类型一 二次函数公共点问题【含答案】

1、类型一二次函数公共点问题【典例1】平面直角坐标系中，抛物线过点，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，（1）用含的式子表示；（2）求点的坐标；（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）（1）；（2）或；（3）当时，有【分析】（1）把代入：，即可得到答案；（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与的交点为，确定顶点的位置，分情况利用，求解，从而可得答案；（3）分情况讨论，先求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案【详解】解：（1）把代入：， （2） 抛物线为： 抛物线的对称轴为：

2、 顶点不在第一象限，顶点在第四象限，如图，设 记对称轴与的交点为，则 ， 当同理可得： 综上：或（3） 当，设为： 解得： 为 消去得： 由根与系数的关系得： 解得： 当时， 当时， 当时，当时，有 当，同理可得为： 同理消去得： 解得： 此时，顶点在第一象限，舍去，综上：当时，有本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键【典例2】如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D

3、（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD，CD，BC，将OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，设平移时间为t秒，当点O与点A重合时停止移动记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）分0t1、三种情况解答即可；（3）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则

4、有、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：，解得：抛物线解析式为y=-x2-2x+3；（2）y=-x2-2x+3= 抛物细的顶点坐标为（-1,4）A(-3,0)在直线AD上设抛物线解析式为y=kx+b则有 ，解得：直线AD的解析式为y=2x+6,当在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-如图所示，当0t1时，OC=OC=3,OB=OB=1,OB=1-tOC/OCOM,即，解得：OM=3(1-t)S= SOBC- SOMB= 当时，完全

5、在四边形AOCD内，当时，如图所示，过G点作GH，设HG=x，GH/AB,HGK=KAO，直线AD的解析式为y=2x+6, , ,KO=2AOOC= CK+AOS=SOBC- SCGK= 综上：；（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）而=-，即本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键【典例3】如图，抛物线yx2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OAOB，点G为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的

6、左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解解：（1）抛物线yx2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，点B（0，c），OAOBc，点A（c，0），0c2+2c+c，c3或0（舍去），抛物线解析式为：yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，顶点G为（1，4）；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，对称轴为直线x1，点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度

7、和5个单位长度，点M的横坐标为2或4，点N的横坐标为6，点M坐标为（2，5）或（4，5），点N坐标（6，21），点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，21yQ4【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键【典例4】如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点（1）求抛物线的解析式；（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标（3）在（2）的旋转变换下，若（如图）求证：当点在（1）所求的

8、抛物线上时，求线段的长（1）；（2）（，0）；（3）见解析；=或=【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45，因此设直线EF的解析式为y=x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6-m），直线与抛物线只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标注意有两种情况，均需讨论（3）过点P作PGx轴于点G，过点E作EHx轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由及旋转的性质，证明EHMMGP，

9、得到点E的坐标为（m-1，5-m），再根据两点距离公式证明，注意分两种情况，均需讨论；把E（m-1，5-m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长【详解】（1）点在抛物线上，得到，又对称轴，解得，二次函数的解析式为；（2）当点M在点C的左侧时，如下图：抛物线的解析式为，对称轴为，点A（2，0），顶点B（2，4），AB=AC=4，ABC是等腰直角三角形，1=45；将逆时针旋转得到MEF，FM=CM，2=1=45，设点M的坐标为（m，0），点F（m，6-m），又2=45，直线EF与x轴的夹角为45，设直线EF的解析式为y=x+b，把点F（m，6-m）代入得：6-m=m+b，解得：b=6-2

10、m，直线EF的解析式为y=x+6-2m，直线与抛物线只有一个交点，整理得：，=b2-4ac=0，解得m=，点M的坐标为（，0）当点M在点C的右侧时，如下图：由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45，因此直线与抛物线不可能只有一个交点综上，点M的坐标为（，0）（3）当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PGx轴于点G，过点E作EHx轴于点H， ，由（2）知BCA=45，PG=GC=1，点G（5，0），设点M的坐标为（m，0），将逆时针旋转得到MEF，EM=PM， HEM+EMH=GMP+EMH =90，HEM=GMP，在EHM和MGP中，EHMMGP（AAS），EH=MG=5-m，HM=PG=1，点H（m-1，0），点E