勾股定理习题(附答案)

1、勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1.直角三角形一直角边长为12,另两条边长均为自然数，则其周长为（）.(A) 30(B) 28(C) 56(D)不能确定2.宜角三角形的斜边比一直角边长2 cm.另一直角边长为6 cm,则它的斜边民3.4 cm8 cm10 cm(D)12 cm已知一个Rt的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（(A) 25(B) 14(C) 7(D)7或254.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（）5.(A) 13(B) 8(C) 25(D) 61五根小木棒,其长度分别为7, 15, 20, 24, 25,现将他们提成两个直角三角形，

2、其中正确的是（）.6.将立角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（A）钝角三角形 （B）锐角三角形 （C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（8.三角形的三边长为（。+ /，尸=c2 + lab ,则这个三角形是（）（A）等边三角形（B）钝角三角形 （C）直角三角形（D）锐角三角形.9.ZXNC=90 , AC=30米,AB=50米,如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮。元计算，那么共需要资50。元600。元1200 元1500 元10.如图，ABLCD 于 B,ABD和4BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17, BE=

3、5,那么AC的长为（）.(B) 7(C) 5(D) 13(A) 12（第10题）（第11题）（第14题）二、填空题（每小题3分，24分） 1L如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯衣面铺地毯,地毯的K度至少需要 米.在直角三角形A8C中，斜边 46二2,AB2 + AC2 + BC: =.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.如图，在aABC中，NC=90 , BC=3, ACF.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是.（第17题）.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.如图，A4BC

4、中，ZC=90 , 48垂直平分线交8c于。若8c=8, AD=5,则AC等于.如图，四边形A6C。是正方形，AE垂宜于6E,且BEM,阴影部分的面积是.18.如图，所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7c皿则正方形A, B, C, D的面枳之和为 cm2.cm， 7笫18三、解答题（每小题8分，共40分）19.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕檎树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20 肘尺：两棵棕桐树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见

5、棕搁树间的水 面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕才闾树的树跟有多 远？20.如图，己知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.A21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD二30 T米，且CD二30米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每T米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?L第21题图求这块地的面枳。22.如图所示的一块地，NADC=900 , AD口2m, CD=9m, AB=39m, BC=36m,23

6、.如图，一架2. 5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙卜滑0. 4米，那么梯足将向外移多少米?四、综合探索（共26分）（12分）如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向100km的B处有一台风中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如 果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的 几小时内撤离才可脱离危险？（14 分）（：中，BC= a , AC=，AB=C,若 NC=90 ,如图（1）

7、,根据勾股定理，则。2+二=1,若ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3）,请你类比勾股定理，试猜想与/的关系，并证明你的结论.图1参考答案一、1. (D)； 2. (C)： 3. (D)； 4. (B)； 5. (C)： 6. (C)； 7.(B)： 8. (C)； 9. (B)； 10. (D)；当是钝角三角形时,探索勾股定理测试卷姓名二、li.7： 12.8： 13.24： 14.一乃；15. 13： 16.4： 17.19： 18.49： 三、19.20； 20,设 BD=x,则 AB=S-x由勾股定理，可以得到ABjBD斗AD二，也就是(8-x)x斗个.所以 x=3,所以 AB=A

8、C=5, BC=6A,连结BA,与CD交于点E,则E点即为所求.总费用150万元.4 23. 0.8 米；四、综合探索24.4小时，24小时.25.解：若是锐角三角形，则有ajbc?若ABC是钝角三角形，NC为钝角，则有屋+bY? TOC o 1-5 h z 当的(7是锐角三角形时，/ :/ I/ I证明：过点A作AD_LCB,垂足为D。设CD为X,贝lj有DB=a 4、一-、R根据勾股定理得 b:x2=c:(a-x):即 b2x:=c:-a2+2ax-x2:.a2+b2=c2+2axVa0 x02ax0 a2+b2c:证明：过点B作BDAC,交AC的延长线于点D.设CD为x,则有DBla，一

