2021年全国中考数学真题汇编12 二次函数综合题（60题）【含答案】

1、2021年全国中考数学真题试卷汇编12-二次函数综合题（60题）解答题（共60小题）专题1：线段和最短，周长最小（1-13）1（湘西州）如图，已知抛物线yax2+bx+4经过A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2（烟台）如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（2，0），B（4，0）

2、，与y轴正半轴交于点C，且OC2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E直线ymx+n经过B，C两点（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的RtPEQ，且满足tanEQPtanOCA若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3（宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE（1）求抛物线的表达式；（2）判

3、断BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作C，在C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由4（通辽）如图，抛物线yax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由5（大庆）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶

4、点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线yax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y2的距离总相等证明上述结论并求出点F的坐标；过点F的直线l与抛物线yax2+bx+c交于M，N两点证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标6（东营）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线yx+2过B、C两点，连接AC（1）求抛物线的解析式；（2）求证：AOCACB；（3）

5、点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值7（荆门）如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点Q为线段BC上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQAC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记PAQ与PBQ面积分别为S1，S2，设SS1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值8（广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c与x轴分别相

6、交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x10123y03430（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DFx轴，垂足为F，ABD的外接圆与DF相交于点E试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由9（恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线yx2+bx+c经过点B，D（4，5）两点，且与直线DC交于另一点E（1）求抛物线的解析式；（

7、2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由10（天津）已知抛物线yax22ax+c（a，c为常数，a0）经过点C（0，1），顶点为D（）当a1时，求该抛物线的顶点坐标；（）当a0时，点E（0，1+a），若DE2DC，求该抛物线的解析式；（）当a1时，点F（0，1a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴

8、上的动点，N（m+3，1）是直线l上的动点当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标11（资阳）抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE1：2时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D处，且DD2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D左侧的一点，MNy轴交直线OD于点N，连结CN当DN+CN的值最小时，求MN的长12（遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（3，0）两

9、点，与y轴交于C（0，3），对称轴为直线x1，直线y2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN2，若将线段MN在直线y1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）13（苏州）如图，二次函数yx2（m+1）x+m（m是实数，且1m0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C已知点D位于第

10、一象限，且在对称轴上，ODBD，点E在x轴的正半轴上，OCEC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当AFQ的周长的最小值等于时，求m的值专题2：动点产生的相似（14-21）14（黔东南州）如图，抛物线yax22x+c（a0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点

11、G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由15（黑龙江）如图，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与BOC相似，请直接写出点P的坐标16（无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数yax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个

12、动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数yax2+2x+c的图象于点E（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标17（济宁）如图，直线yx+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OEAB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求点

13、P的横坐标；若不存在，请说明理由18（怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA2，OB4，OC8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰RtCQR？若

14、存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由19（陕西）已知抛物线yx2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点B、C的坐标；（2）设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由20（邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：yax2+bx+c（a0）经过点（1，1）和（4，1）（1）求抛物线C的对称轴（2）当a1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1求抛物线C1的解析式设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点

15、C，连接BC点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DEOA于点E设点D的横坐标为m是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由21（泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：ACB90；（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F求DE+BF的最大值；点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标专题3：动点产生的平行四边形22（郴州）将抛物线yax2（a0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛

16、物线H：ya（xh）2+k抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C已知A（3，0），点P是抛物线H上的一个动点（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PDAB，垂足为D，PD交AC于点E作PFAC，垂足为F，求PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由23（梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（0，3），顶点为C平移此抛物线，得

17、到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MNCE时，请直接写出点K的坐标24（赤峰）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作

18、EHm，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH（1）抛物线的解析式为 ；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由25（海南）已知抛物线yax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）、点C的坐标为（0，3）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求PBC的面积；（3）如图2，有两动点D、E在COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它

19、们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按COB方向向终点B运动，点E沿线段BC按BC方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为t秒，请解答下列问题：当t为何值时，BDE的面积等于；在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标26（广东）已知二次函数yax2+bx+c的图象过点（1，0），且对任意实数x，都有4x12ax2+bx+c2x28x+6（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次

20、函数图象上的动点问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由27（凉山州）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC，OBOC3OA（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由28（重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过A（0，1

21、），B（4，1）直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点过点P作PDAB，垂足为D，PEx轴，交AB于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和PDE周长的最大值；（3）把抛物线yx2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点PM是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来29（重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx4（a0）与x轴交于点A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2

