CMCF交BD延长线于点M，连接AM，DOC30，BMCBACBFC60，A、F、B、C、M五点共圆，AMBACB60，OC、COD30，OM2OA，AOM是等

31、边三角形，AOM60，AOM60OMC，MCAO，ODOM，DMOM，A、F、B、M四点共圆，FAM180FBM90，EAGFAMOAM30，OGDAGE60，ODG是等边三角形，AGOAOGOMODDM，EGAG，DEDG+EGOD+EG，故16解：如图，在RtACD中，ACAD6，CD6，ACDADC45，ABCD，BACACD45，连接CE，在RtACE中，AC6，AEADDE2CE2，取CE的中点O，连接OB，CBECAE90，点A，B，C，E在以点O为圆心，CE为直径的圆上，BOC2BAC90，OBOCCEOBOC，BCOB2，过点E作EHCD，ADC45，DEH是等腰直角三角形，D

32、E4，EHDHDE2，过点A作AMCD，EHAM，AMEH3，过点B作BGCD，四边形ABGH是矩形，BGAM3，在RtBCG中，BC2，BG3，CG，DGCDCG65，在RtBDG中，BG3，DG5，BD2故217解：作OGDF于G，连接OG，如图所示四边形ABCD是正方形，DAC45，AOD90DFAE，即AFD90，AODAFDA、O、F、D四点共圆OFGDAO45OGDF，即OGF90，FOG45OFGOGFGAFD90，DAE30，AD2，DF1设GFGOx，则有DGDF+FG1+x，OFx在RtAOD中，ODADsinDAO2在RtOGD中，OGD90，OG2+DG2OD2x2+（

33、1+x）2（）2解得：x1+，x2（舍去）所以OFx故三解答题18证明：ACB60，ADBACB60，ACD60，ABDACD60，在ABD中，BAD180ADBABD180606060，ABDADBBAD60，ABD是等边三角形19证明：如图，延长AM至G，使GMAM，BKCK，四边形ABGC是平行四边形，BGAC，CGAB，BGCBAC，BKC180BAC，BKC+BGC180，点C，G，B，K四点共圆，CBKCGK，BMKCMK，BMKGMC，同理：，1，过点D作DQAC于Q，作DPAB于P，则DQDP，过点D作DHBK于H，在RtDHK中，DHDKsinBKD，SBKDBKDHBKDK

34、sinBKD，同理：SCKDCKDKsinCKD，1，BKDCKD20（1）解：ABC是等边三角形，ABACBC，BACACBABC60，ACD+DCB60，由旋转知，CECD，DCE60，BCE+DCB60，ACDBCE，ACDBCE（SAS），故BCE；由知，ACDBCE，ADCBEC，ADC+FDC180，BEC+FDC180，C，D，F，E四点共圆，AFE+DCE180，AFB+AFE180，AFBDCE60，故60；（2）证明：由（1）中，已证；（3）由（1）知，DCE是等边三角形，CEDE，由（1）知，DFE180DCE120，由（2）知，点C，D，F，E四点共圆，CFECDE60

35、，在FC上取一点G，使FGFE，EFG是等边三角形，EGFE，EGF60，CGE120DFE，点C，D，F，E四点共圆，ECGEDF，CEGDEF（AAS），CGFD，FCFG+CGFE+FD，故FCFE+FD21证明：如图，连接CD，CE，CF，CG，AE与BC的交点记作A，BG与AC的交点记作B，两圆的另一个交点记作CBC是O1的直径，BCDE，BC是DE的中垂线，CDCE，AC是O2的直径，ACFG，AC是FG的中垂线，CFCG，连接BE，AG，BECAGC90，CE2CBCA，CG2CACB（射影定理）BAABBA90，A，B，A，B四点共圆，CBCACACB，CECG，CECDCGC

36、F，即E，F，D，G四点共圆，且圆心为C22证明：（1）如图1，连接OA，OC，ABAC，点O为ABC的外心，AO平分BAC，OAOC，OCAOACBAC（1802B）90B，OGCD，CD平分ACB，OEC90ECD90ACB90BCOE180OECOCA180（90B）（90B）B，EFAB，CD平分ACB，CFECDAABC+DCBB，COECFE，点C，E，O，F四点共圆，（2）如图2，连接OF，O为ABC的外心，AOC2B，由（1）知，点C，E，O，F四点共圆，EFAB，FOCFECBAC，AOC+FOC2B+BAC180，点A，O，F三点共线，（3）由（1）知，点C，E，O，F四点