9、X?根据勾股定理得 (b+x)-+a-x2=c-即 b2+2bx+x2+a2x2=c2a2 + b:4-2bx=c:Vb0t x0.e.2bx0:.a2+b:l),A 2nB n+1 Cn* 1 3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm, AD=9cm,将此长方形折总，使点B与点D重合，折痕为EF,则AABE的面积为A6 cmB 8cm C 10cm- D 12cm-4、己知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港I I A出发向东北方向航行，另一轮船 以12海里/时的速度同时从港II A出发向东南方向航行，离开港11 2小时后，则两船相 距A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40

10、海里填空题（每题6分）5、在 RtZkABC 中，ZC=90 ,若 a=5, b=12,则 c三;若 a=15 c=25,则 b=8、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬卜.树走到离树20米处的池塘的 A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经 过的距离相等，则这棵树高 米。三、解答题（每题13分）9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面枳为48m,其对角线长为10m,为建栅栏，要计算这个矩形鱼 池的周长，你能帮助小明算一算吗？10、己知，如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm, AD=4cm, BC=13cm. CD=12cm,且NA=90,求四边形A

11、BCD的面积0A11、太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才左拐弯，接着又走了 许久许久，再向左拐弯，这样又走了 2俄里，这时，他发现天色不早了，而自己离出发点还足足有17俄里，于 是改变方向，拼命朝出发点跑去，在口落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品一个人需要很多 土地吗中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面枳有多大吗？12、如图1,是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两立角边的长分别为a和b,斜边长为c：如图2是以c 为直角变的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。画出拼成

12、的这个图形的示意图，写出它的名称；用这个图形证明勾股定理；设图1中的直角三角形由若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请 画出拼成后的示意图。（无需证明）图1探索勾股定理（二）.填空题（1）某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.（2）有两艘渔船同时离开某港门去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时 的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距 海里.（3）如图1：隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若 测得CA

13、=50m, CB=40m,那么A、B两点间的距离是.图1.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm,求这个三角形的面枳.在 ABC 中，NC二900 ,（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.如图2,要修建一个育苗棚,棚高h=L8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求 需要多少平方米塑料薄膜？.如图3,已知长方形ABCD中AB=8cm, BC=10cm,在边CD上取一点E,将AADE折叠使点D恰好落在BC边上的 点F,求CE的长.勾股定理练习题：练习一：（基础）.三角形的腰长为13,底边长为1

14、0,则顶角的平分线为.：12 ： 13,它的周长为60,则它的面积是.a, b, c为4ABC三边且满足（万一万）（才+万一3） =0,则它的形状为（）A.直角三角形C.等腰直角三角形B.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形4.如图，一圆柱高8cm,底面半径2cm, 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（乃取3） 是（）.(A) 20cm(B) 10cm(C) 14cmABC 中，斜边 AB=2,贝ij AB:+BC+ACJ.（D）无法确定. Rt一直角边的长为11,另两边为自然数，则Rt的周长为（）A、121 B、120 C、132 D、不能确定.如图，正方形网格中的ABC,若小方

15、格边长为1,则ABC是（）.如果果的两直角边长分别为以一L2n（nl那么它的斜边长是（A、2nB、n+1C、n1D、n:+lABC中，/。= 90。,若1 + /? = 7,48（：的面积等于6,则边长 ABC 中，Z4CS = 9()o.AC = 12,8C=5,4N=贝MN=11. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 10ABC是直角三角形，两直角边都是6,在三角形斜边上有一点P,到两直角边的距离相等，则这 个距离等于13.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想 把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短

16、路程是多少？1 / l*kin14、有一个直用三角形纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm,现将直角边AC沿NCAB的角平分线AD折叠, 使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？15.校园里有一块三醉形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长 分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？16、如图，在AABC中，ZB=90B, AB=BC=6,把ABC进行折登，使点A与点D重合，BD:DC=1:2, 折痕为EF,点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。提高题：1、直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d,则

17、这个三角形周长为()(A) J/ + S+2d(B) y/d2-S-d(C) 2J/+S +2d(D) 24d，S+d2.在A4SC中，AB = AC = l. 6。边上有2006个不同的点匕优，以双， 记m. = AP2 + BP PC(i = L2,2006),则叫 + m2 + m2W)f =解：如图，作AZ)_L6C于。，因为= AC = 1,则6 = CD.由勾股定理，得 A5, =+ bD?, AP2 = AD2 + PD2.所以AB2- AP2 = BD2 - PD2=(BD - PD)(BD + PD) = BP . PC所以 A尸+ 6PPC = AZf = f.因止匕町 +