22、）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求PAD面积的最大值（3）在（2）的条件下，将抛物线yax2+bx4（a0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程专题4：动点产生的特殊四边形（30-39）30（淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+（m0）与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC（1）若OC2OA

23、，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）设直线yx+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由31（齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x+c（a0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA1，对称轴为直线x2，点D为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和C

24、E，求BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标32（菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx4交x轴于A（1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQBP交x轴于点Q，连接PQ，求PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线yax2+bx4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线ya1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为

25、矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为33（达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE，旋转角为（090），连接AE，BE，求BE+AE的最小值；（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由34（岳阳）如图，抛

26、物线yax2+bx+2经过A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l：ykx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQy轴时，作QMPQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得CBFDQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由35（嘉峪关）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与坐标轴交于A（0，2）

27、，B（4，0）两点，直线BC：y2x+8交y轴于点C点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）当GF时，连接BD，求BDF的面积；（3）H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；在的条件下，第一象限有一动点P，满足PHPC+2，求PHB周长的最小值36（湘潭）如图，一次函数yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的

28、四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由37（鄂尔多斯）如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线xm（4m0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD当ODAC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由38（娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求b、c的值

29、；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q当0m3时，求当P点到直线l：yx的距离最大时m的值；是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值39（山西）综合与探究如图，抛物线yx2+2x6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不

30、存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N当SDMNSAOC时，请直接写出DM的长专题4：动点产生的等腰三角形或直角三角形（40-47）40（黄石）抛物线yax22bx+b（a0）与y轴相交于点C（0，3），且抛物线的对称轴为x3，D为对称轴与x轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若DEF是等腰直角三角形，求DEF的面积；（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）41（绥化）如图，已知抛物线yax2+bx+5（a0）与x轴交于点A（5，0），点B（1

31、，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD直线y经过点A，且与y轴交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当EFG3BAE且HG2FG时，求出点F的坐标42（宿迁）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动（1）求抛物线的表达式；（2）如图，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当CAQCBA+45时，求点P的坐

32、标；（3）如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长43（随州）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，4）（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在抛物线上且满足PCBCBD，求点P的坐标；（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MNx轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标44（上海）已知抛物线yax2+c（a0）经过点P（3，0）、Q（1，4）（1）求抛物线的解析式

33、；（2）若点A在直线PQ上，过点A作ABx轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；若C在抛物线上，求C的坐标45（广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0），连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的

34、面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由46（南充）如图，已知抛物线yax2+bx+4（a0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且DQE2ODQ在y轴上是否存在点F，得BEF为等腰三角形

35、？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由47（毕节市）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）（1）填空：点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；（2）当二次函数yx2+bx+c的自变量x满足mxm+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由专题6：动点有关的面积问题48（阜新）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3交x轴于点A（1，0），B（3，0），过点B的直线yx2交抛物

36、线于点C（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由49（南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点（1，1）是函数yx+的图象的“等值点”（1）分别判断函数yx+2，yx2x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y（x0），yx+b的图象的“等值点”分别为点A

37、，B，过点B作BCx轴，垂足为C当ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数yx22（xm）的图象记为W1，将其沿直线xm翻折后的图象记为W2当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围50（哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线yax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y2x4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y2x4上的一个动点，连接PA（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y

38、轴的正半轴上，且OEOD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PGCE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQCF交线段VL于点Q，CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MHCF交FG于点H，过点H作HRCF于点R，若FR+MHGQ，求点P的坐标51（营口）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y3x2+bx+c过点A（0，2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tanOBC2（1）求点C坐标；（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l

39、与ABC的边分别交于M，N两点，将BMN沿直线MN翻折得到BMN，设四边形BNBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S3SACB，请直接写出所有满足条件的m值52（雅安）已知二次函数yx2+2bx3b（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求BPQ面积的最大值；（3）若对满足x

40、1的任意实数x，都使得y0成立，求实数b的取值范围53（襄阳）如图，直线yx+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线yax22ax+c过点A（1）求出点A，B的坐标及c的值；（2）若函数yax22ax+c在3x4时有最大值为a+2，求a的值；（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M设BMP的面积为S直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；结合S与a的函数图象，直接写出S时a的取值范围54（本溪）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点C（1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PDx轴于点D，交AB于点E（1）求抛物线

