理论力学教学课件刚体平面运动

1、主 讲：吴莹 教授办公室：东校区中1楼2109理论力学西安交通大学航天航空学院 国家力学实验教学中心2 本章以刚体平动和定轴转动为根底，应用运动分解和合成的方法，研究工程中一种常见而又比较复杂的运动刚体平面运动，同时介绍平面运动刚体上各点速度和加速度的计算方法。根本概念速度分析加速度分析运动学综合应用作业题8.刚体的平面运动3 刚体在运动过程中，其上各点至某一固定平面的距离始终保持不变，称刚体相对于固定平面作平面运动。根本概念及运动方程刚体上每一点的运动轨迹为平面曲线。刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动.8.刚体的平面运动定义：4轮子在运动过程中，其上各点至固定平面的距离始终保持

2、不变，轮子作平面运动。 曲柄连杆滑块机构在运动过程中，其上各点至固定平面的距离始终保持不变。 其中，曲柄作定轴转动，滑块作平动，连杆作平面运动。 根本概念及运动方程8.刚体的平面运动5四连杆机构在运动过程中，其上各点至固定平面的距离始终保持不变。 其中，盘形曲柄、摇杆DB作定轴转动，连杆作平面运动。根本概念及运动方程8.刚体的平面运动6行星轮机构在运动过程中，其上各点至固定平面的距离始终保持不变。 其中，曲柄作定轴转动，小齿轮作平面运动。根本概念及运动方程8.刚体的平面运动7请分析机构中那些构件做平面运动？根本概念及运动方程8.刚体的平面运动8设一刚体作平面运动,MNSA1A2A假设作一平面N

3、与平面M平行,并以此去截割刚体得一平面图形S. 可知该平面图形S始终在平面N内运动.因而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平动.故 A1A2 的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代.因此刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动.9 刚体的平面运动可以简化为平面图形S在自身所在平面内的运动。自由度数=3 而平面图形S的位置可由其上的任意直线AB完全确定，即这一直线的运动可以代表平面图形S的运动，也就是刚体的平面运动。平面运动方程：根本概念及运动方程8.刚体的平面运动10 由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A点固定不动，那么刚体将作定轴转动；如果线段AB的方位不变即

4、 =常数，那么刚体将作平动。 可见，刚体平面运动包含平动和转动两种根本运动。平面运动的分解：根本概念及运动方程8.刚体的平面运动11建立静系Oxy 以基点O为原点建立平动坐标系Oxy .Sxyo在平面图形S上选取基点O.Oxy平面运动的分解：12 刚体的平面运动 (绝对运动)xyoSAxyOSAxyO 随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动).A13有关基点选取的讨论ABSASABB12那么直线AB随之运动到的AB位置. 设在时间t内平面图形S从位置运动到位置.由几何关系可知: 1 = 2由此推得:1 = 21 = 2以A为基点以B为基点14平面运动的分解：根本概念及运动方程8.

5、刚体的平面运动15Axy平动坐标系A基点平面运动分解绕基点的转动随基点的平动平面运动的分解：根本概念及运动方程8.刚体的平面运动16rA rB， vA vB， aA aB结论：随基点的平动局部与基点的选择有关 1=2=A= B= A= B= 绕基点的转动局部与基点的选择无关 平面运动的分解：根本概念及运动方程8.刚体的平面运动17 凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点和坐标系，只需说明是平面图形的角速度和角加速度。平面运动分解绕基点的转动随基点的平动绕基点的转动局部与基点的选择无关 平面运动的分解：根本概念及运动方程8.刚体的平面运动18根本概念及运动方程8.刚体的平

6、面运动1刚体的平动和定轴转动均是刚体平面运动的特例，对吗？答：不完全对，刚体作空间曲线平动就不是特例。2刚体作平面运动，用基点法可将运动分解为两局部，即随基点的平动与绕基点的转动，其中转动角速度是刚体绕基点的相对速度，也等于刚体的绝对速度，对吗？为什么？答：对。因为动坐标系只作平动。思考题：19yxOyxBAvA基点：A平动坐标系：Axy刚体平面运动的速度分析动点：B任务：分析B点的速度于是，平面图形内任意一点B的绝对运动平面曲线运动也可以看成： 任何平面图形在自身平面内的运动都可以分解为随基点A的平动和绕基点A的转动。平动坐标系的牵连运动相对于平动坐标系的相对运动以A为圆心，BA为半径的圆周