18、 ?, + 7.006 = I2 x 2006 = 2006. A一_UW3派.如图所示，在用A48C中，/24。= 90。,4。=4氏44七=45。，且8。= 3, 。七二4,求。：的长.解:如右图：因为AA5C为等腰直角三角形，所以NA5D = NC = 45。.所以把A4EC绕点A旋转到A4FB,则AFB = AEC.所以=EC = 4,4尸=AE,/48尸=NC = 45。.连结OE所以AD5尸为直角三角形.由勾股定理,得。尸=6尸+6。三4,35二所以。尸=5.因为 zDAE=45,所以 n)AF=n0A5+ C=45。.所以AADE且ADF勺AS1所以 DE=DF=5.4、如图，在

19、AABC中，AB=AC=6, P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PC-PA+PA，的值。5、如图在RtABC中，ZC = 90,AC=4C=3在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形,9使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三 边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在RtAABC的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是 腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中 的四种拼接方法供参考

20、。答案：选择即B 2、 D 3、 A 4、 D填空题5、 13 20 11 24 ： 6、49 ： 7、5 ：8、25解答题9、28m10、解：连接BDZA = 90BD=ylAB (1) 2.5(2) 30(3) 30 米 2.如图：等边ABC 中 BC=12cm, AB=AC=10cm +AD2 = 5又5,12,13是一组勾股数AB 8是直角三角形e- S 四边杉 abcd = -x3x4 + x5xl2 = 3611、根据题意画出图形，已知北二10,1)寸8二2,疝二17RkD ED = ylAD2-AE2 = 15周长为10+15+2+17 = 44(俄里)面积为(2 + 10)x1

21、5 = 90(平方俄里)212、(1)直角梯形(2)根据面积相等可得：a-hb)(a + b) = abx2 + -c2化简得：a2 +b2 = c2(3)n作ADLBC,垂足为D,则D为BC中点，BD=CD=6 cm 在 RtABD 中，AD：=AB：-BD：=10：-6：=64AD=8cmAS.3二-BC AD=- X12X8=48 (cm2)223.解：(1) ABC 中,ZC=90DCAAB:=AC:+BC：=2. f:S3AC BCAB CD 22.AC BC=AB CDAC8C_2.lx2.8AB 3T=1.68 (cm)(2)在RtZkACD中,由勾股定理得:AD:+CD:=AC

22、:ad Jac 二一CD： =(2. 1+1.68) (2. 1-1.68)XO. 42=2XX2X=2：X9X XAAD=2X3XO.21=1.26 (cm)ABD=AB-AD=3. 51. 26=2. 24 (cm).解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3m,所以矩形塑料薄膜的面枳是：3X12=36 (m：).解：根据题意得：RtAADERtAAEFNAFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE=x cm,则 DE二EF二CD-CE=8一x在RtAABF中由勾股定理得：AB：+BF：=AF 即 8:+BF=10/. BF-6 cmACF=BC-BF=10-6=

23、4 (cm)在RtAECF中由勾股定理可得：EF:=CE:+CF 即(8x) W+42/. 64 - 16x+x*=x：+16% x=3 (cm),即 CE=3cm一.选择题（共10小题）1. （2016淄博）如图，正方形ABCD的边长为10, AG=CH=8, BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为A班 R5（2016漳州）如图，在回（：中，AB=AJ5, BC=8, D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个（2016青海）如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该

24、等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2, 按照此规律继续下去，则S9的值为（）A. 1C. 3D. 4（2016东营）在AABC 中，AB=10t AC=2/To，BC 边上的高 AD=6,则另一边 BC 等 于（）A. 10 B. 8 C. 6 或 10 D. 8 或 10（2016株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角 三角形和正方形，上述四种情况的面枳关系满足S1+S2=S3图形个数有（）a. 2（2016黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国占代数学家 赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方

25、形拼成的大正方形，如图所示, 如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为1,直角三角形的较短宜角边长为a,较长直 角边长为b,那么（a+b） 2的值为（）（2016南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A. 3, 4, 4 B. 3, 4, 5 C. 3, 4, 6 D. 3, 4, 7（2016绵阳）如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另 一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取NABD=150。，沿BD的方向前进，取N BDE=60,测得BD=520m, BC=80m,并且AC, BD和DE在同一平面内，那么公路CE 段的长度为（）A. 180m B.

