2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定同步优生辅导训练【含答案】

1、2021年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定同步优生辅导训练1若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A矩形 B菱形C对角线互相垂直的四边形 D对角线相等的四边形2在ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DEAC，DFAB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A若ADBC，则四边形AEDF是矩形B若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C若BDCD，则四边形AEDF是菱形D若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形3已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）AABBACCACBDD

2、ABBC4四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）AABCDBACBDCABBCDACBD5如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）ABCD6如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）AABDCBACBDCACBDDABDC7如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DEAD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）AABBEBBEDCCADB90DCEDE8如图，在平行四边形A

3、BCD中，M、N是BD上两点，BMDN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）AOMACBMBMOCBDACDAMBCND9如图，在矩形ABCD中，AD6，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为E，DE3BE求AE的长（）AB3CD10如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC12，BD16，则OE的长为（）A8B9C10D1211如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EFAC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且AOG30，则下列结论正确的个数为（）（1）DC3OG；（2）OGBC；（3）OGE

4、是等边三角形；（4）SAOES矩形ABCDA1个B2个C3个D4个12如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）AABC90BACBDCADABDBADADC13如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点若AB5，AD12，则四边形ABOM的周长为 14在矩形ABCD中，AB5，AD12，P是AD上的动点，PEAC于点E，PFBD于点F，则PE+PF 15如图，在RtABC中，BAC90，且BA3，AC4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DMAB于点M，DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 16

5、定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA3，OC4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为： 17如图，将ABCD的边AB延长至点E，使ABBE，连接DE，EC，DE交BC于点O（1）求证：ABDBEC；（2）连接BD，若BOD2A，求证：四边形BECD是矩形18如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OEOF；（2）若CE8，CF6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位

6、置时，四边形AECF是矩形？并说明理由19如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BEAC，CEDB求证：四边形OBEC是矩形20如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EGAE，连接CG（1）求证：ABECDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由21如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF（1）求证：BDEFAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形22已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分BCD，

7、CF平分GCD，EFBC交CD于点O（1）求证：OEOF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形23如图，在ABCD中，DEAB，BFCD，垂足分别为E，F（1）求证：ADECBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形24已知：如图，在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E求证：四边形ADCE为矩形；答案1解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EHFGB

8、D，EFACHG；四边形EFGH是矩形，即EFFG，ACBD，故选：C2解：若ADBC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BDCD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D3解：A、AB，A+B180，所以AB90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、AC不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、ACBD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、ABBC，所以B90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B4

9、解：需要添加的条件是ACBD；理由如下：四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，四边形ABCD是平行四边形，ACBD，四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B5解：设RtABC的斜边BC上的高为h在ABC中，AB3，AC4，BC5，h，AB2+AC2BC2，即BAC90又PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EFAPM是EF的中点，AMEFAP因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，AM的最小值是故选：D6解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EFACHG，EHBDFG，所以四边形EFGH是平行四边

10、形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故当ACBD时，EFGEHG90度四边形EFGH为矩形故选：C7解：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ADBC，又ADDE，DEBC，且DEBC，四边形BCED为平行四边形，A、ABBE，DEAD，BDAE，DBCE为矩形，故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；C、ADB90，EDB90，DBCE为矩形，故本选项错误；D、CEDE，CED90，DBCE为矩形，故本选项错误故选：B8证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD对角线BD上的两点M、N满足BMDN，

11、OBBMODDN，即OMON，四边形AMCN是平行四边形，OMAC，MNAC，四边形AMCN是矩形故选：A9解：DE3BE，BD4BE，四边形ABCD是矩形，BODOBD2BE，BEEO，又AEBO，ABAO，ABAOBO，ABO是等边三角形，ABO60，ADB30，又AEBD，AEAD3，故选：B10解：DEAC，CEBD，四边形OCED为平行四边形，四边形ABCD是菱形，AC12，BD16，ACBD，OAOCAC6，OBODBD8，DOC90，CD10，平行四边形OCED为矩形，OECD10，故选：C11解：EFAC，点G是AE中点，OGAGGEAE，AOG30，OAGAOG30，GOE9