7、运动合成8.刚体的平面运动20yxOyxB由速度合成定理： va = ve + vr 平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点相对于基点运动的速度的矢量和。vBvBAvAAvA基点：A平动坐标系：AxyvB = vA+ vBAvBvBAvA动点：B任务：分析B点的速度刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动基点法21vB = vA+ vBA1是矢量式，符合矢量合成法那么；2共包括大小方向六个要素，任意四个要素，能求出另外两个要素。yxOyxBvBvBAvAAvA刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动基点法22其中：rAB 速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等

8、。ABvB = vA+ vBA刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动投影法231该式是代数方程，可解一个未知量。2速度投影定理反映了刚体中两点间距离不变的特性。rABAB刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动投影法24例题11-3. 椭圆规的构造如下图.滑块 A 和 B分别可在相互垂直的直槽中滑动,并用长 l = 20cm 的连杆AB连接设vA = 30 时滑块 B和连杆中点 C的速度.ABCvA25ABCvA解: (1)取A为基点B为动点.vB = vA + vBA (1)把(1)式向AB方向投影得:vB sin = vA cosvB = vA ctg = 34.64 cm/s把(1)式

9、向 vA方向投影得:0 = vA - vBA sinvBA = 40 cm/s = 2 rad/svAvBvBA26ABCvAvAvBvBA取A为基点C为动点.vC = vA + vCA (2)vCAvCvAvCA = (CA) = 20 cm/s 对(2)式应用余弦定理得:vA = 20 cm/s27ABCvA(2)直接建立点的运动方程.Oxy由 vA = 20 cm/s , =30 vB = l cos = 34.64 cm/svA = - l sinxA = l cosyB = l sin xC l cosyC l sin得: vC = 20 cm/s 得: = 2 rad/s28例题1

10、1-4.在图示结构中,曲柄O1A的角速度,求滑块C的速度.图中O1A = r, O2B= BC= l .O1O2ABC29O1O2ABC解:分析A, B和C点的运动并画速度矢量图.vAvBvC由速度投影定理得:vA cos = vB cos(+)vB cos(90-2) = vC cos联立上述两式得:vA = r30AvA 设在某一瞬时,图形上A点的速度为vA图形的角速度为.假设沿速度vA的方向取半直线 AL.vC = vA - vCALLCvAvCA 将此半直线绕A点按 的转向转过90到AL的位置. 那么在AL上由长度AC = vA/ 所定出的一点 C,就是此瞬时图形上速度等于零的一点.证

11、明:= vA - (AC)= vA -(vA/)= 0瞬心法刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动31 一般情况下,在平面图形中,每一瞬时 都唯一地存在着速度等于零的点.该点称为平面图形 在此瞬时的瞬时速度中心.简称速度瞬心.CNMvM =(CM)vMvNvN =(CN) 图形上任一点的速度大小与该点到速度瞬心C的距离成正比,其速度方位垂直于该点与速度瞬心C的连线. C又称为平面图形的瞬时转动中心. CM和 CN称为瞬时转动半径.记为C.32速度瞬心某瞬时，平面图形内速度等于零的点。PBvBAvAAB2、瞬时性不同的瞬时，有不同的速度瞬心；3、唯一性某一瞬时只有一个速度瞬心；1、速度瞬心客观

12、存在结论：瞬心法刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动33 某瞬间平面图形上A, B两点速度vA、vB的方向，且vA不平行于vB， 过A , B两点分别作速度的垂线,其交点 P 即为该瞬时的速度瞬心.几种确定速度瞬心位置的方法 图形上一点的速度vA 和图形角速度，可以确定速度瞬心P的位置。 一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 那么图形与固定面的接触点P为速度瞬心 瞬心法刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动34 在某瞬时图形上任意两点A和BA和B分别作速度vA 和 vB 的垂线其交点C即为瞬心.COAB35 某瞬时图形上A, B两点速度vA、vB大小,且二者都与A、B连线垂直。(b)(a