26、26O/3m C. （260-80） m D. （260-80） m TOC o 1-5 h z （2016达州）如图，在5X5的正方形网格中，从在格点上的点A, B, C, D中任取三 点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）a- B.工 C. 2 D.芭3234（2016杭州）已知立角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n （mVn）,过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A. nr+2mn+n2=O B. nr - 2mn+n2=O C. m2+2mii - n2=0 D. nr - 2nin - n2=0 二.填空题（共10小题）（2016资阳）如图

27、，在等腰直角加（：中，ZACB=90, CO_LAB于点O,点D、E分 别在边AC、BC上，且AD=CE,连结DE交CO于点P,给出以卜结论：ADOE是等腰立角三角形：ZCDE=ZCOE：若AC=1,则四边形CEOD的面积为工:4ALAb匕2.2OP2=2DPTE其中所有正确结论的序号是.（2016枣庄）如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米，AB=8米，NMAD=45。，ZMBC=30,则警示牌的高CD为 米（结果精确到0米,参考数据:V2=1.41, V3-1.73）.C客雾路段MHB（2016哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90% AC=

28、3,点P为边BC的三等 分点，连接AP,则AP的长为.（2016江西三模）如图，RtZABC中，ZABC=90, DE垂立平分AC,垂足为O, AD BC,且 AB=5, BC=12,则 AD 的长为.（2016南岗区模拟）在（：中，ZABC-300, AB=8, AC-2听，边AB的垂直平分 线与直线BC相交于点F,则线段CF的长为.（2016道外区一模）如图，在ZkABC中,ZACB=90, AC=BC, P为三角形内部一点, 且 PC=3, PA=5, PB=7,则PAB 的面积为.（2016余干县二模）如图，在ABC中，AB=AC=4, AO=BO. P是射线CO上的一个 动点，ZAO

29、C=120,则当APAB为直角三角形时，AP的长为.（2016通州区一模）在我国占算书周髀算经中记载周公与商高的谈话,其中就有勾 股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理.如图1是由边长相等的小 正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系脸证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得 到的，ZBAC=90, AB=3, AC=4,则D,E. F, G, H, I都在矩形KLMJ的边上，那么 矩形KLMJ的面枳为.（2016富顺县校级模拟）如图,在一根长90cm的灯管上,缠满了彩色丝带,已知可近 似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm,彩色丝带均匀地缠绕了 30圈，则彩色丝带的 总长

30、度为.0 W）（2016南陵县一模）如图，要使宽为2米的矩形平板乍ABCD通过宽为2&米的等宽 的直角通道，平板车的长不能超过 米.三.解答题（共10小题）（2016春周口期末）在四边形ABCD中,AB=AD=8, ZA=60, ZD=150,四边形周 长为32,求BC和CD的长度.（2016徐州模拟）一、阅读理解：在 ABC 中，BC-a, CA-b, AB=c：（1）若NC 为直角,RiJ abc2；（2）若NC为锐角，则a?+b2与c?的关系为：a2+b?c2；（3）若NC为钝角，试推导a?+b2与c2的关系.二、探究问题：在中，BC=a=3, CA=b=4, AB=c,若是钝角三角形，

31、求第三 边c的取值范围.若三角形三个内角的度数分别是x、y和z,满足xZ+y2 称这个三角形为勾股三角形.根据上述定义，“点角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、v和z,旦xy=2160.求x+v的值:如图，ZiABC中，ABN%, BC=2, AC=1+V3求证：的（：是勾股三角形.（2016陕西校级模拟）超速行政是引发交通事故的主要原因,上周末，小鹏等三位同学 在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路1的距离为100 米的P处.这时，辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时 间为3秒，并测得NAP

32、O60。，NBPO-45。，试判断此车是否超过了每小时80 T米的限制 速度？（参考数据：V2=1.41, V3=1.73）（2016丹东模拟）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全险患主要是超速和超载, 某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验.如图，先在笔直的公路1旁选取一 点A,在公路1上确定点B、C,使得AC_LL ZBAC=60,再在AC上确定点D,使得/ BDO75。，测得AD-40米.已知本路段对校车限速是50 T米/时，测得某校车从B到C匀 速行驶用时10秒.（1）求CD的长.（结果保留根号）（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参号数据：6=1.414, 61

