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1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业M矩阵的性质、判定定理及证明一、M矩阵背景介绍:1、M矩阵是计算数学中应用极其广泛的矩阵类 。M矩阵是L矩阵的一种,M矩阵要求它自身的逆矩阵为一个非负矩阵。2、首先,L矩阵的定义为:若A一个n*n的方阵,若 而(i j),则称A为L矩阵。3、关于M-矩阵的一篇最早的论文发表于1887年,Stieltje证明了一个具有非正非对角元的,非奇异对称对角占优矩阵的逆是一个非负矩阵。之后,1937年Ostrowski提出M矩阵的定义为:具有非正非对角元,且逆是非负矩阵。近年来,国

2、内外的许多数学工作者对M矩阵判定方法的研究都极为重视,并开展了深入的研究工作,给出了许多判定方法。但就目前的研究成果来看,所提出的M矩阵的判定方法仅是、且仅能对M矩阵作整体判定,这对高阶矩阵来说,在计算上较为困难,判定方法难以实现,因而现有M矩阵的判定方法存在着相当大的局限性。二、M矩阵的概念定义1 设,且,称A为M矩阵。定义2 设,且,若为M矩阵,则称A为逆M矩阵。引理1 如果,且,A为M矩阵的充要条件是A可做三角分解,,其中L为下三角阵,R为上三角阵,L和R的主对角元都是正值。三、M矩阵的判定定理与证明定理1 若为M矩阵,则,其中下三角阵L和上三角阵R的主对角线元素为正,且其余元素为非正值

3、。证明 若A为M阵,则当,;,。由引理1,A可做三角分解。设 , 则,故。因,故;因故;因,故,从而;因,故。类似的有,()。又因有及故相应有,。类似的有,()。假设时有,(),当时,由于,故。又由于,故;类似的可得到,()。证毕。定理2 设,的代数余子式为,如果则为M矩阵的充要条件。证明 必要性:如果为M矩阵,由于,故 。充分性:由于,且,就由定义1知为M矩阵,证毕。定义3 设有n阶矩阵,如果存在正向量X(即它的分量都是正值),使得成立,则称A为拟对角占优。引理2 设,满足,并且矩阵为拟对角占优,则A为M矩阵。定理3 设,如果 则A为M矩阵(其中)。证明 若 对 皆成立,则由定义3 知为拟对

4、角占优。由引理2知A为M矩阵,为此,只需证明对某个有的情形。不失一般性,不妨设。由,可得用乘以矩阵B的第一列,得新矩阵,则有,再假设,用r乘以矩阵的第二列得到新矩阵,则有,于是为强对角占优,故B为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵。定理4 设,设,若对任意,恒有,则A为M矩阵。证明 令:,由于,故,取做 得,则当时,有,如果,显然有 。当时有 ,于是知为强对角占优矩阵,由定义3知B为拟对角占优矩阵,因此,根据引理2知A为M矩阵。证毕。定理5 如果存在正对角阵D,使AD为拟对角占优阵,则A为拟对角占优阵。证明 因为存在正对角阵D,使为拟对角占优,则存在正对角阵,使为强对角占优。又因仍为正对角阵,故

5、A为拟对角占优阵。证毕。定理6 设,且对任意的有 (1)并且对全体等号成立的,存在非零元素链,使得成立,则A为M矩阵。证明 由于,故。取,做得,则当时,有如果,显然有 。当时,有 ,反之,若对使式(1)成立的,存在非零元素链,使得 成立则由前分析知为具有非零元素链的对角占优矩阵,并且通过文献知道为半强对角占优矩阵。故为拟对角占优矩阵,从而B为拟对角占优矩阵,由引理2知A为M矩阵。证毕。关于M矩阵新的判定方法 利用逐次降阶的方法,使一个任意阶的矩阵A所对应的逐次降为最后只需利用定义,就可判定矩阵是否满足要求,而无须要求理解定理。从而得出结论,如果是M矩阵,则A亦是M矩阵。 1 判定方法定义1 设