41、的解析式；（2）如图1，作PFPD于点P，使PFOA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF当矩形PEGF的面积是BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围55（枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当EAB的面积等于时，求E点的坐标；（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线ymx+n，且与

42、x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：ADMACM4556（贺州）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（1，0），对称轴为直线x2（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C当CAB45时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1xPa，1a5时，求PCD面积的最大值（可含a表示）57（福建）已知抛物线yax2+bx+c与x轴只有一个公共点（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知点P1（2，1），P2（2，1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上求

43、抛物线的解析式；设直线l：ykx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y1上，且MAN90，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C求证：MAB与MBC的面积相等58（柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：yax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BEOD，垂足为E，若BE2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记BMN的面积为S1，ABN的面积为S2，求的最大值59（盐城）学习了图形的旋转之后

44、，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点P，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P也随之运动，并且点P的运动轨迹能形成一个新的图形试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度的大小来解决相关问题【初步感知】如图1，设A（1，1），90，点P是一次函数ykx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（1，1）（1）点P1旋转后，得到的点P1的坐标为 ；（2）若点P的运动轨迹经过点P2（2，1），求原一次函数的表达式【深入感悟】如图2，设A（0，0），45，点P是反比例函数y（x0）的图象上的动点，过点P作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求

45、OMP的面积【灵活运用】如图3，设A（1，），60，点P是二次函数yx2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究BCP的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由60（荆州）已知：直线yx+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BEt（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tanAOCk，经过点A的抛物线yax2+bx+c（a0）顶点为P，且有6a+3b+2c0，POA的面积为

46、，当t时，求抛物线的解析式2021年全国中考数学真题试卷汇编12-二次函数综合题（60题）答案与试题解析一解答题（共60小题）1（湘西州）如图，已知抛物线yax2+bx+4经过A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）把A（1，0），B（4，0）代入yax2+bx+4，得到，解

47、得，yx2+3x+4；（2）在yx2+3x+4中，令x0，则y4，C（0，4），设BC的解析式为ykx+b，B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为yx+4（3）如图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x对称，连接BC交直线x于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长4，此时P（4）如图2中，存在观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或4，对于抛物线yx2+3x+4，当y4时，x23x0，解得x0或3，N1（3，4）当y4时，x23x80，解得x，N2（，4），N3（，4），综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（，4）或（，4）2（烟台）如图，抛物线ya

48、x2+bx+c经过点A（2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E直线ymx+n经过B，C两点（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的RtPEQ，且满足tanEQPtanOCA若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由点A的坐标知，OA2，OC2OA4，故点C的坐标为（0，4），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表

49、达式为yx2+x+4；将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故直线BC的表达式为yx+4；（2）点A、B关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，理由：由函数的对称性知，AFBF，则AF+FCBF+FCBC为最小，当x1时，yx+43，故点F（1，3），由点B、C的坐标知，OBOC4，则BCBO4，即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；（3）存在，理由：设点P的坐标为（m，m2+m+4）、点Q的坐标为（t，t+4），当点Q在点P的左侧时，如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，由题意得：PEQ90，PEN

50、+QEM90，EQM+QEM90，PENEQM，QMEENP90，QMEENP，tanEPQtanOCA，则PNm2+m+4，ME1t，ENm1，QMt+4，解得m（舍去负值），当m时，m2+m+4，故点P的坐标为当点Q在点P的右侧时，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，则MQt1，MEt4，NEm2+m+4、PNm1，同理可得：QMEENP，tanPQE2，即，解得m（舍去负值），故m，故点P的坐标为，故点P的坐标为或3（宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE（1）求抛

51、物线的表达式；（2）判断BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作C，在C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线的顶点坐标为E（2，8），设该抛物线的表达式为ya（x2）2+8，与y轴交于点C（0，6），把点C（0，6）代入得：a，该抛物线的表达式为yx2+2x+6；（2）BCE是直角三角形理由如下：抛物线与x轴分别交于A、B两点，令y0，则（x2）2+80，解得：x12，x26，A（2，0），B（6，0），BC262+6272，CE2（86）2+228，BE2（62）2+8280，BE2BC2+CE2，BCE90，