13、)几种确定速度瞬心位置的方法瞬心法刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动36 某瞬时图形上A, B两点的速度大小相等，方向相同此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为 瞬时平动. 几种确定速度瞬心位置的方法各点的加速度也不相等此时 0瞬心法刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动OBA37 (1) 在不同的瞬时，平面图形有不同的速度瞬心； (2) 速度瞬心只是瞬时速度为零的点，它的加速度一般并不为零。(3)“瞬时平动与“刚体的平动 不同！瞬心法刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动注意：38例题11-6.在图示结构中,曲柄O1A的角速度.图中O

14、1A = r, O2B= BC= l .确定平面运动杆件的瞬心.O1O2ABC39O1O2ABC解:杆O1A和杆O2B 作定轴转动.滑块C作直线动.AB 杆和BC杆作平面运动.其瞬心分别为C1和C2 C1C240例题A以速度 vA 沿水平直槽向左运动, 并通过连杆AB 带动轮B B的半径为r ,园弧轨道的半径为R ,滑块A 离园弧轨道中心O 的距离为l .求该瞬时连杆AB的角速度及轮B边缘上M1和M2点的速度.rROBlAvAM1M241rROBlAvAM1M2解:轮B和杆AB作平面运动,C为轮B的瞬心.CvB杆AB作瞬时平动. AB = 0vA = vBvM1vM2vM1 = 2 vB =

15、2 vAB42例题11-8. 图示曲柄肘式压床,曲柄OA的角速度 = 40rad/s ,OA=15cm,AB=80cm,CB=BD=60cm.当曲柄与水平线成 30角时连杆AB处于水平位置,而肘杆 CB与铅垂线也成30角.求此机构在图示位置时连杆AB和BD的角速度及冲头D的速度.OABCD30303043OABCD303030C1C2C1为AB杆的瞬心.C2为BD杆的瞬心.解:杆AB和BD杆作平面运动.vA= (OA) = 6m/sABvB=(C1B)ABvD=(C2D)BDBDvDBDvAvBvD=(C2B)BD44例题11-9. 图示为一平面连杆机构,等边三角形构件 ABC 的边长为a 三

16、个顶点 A,B 和分别与套筒A,杆O1B 和O1C铰接,套筒又可沿着杆OD 滑动.设杆O1B长为a并以角速度转动,求机构处于图示位置时杆OD的角速度OD .OABCO1O260D45OABCO1O260D解:等边三角形构件ABC作 平面运动 C1为其瞬心.C1vBvB= (O1B) = a vAvAcos30 = vBcos60vrveOD46O45ABC0例2：已知四杆机构中，曲柄OAr=0.5m，角速度0=4rad/s，AB=2r，BC=22 r。图示瞬时，OA水平，AB垂直。 求：此时AB、BC的角速度。刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动47O45ABC0vAABBCvAvBAvB

17、OA定轴转动，vA=OA 0AB平面运动动点：B，基点： A大小：？ ？ 方位： vBA=vA=2m/sAB=vBA/AB=2rad/svB=vA/sin45= 22 m/sBC=vB/BC=2rad/s运动分析速度分析解：刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动48我们也可以用速度瞬心法求AB杆的角速度。用速度投影法求BC杆的角速度。O45ABC0vAABBCvBvB=vA/sin45= 22 m/sBC=vB/BC=2rad/sAB=vA/AC=2rad/s该瞬时，C是AB杆的速度瞬心。刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动49例3：组合机构中，曲柄OAr= O1C，角速度 0，AB=

18、O1B= CD=2r。图示情形, ABBC, =45。 求：此时CD杆的角速度及滑块D的速度。OAC0BDO1刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动50解： OA转动，vA=r0； AB平面运动，速度瞬心PBC定轴转动；OAC0BDO1vAvBPABvDvCCD杆的速度瞬心在无穷远处，故作瞬时平动，滑块D的速度方向，由速度投影法，得到刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动51例5：行星轮系固定轮半径R，行星轮半径 r，行星轮沿固定轮只滚不滑，曲柄角速度 。求：行星轮上M点的速度。刚体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动52解：OA杆定轴转动 行星轮作平面运动，速度瞬心为两轮的接触点C。C刚