33、.73）（2016长春模拟）探索：如图，以的边AB、AC为直角边，A为直角顶点， 向外作等腰直角aabd和等腰直角ACE,连结be、CD,试确定BE与CD有怎样数量关 系，并说明理由.应用：如图，要测量池塘两岸B、E两地之间的距离，已知测得/ABC=45。，NCAE=90。,（2016东明县一模）如图，已知中，NBAC=90。，AB=AC. D为线段AC上任 一点，连接BD,过C点作CEAB且AD=CE,试说明BD和AE之间的关系，并证明.（2016安徽模拟）如图，在RtZXABC中，ZC-90% AOBC,点D在AB的垂直平分 线上，NDAB=15。且 ADTOcm,求 BC 的长.（201

34、6春丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，NB=90。，AB=3, BC=4, CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面机（2016春柳江县期末）如图，某中学行一块四边形的空地ABCD,学校计划在空地上 种植草皮，经测量NA=90。，AB=3m, BC=12m, CD=13m, DA=4m,若每平方米草皮需要 200元，问学校需要投入多少资金买草皮？勾股定理11111111参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）（2016淄博）如图，正方形ABCD的边长为10, AG=CH=8, BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为（A.B. 22 C. D.10-5&55【考点】勾股定理.【分

35、析】延长BG交CH于点E,根据正方形的性质证明ABGgZXCDH/ZXBCE,可得 GE=BE-BG=2、HE=CHCE=2、ZHEG=90,由勾股定理可得GH的长.【解答】解：如图，延长BG交CH于点E,在ADG和aCDH中，(期二 CD 二 10 AG=CH=8 ，bG=DH=6A AABGACDH (SSS), ag2+bg2=ab2, ，N1=N5, Z2=Z6, ZAGB=ZCHD=90% .*.Z1+Z2-90% Z5+Z6-90% XVZ2+Z3=90, N4+N5=900, N1=N3=N5, N2=N4=N6, 在AAEG和ABCE中，N1 =/3 AB二BC ,Z2=Z4A

36、AABGABCE (ASA), ，BE=AG=8, CE-BG=6, ZBEC-ZAGB=90, / GE=Bb - BG=8 - 6=2, 同理可得HE=2,在RTZXGHE中，GH=而再必=五号/=2兆,故选：B.【点评】本题主要考无正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综 合运用，通过证三角形全等得出GHE为等腰直角三角形是解题的关键.（2016漳州）如图，在ABC中，AB=AC-5, BC=8, D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【考点】勾股定理：等腰三角形的性质.【专题】分类讨

37、论.【分析】首先过A作AE_LBC,当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质 可得BE=EC,进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围, 进而可得答案.【解答】解：过A作AELBC,VAB=AC.AEC-BE-BC-4,AAE=V52 - 4 （2016青海）如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为Si,以CD为斜边作等腰 直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2, 按照此规律继续下去，则S9的值为（）:D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.3WADV5,，AD=3 或 4,线段AD长为正整数，点D的个数共有3个，故

38、选：C.B DE【点评】此题主要考充了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出 AD的最小值，然后求出AD的取值范围.【考点】勾股定理.【分析】根据等腰宜角三角形的性质可得出S2+S2-S：,写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=（工）3，依此规律即可得出结论. 2【解答】解：在图中标上字母E,如图所示.:正方形ABCD的边长为2, ZCDE为等腰直角三角形， /.de2+ce2=cd2, de=ce,AS2+S2=Si.观察，发现规律：Si=22=4, S2Si=2, S3S2=1，S4=S3=- 22226（X） n3. 2当 n=9 时，So= （1 9-3=

39、（_）6, 22故选:A.【点评】本题考杳了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律S（工）3”.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部 2分工的值，根据数值的变化找出变化规律是关键.（2016东营）在ZABC 中,AB=10, AC=2V10 BC 边上的高 AD=6,则另一边 BC 等 于（）A. 10 B, 8 C. 6 或 10 D. 8 或 10【考点】勾股定理.【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，利 用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长.【解答】解：根据即意画出图形，如图所示，如图