6、A为阶方阵,若对任意的则称A为正定矩阵。定义2 设则称A为M矩阵。定义3 设存在正对角阵D,使AD为正定矩阵,则称A为广义正定矩阵。引理1 设,且,则A为M矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。引理2 设,且,是阶可逆方阵,则A为广义正定矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。引理3 设设,且,是阶可逆方阵,则A为M矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。引理4 ,且,若为M矩阵,则A为M矩阵。定理1 设,如果,为广义正定矩阵,则A为M矩阵。证明 取则由于,为广义正定矩阵,故为广义正定矩阵,故为M矩阵,所以A为M矩阵。定理2 设 ,且若为广义正定矩阵,则A为M矩阵。证明 设,则,其中(所以,只需证为广义正定矩阵)取

7、,得 由已知条件,得为广义正定矩阵,故为广义正定矩阵,故为广义正定矩阵,因此为广义正定矩阵,所以为M矩阵,即A为M矩阵。定义6 若正定,则称A实部正定。定义7 若存在正对角阵D,使正定,则称A广义实部正定。引理5 ,且,则A为M矩阵的充要条件是A为广义实部正定。定理3 设,A分块如定理1,则A为M矩阵的充要条件是存在正对角使为广义实部正定。证明 必要性:若A为M矩阵,则A为广义实部正定。故存在正对角阵D,使正定。不失一般性,不妨设,A分块如定理1,则故由定理1证明知正定。故为实部正定。所以广义实部正定。广义实部正定,故,为M矩阵。充分性:若为M矩阵。则为广义实部正定。所以 实部正定,则正定。则

8、A广义实部正定,所以A为M矩阵。 2 算法设计与分析取 法1分析: 由定理2知要判定一个阶方阵是否为M矩阵,只须判定子块是否为广义正定矩阵。这样当比较大时,为了减少计算量考虑取为一阶矩阵,这样是的倒数,在计算过程中只须求一些矩阵的减、乘运算,最后可利用定义直接判定是否为M矩阵,如果是M矩阵,则可以确定A是M矩阵。算法设计 取为一阶矩阵,则为阶矩阵。此时计算,令=取为一阶矩阵,则为阶矩阵。求逐次降阶计算得是否为M矩阵。若是M矩阵,则可得到A是M矩阵结论。法2 (并行算法)分析 因为由定理2知把分为9块,故当时,取,均为阶。若时,取均为阶,为阶:此时须计算及,设,=重复上述算法,若,则最多计算次即

9、可。定理2把A分成块,此时也被分成块,只须判断和,是否为广义正定矩阵即可,而判断和,是否为M广义正定矩阵却是相互独立的。因此需要设计三个模块并行计算。模块1判断,模块2判断,模块3判断,三个模块由三个计算单元分别完成。为主控机,完成矩阵的划分,计算和并将和传送到。此时同时计算,分别判断和,是否为广义正定矩阵。将结果传送回主控机,由完成最后的判断,并输出。以上给出了一个判定阶方阵A是M矩阵的一种方法,并对其并行算法进行了研究,救过表明所提出的方法使行之有效的,并且适合于并行求解,不仅缩短了求解时间,而且方法简单易掌握,因此在实际应用中有重要意义。 参考文献:1.M-矩阵的特性描述2-非奇异M矩阵J.应用数学与计算机数学,1981(2):48-54.2游兆永.非奇异M矩阵J.武汉:华中工学院研究生讲义1981.3胡玉臣.非奇异M矩阵的快速判定方法及算法J.长安大学学报,2000,10(5):30-31.4同济大学应用数学系高等数学M.北京:高等教育出版社,2002:246-250.5毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳M.武汉:华中科技大学出版社,2001.6钱吉林.高等代数题解精粹M.第二版.北京:中央民族大学出版社,2010:112-224.8华东师范大学数学系.数学分析M.第

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