19、体平面运动的速度分析8.刚体的平面运动53 任何平面图形在自身平面内的运动都可以分解为随基点A的平动和绕基点A的转动。 刚体平面运动的加速度分析 于是，平面图形内任意一点B的绝对运动平面曲线运动也可以看成：平动坐标系的牵连运动相对于平动坐标系的相对运动以A为圆心，BA为半径的圆周运动合成根据牵连运动为平动时的加速度合成定理：8.刚体的平面运动基点法54由于B的相对运动轨迹总是以基点A为圆心，以AB为半径的圆弧。由及对应关系刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动基点法55注意： 实际应用时要将矢量方程化成两个投影方程求解。 即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切

20、向加速度及法向加速度的矢量和。刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动基点法56B思考： 平面图形在其平面内运动，某瞬时其上有两点A、B的加速度矢相同。试判断下述哪些说法是否正确? (1)其上各点速度、加速度一定都相等； (2)其上各点速度一定都相等，加速度不相等； (3)其上各点加速度一定都相等，速度不相等。 平动！刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动基点法57 车轮沿直线滚动。半径为R，中心O的速度为v0，加速度为a0，求图示瞬间车轮上的速度瞬心C点的加速度。例一刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动58解：车轮作平面运动，其速度瞬心为与地面的接触点C。由于车轮只滚不滑，轮心O

21、点作水平直线运动，所以有将其对t求一次导数，可得 纯滚动条件O1CxyxOOvOaO刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动59速度瞬心的加速度不等于零。取轮心O为基点，那么C点的加速度为acon刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动思考:如轮放在圆弧轨道上纯滚动,如何分析?60 如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度绕O轴转动，OD=AD=BD=l，求当 时，规尺AB的角加速度和A点的加速度。 yOBAxD60刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动例二61解：AB杆作平面运动，作出滑块A、B的速度方向，得到AB杆的速度瞬心O。OD作定轴转动。刚体平面运动的加速度分析8.刚体

22、的平面运动yOBAxD60vBvDO62曲柄OD 绕O轴转动，规尺AB作平面运动。AB上的 D点加速度 ，取AB上的D点为基点，A点的加速度大小：方向：？aADn刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动60aDaDaAaADn6360取 和 轴如下图，将上式分别在 和 轴上投影，得规尺 AB角加速度故aA的实际方向与原假设的方向相反。刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动64刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动例三四连杆机构，如下图。：OA =0.5 m， AB =1 m, = 4 rad/s, = 2 rad/s2 , 求：图示位置时，vB ，aB ,AB ,AB ,CB ,CB

23、65步骤：速度分析1瞬心法 作 vA，vB 的垂线可找到AB 的速度瞬心P ，那么:解：AB 杆作平面运动，OA、BC 杆定轴转动。vAOA 0.5*42 (m/s)刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动662基点法以A为基点，分析B点速度，即vB = vAvBA由图示几何关系可求出vB、vBA，那么转向逆时针转向顺时针vAvBA刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动67步骤2：加速度分析基点法以A 点为基点,分析B 点加速度,因为：由加速度合成定理有矢量关系：方向： 刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动68取投影轴B ，那么上述矢量式子投影到两轴上得：刚体平面运动的加速度分析8.刚体的平面运动69 外啮合行星齿轮的机构中，O1O=l, 齿轮I固定不动，杆O1O以匀角速度1转动，齿轮II的半径为r。A在O1O的延长线上。试求此瞬时点A的速度和加速度的大小。例三运动学综合应用8.刚体的平面运动70解：分析运动齿轮II作平面运动纯滚动。分析速度O点的速度为齿轮II的速度瞬心为两齿轮的啮合点C。得到齿轮II的角速度为角加速度为CvO运动学综合应用8.刚体的平面运动71A点的速度为加速度分析CvOvA以A为动点，O为基点，nC运动学综合应用8.刚体的平面运动72 图示一连杆机构，