40、1 所示，AB=1O. AC=2VIU AD=6, 在 RtAABD 和 RtAACD 中，根据勾股定理得：BD=Jab2 - AD凄S，CD=VAC-AD2此时 BC-BD+CD-8-2-10：如图 2 所示，AB=10, AC=2/T0，AD=6, 在 RtAABD 和 RtAACD 中，根据勾股定理得：bd=7aB2 - AD 2=8, CD=VAC 2 - AD 2=2, 此时 BC=BDCD=82=6.则BC的长为6或10.故选C.B图力C 8图？ c D【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.（2016株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半

41、圆，等腰直角A. 1 B. 2C. 3 D. 4三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足Si+S2ns3图形个数有（）【考点】勾股定理.【专题】计算题：推理填空题.【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b?=c2.（1）第个图形中，首先根据等边三角形的面枳的求法，表示出3个三角形的面枳：然后 根据 a2+b2-c2，可得 S1+S2-S3.（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积：然后根据a2+b2=c2, 可得S1+S2ss3.（3）第二个图形中，苜先根据等腰直角三角形的面枳的求法，表示出3个等腰直角二角形 的面积：然后根据？+小F2,可得S

42、1+S2-S3.（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面枳；然后根据 a2+b2=c2 S 1+82=83.【解答】解：（1） Si-la2, S2-2, S3迄2,AS1+S2-S3.(2) Si=a2, S2-b2 S3=-c2,444: a2+b2-c2,，S1+S2=S3.(3 ； Si=a， S2=b,S3中,25 D. 1694a?*?,.32十氢2上,444/S1+S2=S3.（4） Si=a2, S2-b2 S3C2*.* a2+b2=c2./. S1+S2=S3.综上，可得面积关系满足S1+S2=S3图形有4个.故选：D.【点评】（1）此题主要考查

43、了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在 任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.（2）此题还考重了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌 握.（2016妗东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国占代数学家 赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示, 如果大正方形的面枳是13,小正方形的面枳为1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直 角边长为b,那么（a+b） 2的值为（）【考点】勾股定理的证明.【专题】数学建模思想：构造法：等腰三角形与直角三角形.【分析】根据题意，结

44、合图形求出ab与f+b?的值，原式利用完全平方公式化简后代入计 克即可求出色.【解答】解：根据题苣得：c2=a2+b2=13, 4xlab=13- 1=12,即 2ab=12,2贝ij （a+b） 2-a2+2ab+b2-13+12-25, 故选C【点评】此题考查/勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题 的关键.（2016南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A. 3, 4, 4 B. 3, 4, 5 C. 3, 4, 6 D. 3, 4, 7【考点】勾股定理的逆定理.【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角 三角形；满

45、足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形：满足较小两边平方的和小 于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可.【解答】解：A、因为32+4242,所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意：B、因为32+4252,所以三条线段能组成立角三角形，不符合即意：C、因为3+46,且32+42V6?,所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7,所以三条线段不能组成三角形，不符合题意.故选：C.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c满足+b2y2,那么 这个三角形就是直角三角形.掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键.（2016绵阳）如图，沿AC方向开山修建一

46、条公路，为了加快施工进度，要在小山的另 一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取NABD750。，沿BD的方向前进，取N BDE=60,测得BD=520m, BC=80m,并且AC, BD和DE在同一平面内,那么公路CE 段的长度为（）A. 180m B. 26（h/3iii C. （26O/3- 80） m D. （26O/2- 80） m【考点】勾股定理的应用.【分析】先根据三角形外角的性质求出NE的度数，再根据锐角三角函数的定义可求BE, 再根据线段的和差故选即可得出结论.【解答】解：在ZkBDE中，NABD 是4BDE 的外角，NABD=150。，ZD=60%:.NET 50。- 60

47、=90,VBD=520m,Vsin60-BE BE , BD 520DE=520sm600=260G (m), 公路C匕段的长度为26g-30 (m). 答：公路CE段的长度为(260y-80) m.故选：c.【点评】本期考查的是解直角三角形的应用，熟知三角形外角的性质及锐角三角函数的定义 是解答此题的关键.（2016达州）如图，在5X5的正方形网格中，从在格点上的点A, B，C, D中任取三 点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）3234【考点】勾股定理的应用.【分析】从点A, B, C, D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况 数，即可求出所求的概率.【解答】解：