12、0AOG903060，OGE是等边三角形，故（3）正确；设AE2a，则OEOGa，由勾股定理得，AOa，O为AC中点，AC2AO2a，BCAC2aa，在RtABC中，由勾股定理得，AB3a，四边形ABCD是矩形，CDAB3a，DC3OG，故（1）正确；OGa，BCa，OGBC，故（2）错误；SAOEaaa2，SABCD3aa3a2，SAOESABCD，故（4）正确；综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个故选：C12解：A根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合

13、题意；C不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D平行四边形ABCD中，ABCD，BAD+ADC180，又BADADC，BADADC90，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意故选：C13解：O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，OMCDAB2.5，AB5，AD12，AC13，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，BOAC6.5，四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM5+6+6.5+2.520，故2014解：连接PO，过D作DMAC于M，四边形ABCD是矩形，ADC90，ABCD5，AD12，OAOC，OBOD，AC

14、BD，OAOD，由勾股定理得：AC13，OAOD6.5，SADC12513DM，DM，SAODSAPO+SDPO，AOPE+ODPFAODM，PE+PFDM，故15解：BAC90，且BA3，AC4，BC5，DMAB，DNAC，DMADNABAC90，四边形DMAN是矩形，MNAD，当ADBC时，AD的值最小，此时，ABC的面积ABACBCAD，AD，MN的最小值为；故16解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，CPM90或CMP90，设P（3，a），则APa，BP4a；若CPM90，在RtBCP中，由勾股定理得：CP2BP2+BC2（4a）2+9，在RtMPA中，由勾股定理得：MP2MA2

15、+AP21+a2，在RtMPC中，由勾股定理得：CM2MP2+CP21+a2+（4a）2+92a28a+26，又CM2OM2+OC24+1620，2a28a+2620，（a3）（a1）0，解得：a3或a1，P（3，3）或（3，1）；若CMP90，在RtBCP中，由勾股定理得：CP2BP2+BC2（4a）2+9，在RtMPA中，由勾股定理得：MP2MA2+AP21+a2，CM2OM2+OC220，在RtMCP中，由勾股定理得：CM2+MP2CP2，20+1+a2（4a）2+9，解得：aP（3，）综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）故P17证明：（1）在平行四边形ABCD中，ADBC，ABCD

16、，ABCD，则BECD又ABBE，BEDC，四边形BECD为平行四边形，BDEC在ABD与BEC中，ABDBEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则ODOE，OCOB四边形ABCD为平行四边形，ABCD，即AOCD又BOD2A，BODOCD+ODC，OCDODC，OCOD，OC+OBOD+OE，即BCED，平行四边形BECD为矩形18：（1）证明：MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F，25，46，MNBC，15，36，12，34，EOCO，FOCO，OEOF；（2）解：25，46，2+45+690，CE8，CF6，EF10，OCEF5；（3）答：当点O

17、在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形证明：当O为AC的中点时，AOCO，EOFO，四边形AECF是平行四边形，ECF90，平行四边形AECF是矩形19证明：BEAC，CEDB，四边形OBEC是平行四边形，又四边形ABCD是菱形，ACBD，AOB90，平行四边形OBEC是矩形20（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，OBOD，OAOC，ABECDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BEOB，DFOD，BEDF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）解：当AC2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：AC2OA，AC2AB，ABOA，E是OB的中点，A

18、GOB，OEG90，同理：CFOD，AGCF，EGCF，由（1）得：ABECDF，AECF，EGAE，EGCF，四边形EGCF是平行四边形，OEG90，四边形EGCF是矩形21证明：（1）AFBC，AFEDBE，E是线段AD的中点，AEDE，AEFDEB，BDEFAE（AAS）；（2）BDEFAE，AFBD，D是线段BC的中点，BDCD，AFCD，AFCD，四边形ADCF是平行四边形，ABAC，ADBC，ADC90，四边形ADCF为矩形22证明：（1）CE平分BCD、CF平分GCD，BCEDCE，DCFGCF，EFBC，BCEFEC，EFCGCF，DCEFEC，EFCDCF，OEOC，OFOC，OEOF；（2）点O为CD的中点，ODOC，又OEOF，四边形DECF是平行四边形，CE平分B