37、共圆，OFEOCEOAC，EAEF23证明：连接IE，如图所示：ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，IDAB，IEBC，IDBIEB90，IDB+IEB180，I，D，B，E四点共圆又AID90IAD，MEDFDA90IAD，AIDMED，I，D，E，M四点共圆I，D，B，E，M五点共圆，IMBIEB90，即AMBM同理，I，D，A，N，F五点共圆，且BNAN设直线AN，BM交于点G，则点I为GAB的垂心又IDAB，G，I，D共线G，N，D，B四点共圆，ADNG同理BDMGDK平分MDN， 又由I，D，E，M；I，D，N，F分别共圆，KMKEKIKDKFKN， 由，得

38、：，DMKEDNKF24解：延长BA、CD交于点E，如图1ABC+BCD120，E18012060，EAD+EDA18060120BAADDC，15，46，EAD1+525，EDA4+626，EAD+EDA25+26120，5+660，APD18060120，E+APD180，E、A、P、D四点共圆连接EP，如图2E、A、P、D四点共圆，58，67，158，467，PEPB，PEPC，PBPC25证明：（1）由HGCE，得BHFBEC，又，BAFBEC，BAFBHF，点A、B、F、H共圆；（2）由（1）的结论，得BHABFA，BEAD，BFAC，又AD是圆的直径，CGAC，由A、B、C、D共圆

39、及A、B、F、H共圆，BFGDABBCG，B、G、F、H共圆，BGCAFB90，BGGC，四边形BFCG是矩形26（1）证明：连接OE，如图1所示：AC是O的切线，BAC90，OAOB，AEEC，OE是ABC的中位线，OEBC，AOEB，EODODB，OAOB，BODB，AOEEOD，在AOE和DOE中，AOEDOE（SAS），ODEBAC90，ODDE；（2）证明：连接OE，取OE的中点为Q，连接QA、QD，如图2所示：由（1）得：ODEBAC90，QDOEQOQE，QAOEQOQE，QAQOQDQE，O、A、E、D在以Q为圆心，OE为直径的圆上，即O、A、E、D四点共圆；（3）解：ABAC

40、或B45或C45时，经过O、A、E、D的圆与BC相切，理由如下：如图3所示：AB是O的直径，ADB90，ADBC，ABAC或B45或C45时，ABD是等腰直角三角形，OAOB，ODAB，AOB90OAEODE，四边形OAED是矩形，OAOD，四边形OAED是正方形，OE与AD互相垂直平分且相等，Q为OE的中点，QDQAQO，经过O、A、E、D的圆与BC相切27证明：如图，连接OD、OC、CK、OB、OA、AK、BK在O中，弦AC、BD交于点Q，AQCQBQDQ，在O中，弦BD、交于点Q，BQDQPQKQ，AQCQPQKQ，A、K、C、P四点共圆，CAPCKP，CAPCADCBDDBPDKP，C

41、KPDKP，CKD2CKP2CBDCOD，C、D、O、K四点共圆，结论（2）得证OKDOCDODOC，OCD+COD90，OKD+CODOKD+DKPOKP90，OKPQ，结论（1）得证KBQKBDKPDKPAKCAKCQ，K、B、C、Q四点共圆，KQBKCBKAPKAD，BKQ+KQB+KBQ180，且BKQBKPBDPDAB+DBADAB+DBA+KQB+KBQ180，DAB+DBA+ADB180，KQB+KBQADB，AKBADB+DAK+DBKADB+KQB+QBK2ADB，AOB2ADB，AOBAKB，A、O、K、B四点共圆，AB为O与（ABKO）的公共弦，OK为（ABKO）与（OK

42、CD）的公共弦，CD为O与（OKCD）的公共弦，由蒙日定理可知AB、OK、DC交于点一E结论（3）得证28解：如图，ACBADB90，A、B、C、D四点共圆，NMAB，NCBNMB90，B、C、N、M四点共圆，ACDABDMCN，故AC平分DCM，同理，BD平分CDM，过P作PHMC于点H，PGMD于点G，PTCD于点T；过点P作XYMC，交MD于点X，交AC于点Y；过点Y作YZCD，交MD于点Z，交PT于点R；再作YH1MC于点H1，YT1CD于点T1，由平行线及角平分线的性质得PHYH1YT1RT为证PTPG+PH，只须证PRPG，PYCF，YZCD，ZPDF，由于XYZ与MCD的对应边分