48、从点A, B, C, D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能,其中川口, ADC, ABC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为3.4故选D.【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系和勾股定理的逆定理运用， 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型.（2016杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n （mVn）,过锐角顶点 把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A. nr2nin+n2=0 B. nr - 2nin+n2=0 C. nr+2mii - ir=0 D. nr - 2nm - n2=0【考点】等

49、腰直角三角形：等腰三角形的性质.【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+ni2=（nm） 2,整理即可求解【解答】解：如图，m2+m2= （n - m） 22nr=n2 - 2mn*m2,m2+2mn - n2-0.【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角 形的性质，根据勾股定理得到等量关系.二.填空题（共1。小题）（2016资阳）如图,在等腰直角ABC中,ZACB=90, CO_LAB于点O,点D、E分 别在边AC、BC上，且AD=CE,连结DE交CO于点P,给出以下结论： DOE是等腰直角三角形；NCDE=NCOE：若AC=1,则四边开

50、ZCEOD的面积为土:4l AD-BE2 - 20P?=2DPPE，其中所有正确结论的序号是【考点】勾股定理：四点共圆.【分析】正确.由ADO0CEO,推出DOPE, NAOD-NCOE,由此即可判断.正确.由D、C、E、。四点共圆，即可证明.止确.由abcnx 1 X 1=-, S两边形DCEO=Sa DOC+Sa CEO=Sa CDO+Sa ADO=Sa AOCSa abc 即可解决问题.2正确.由 D、C.E,O 四点共【员 1，得 OPPC=DPPE,所以 ZOPZDP+EuZOpZ+ZOP-PCnZOP (op+pc)=2op*oc,由opes/xoec,得到p.e,即可得到 OE

51、0C2OP2+2DP*PE=2OE2=DE2=CD2+CE2,由此即可证明.【解答】解：正确.如图，V ZACB=90% AC=BC, CO1AB.e.AO=OB=OC, ZA= ZB= ZACO= ZBCO=45,在ADO和aCEO中，(OA=OCI /a二Neco, (AD=CE:.AADOACEO,/.DO=OE, ZAOD=ZCOE,:.ZAOC=ZDOE=90,DOE是等腰直角三角形.故正确.正确.VZDCE+ZDOE-1800,D、C、E、O四点共圆, /. ZCDE=ZCOE,故正确.正确.VAC=BC=1,Sa ABC=-X 1 X S Riit DCEO=Sa DOC+Sa

52、CEO=Sa CDo+Sa ado=Sa A0C=-1-Sa abc=- 故正确.正确.D、C、E、O四点共圆，OPPC=DPPE,/. 2OP2*2DP-PE=2OP2+ZOP*PC=2OP ( OPPC) =2OPOC,V ZOEP=ZDCO=ZOCE=45, ZPOE=ZCOE,:.AOPEAOEC. OP.OEOE OCAOPOC=OE2,:.2OP2+2DP*PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，VCD=BE. CE=AD,:.AD2+BE2-2OP2-2DP*PE，AD2+BE2 - 2OP2=2DPPE.故正确.【点评】本题考查勾股定理、四点共圆、全等三角形的判定和性质、等腰直

53、角三角形的性质、 相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用四点共圆解 决问题，题目比较难，用到的知识点比较多.12.（2016枣1E）如图，是届立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如卜数据: AM-4米，AB=8米，NMAD-45。，ZMBC-30%则警示牌的高CD为2.9 米（结果精 确到0.1米，参考数据：限1.41, V3=1.73）.C冬雾路段.，.建恒驾驶e.VB【考点】勾股定理的应用.【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m,再根据勾股定理可得 MC、MB屋（2MC） 2,代入数可得答案.【解答】解：由题意可得：:AM7米，Z

54、MAD=45,/ DM=4m,AM=4 米，AB=8 米，AMB=12 米， NMBC=30。，.BC-2MC,MC2+MB2= （2MC） 2,MC2+122= （2MC） 2,，MC=4 近，贝lj DC-43 - 42.9 （米）,故答案为:2.9.【点评】此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等 于斜边的平方.（2016哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90- AC=3,点P为边BC的三等 分点，连接AP,则AP的长为殛比5_.【考点】等腰直角三角形.【分析】如图1根据已知条件得到PBBC=1.根据勾股定理即可得到结论；3如图2,根据已知条件得