52、BCE是直角三角形；（3）C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为理由如下：如图，在CE上截取CF（即CF等于半径的一半），连结BF交C于点P，连结EP，则BF的长即为所求理由如下：连结CP，CP为半径，又FCPPCE，FCPPCE，即FPEP，BFBP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值CFCE，E（2，8），由比例性质，易得F，BF4（通辽）如图，抛物线yax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及PBC的周长；（3）

53、若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线yax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（1，0）两点，解得：，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）在yx2+2x+3中，令x0，得y3，C（0，3），PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，当PB+PC最小时，PBC的周长最小如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点APBP，PBC周长的最小值是：PB+PC+BCAC+BCA（3，0），B（1，0），C（0，3），AC3，BCPB

54、C周长的最小值是：3+抛物线对称轴为直线x1，设直线AC的解析式为ykx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，直线AC的解析式为yx+3，P（1，2）；（3）存在设P（1，t），A（3，0），C（0，3），则AC232+3218，AP2（13）2+t2t2+4，PC212+（t3）2t26t+10，四边形ACPQ是菱形，分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，当以AP为对角线时，则CPCA，如图2，t26t+1018，解得：t3，P1（1，3），P2（1，3+），Q1（4，），Q2（4，），以AC为对角线时，则PCAP，如图3，t26t+10t2+4，解得：

55、t1，P3（1，1），Q3（2，2），当以CP为对角线时，则APAC，如图4，t2+418，解得：t，P4（1，），Q4（2，3+），P5（1，），Q5（2，3），综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（2，3+），Q5（2，3）5（大庆）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线yax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y2的距离总相等证明上述结论并求出点F的坐标；过点F的直线l与抛物线yax2+bx+c交于

56、M，N两点证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标解：（1）顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），B（2，1），A（4，0），将点O、点A、点B代入抛物线yax2+bx+c，得到，解得，yx2x；（2）设F（2，m），G（x，x2x），G到定点F的距离与点G到直线y2的距离相等，（x2）2+，整理得，m（mx2+2x）0，距离总相等，m0，F（2，0）；设过点F的直线解析式为ykx2k，M（xM，yM），N（xN，yN），联立，整理得x2（4+4k）x+8k0，xM

57、+xN4+4k，xMxN8k，yM+yN4k2，yMyN4k2，M到F点与M点到y2的距离相等，N到F点与N点到y2的距离相等，+1，+1是定值；（3）作B点关于y轴的对称点B，作C点关于x轴的对称点A，连接AB交x轴、y轴分别于点P、Q，BQBQ，CPCP，四边形PQBC周长BQ+PQ+PC+BCBQ+PQ+CP+CBCB+CB，点C（3，m）是该抛物线上的一点C（3，），B（2，1），B（2，1），C（3，），直线BC的解析为yx，Q（0，），P（，0）6（东营）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线yx+2过B、C两点，连接AC（1）求抛物线的解析式；（2

58、）求证：AOCACB；（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值解：（1）直线yx+2过B、C两点，当x0时，代入yx+2，得y2，即C（0，2），当y0时，代入yx+2，得x4，即B（4，0），把B（4，0），C（0，2）分别代入yx2+bx+c，得，解得，抛物线的解析式为yx2+x+2；（2）抛物线yx2+x+2与x轴交于点A，x2+x+20，解得x11，x24，点A的坐标为（1，0），AO1，AB5，在RtAOC中，AO1，OC2，AC，又OACCA

59、B，AOCACB；（3）设点D的坐标为（x，x2+x+2），则点E的坐标为（x，x+2），DEx2+x+2（x+2）x2+x+2+x2x2+2x，0，当x2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，3），C（0，2），M（3，2），点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，连接CM交直线DE于点F，则DFC90，点F的坐标为（2，2），CD，PD+PMPC+PDCD，PD+PM的最小值为7（荆门）如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点Q为线段BC上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|

60、的最小值；（3）过点Q作PQAC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记PAQ与PBQ面积分别为S1，S2，设SS1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值解：（1）抛物线交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，设ya（x+1）（x3），将C（0，3）代入，得：3a3，解得：a1，y（x+1）（x3）x22x3，抛物线的解析式为yx22x3；（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O，连接AO，QO，CO，BO，OBOC3，BOC90，BCO45，O、O关于直线BC对称，BC垂直平分OO，OO垂直平分BC，四边形BOCO是正方形，O（3，3），在RtABO中，|AO|5，|QA|+