43、别平行，DF平分MDC，ZP是XZY的平分线，PGDM，PRZY，PRPG，PTPR+TRPH+PG，即点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和29解：（1）如图1所示，点O为所求作的图形；（2）证明：如图2，连接OA，OADODA，BAEC，ODACBAE，BAEOAD，BAD90，OAEOAB+BAEOAB+OADBAD90，OAAE，点A在O上，AE是O的切线；（3）由（2）知，OAAE，AEBC，OABC，垂足记作F，BFCFBC2，在RtAFC中，AC2，AF1设O的半径为r，OFrAFr1，在RtOFB中，OB2BF2+OF2，即：r2（）2+（r1）2，r4，即：O

44、的半径的长为430解：（1）ADBACB60，A，B，C，D四点共圆，ACDABD180ADBBAD180606555，故55；（2）在线段CA取一点F，使得CFCD，如图2所示：C90，CFCD，ACCB，AFDB，CFDCDF45，AFD135，BEAB，ABC45，ABE90，DBE135，AFDDBE，ADDE，ADE90，FAD+ADC90，ADC+BDE90，FADBDE，在ADF和DEB中，ADFDEB（ASA），ADDE，ADE90，ADE是等腰直角三角形，AEAD2；（3）作EKFG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：EKGEBGEKFEAF90，E、K、G、

45、B和E、K、F、A分别四点共圆，KBEEGK60，EAKEFK60，ABK是等边三角形，ABAKKB4，作KMAB，则M为AB的中点，KMAKsin602，AE3，AMAB2，ME321，EK，EF31（1）证明：AD是O的直径，ADBC，D为垂足，BC是O的切线；（2）点B，C，F，E四点共圆；理由：AD是O的直径，AFD90，DAC+ADF90，ADBC，DAC+C90，CADFAEF，AEF+BEF180，C+BEF180，点B，C，F，E四点共圆32（1）证明：DBGCBE，BGDC，BDGBEC，BDBCBGBE；（2）ABDCBA，BADC，BADBCA，BDABAC90，BADB

46、GD，A，B，D，G四点共圆，AGBADB90，AGBE33证明：如图，连接AE、BF得交点Q，AEBAFB90，点Q为ABC的垂心，CQAB延长FP到点K，使PF，连接EF、KE易知PEFPFEEAF连接PQ并延长交AB于点H，EQF180AQF180（90EAF）90+EAF90+PEF，KEPF （1802PEF）90PEF，EQF+K180故K、F、Q、E四点共圆，PEPF，P必是该圆的圆心PQPFPQFPFQPFBFABFAH，A、H、Q、F四点共圆则PHAQHA180QFA90，PHAB，即PQAB由、知，C、P、Q三点共线，CPAB34解：（1）如图1中，点P即为所求（2）如图2

47、中，延长BA交CD的延长线于KBNCK，BNKBNC90，BNBN，NBKNBC，BNKBNC（ASA），NKNC，DNCN，DK2DN，DK：KC1：3，ADBC，KADKBC，（）2，S四边形ABCD，SKAD，SKBC+，SAKNSKBC，S四边形ABNDSKBNSKAD2（3）存在如图3中，延长BA交CD的延长线于E，连接AC，BD交于点P，此时PA+PB+PC+PD的值最小在CA的延长线上取一点F，使得BFBA，连接BF作PHBC于HABADCD，ADBABD，DACDCA，设ADBABDx，DACDCAy，EADADB+ABD2x，EDADAC+DCA2y，ABC+DCB120，E

48、60，2x+2y+60180，x+y60，PBC+PCBABC+DCB（ABD+DCA）1206060，BPC180（PBC+PCB）120，APDBPC120，E+APD180，EAP+EDP180，EDP+CDP180，EAPBAF，BAFCDP，BABF，FBAF，FCDP，BFCD，BPFCPD，BPFCPD（AAS），PBPC，PBCPCB30PHBC，BHCH500米，点P在线段BC的垂直平分线上，点P即为满足条件的点，在RtPBH中，PHBHtan30点P距离BC的距离为35证明：（1）ACAD，ACDADC，BACBDC，点A，点B，点C，点D四点共圆，ACDABD，ABDACDADCBDC+60，CAD1802ACD60BDC，BADCAD+CAB60BDC+BDC60BDC，