55、到PC-1BCT,根据勾股定理即可得到结论.3【解答】解：如图1,.NACB-90。, AC-BC-3,7PB=l-BC=b3CP=2,AP=VAC2+PC2=t如图 2, V ZACB=90 AC=BC=3,vpc=Xbc=e3,止五/+）凸国，综上所述：AP的长为3互或JI5,故答案为：3话或近5.【点评】本题考查了等腰宜角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是 解题的关键.（2016江西三模）如图，RtZABC中，NABC=90。，DE垂直平分AC,垂足为O, AD BC,且AB=5, BC=12则AD的长为旦旦. 24 一B【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质.【分析

56、】连接AE,根据垂直平分线的性质可得AE=EC,然后在直角AABE中利用勾股定 理即可列方程求得EC的长，然后证明AODgZiCOE,即可求得.【解答】解：连接AE.VDE是线段AC的垂直平分线，:.AE=EC. EC=x,则 AE=ECx, BE=BC - EC-12 - x. 在直角 AABE 中，ae2=ab2+be2/.x2=52+ (12-x) 2,解得：x=&.24即 EC=. 24VAD/7BC,:.ZD=ZOEC,在以OD和COE中，(ZD=Z0EC/ AO D=/COE，OA=OC:.AAODACOE, r.AD-EC-Ai.24故答案是：堡24【点评】本题考查了线段的垂直平

57、分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确列方程求 得EC的长是关键.(2016南岗区模拟)在ABC中，NABC=30。，AB=8, AC=2V7,边AB的垂直平分 线与直线BC相交于点F,则线段CF的长为或学血【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质.【分析】在中，已知两边和其中一边的对角，符合题意的三角形有两个，画出AABC 与ABU.作ADJ_BC于D,根据等腰三角形三线合一的性质得出CD=CD.由EF为AB 的垂直平分线求出AE和BE长，根据勾股定理和解直角三角形求出AD、CD、BD、BF. 即可求出答案.【解答】解：如图，作ADLBC于D.* AE=BE=AB=4，2EF1AB./AC

58、=AC,=2V7，AD_LBC 于 D, ，CD=CD, EF为AB垂直平分线,丁 ZABC=30.A EF=BE X taii30-V3 BF=2EF-，33在 RtZXABD 中，V ZADB=90, ZABD=30.AAD=ABM, 2由勾股定理得：CD=J(2V7) 2 _ 42=2%. BD=g2 - 4 2=43.即F在C和D之间，V BC=BD - CD=4V3 - 2 V=2近，/.CF=BF - BC=yV3 - 2V3=-1V3 CT=BC, - 故答案为：弓网皆耳.【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂宜平分线的性质，等腰三角形三线合 一的性质，勾股定理的应用，

59、根据题意画出图形进行分类讨论是解题的关键.（2016道外区一模）如图,在河（：中，ZACB=90, AC=BC, P为三角形内部一点, 且 PC=3, PA-5, PB=7,则 APAB 的面积为 14 .【考点】勾股定理；等腰直角三角形.【分析】过P作PD_LAC于D, PE_LBC于E,根据四边形CDPE是矩形，得至U CD=PE=y, CE=PD=x,设PD=x, PE=y. AOBda,列方程组即可得到结论.【解答】解：过P作PD_LAC于D, PE_LBC于E,则四边形CDPE是矩形，设PD=x, PE=v，AC=BC=a,JACD=PE=y, CE=PD=x.x2 + y2=9A

60、x2+(a-y) 2二49, ky2+(a- x) 2=25 (a2 - 2ay=40a2 - 2a16，/. a2 - ay - ax=28,lax - iay=14.22 故答案为：14.Sz. APB=Sa ABC - Sa APC - SA【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各性质是解题的关键.（2016余干县二模）如图，在（：中，AB=AC=4, AO=BO. P是射线CO上的一个 动点，NAOCT20。，则当APAB为直角三角形时，AP的长为2或.【考点】勾股定理.【专题】分类讨论.【分析】利用分类讨论，当NAPB=90。时，分两种情况讨论，情况一：如图1,易得N