前三章第一章基本概念

1、第一章 基本概念数理统计是研究怎样用有效的方法去收集和使用带有随机性影响的数据的学科。随机性数据：（1）所研究的对象数量较大时，只能挑选一部分进行研究，挑选就具有随机性；（2）试验和观察不可避免地具有随机性误差。有效地收集:（1）在数学上可以方便地处理的模型来描述所得数据；（2）所收集的数据尽可能多地包含所研究问题有关的信息。相关学科分支有抽样理论和试验设计。结束 11.1 数理统计简介有效地使用:用有效的方法去集中和提取试验数据中的有关信息，对所研究的信息得出尽可能精确和可靠的推断。数理统计应用极其广泛。质量控制和检验，新产品评价，灾害预报，自动控制，社会现象分析决策支持。结束 2数理统计的

2、发展。1.2 总体，样本与统计量研究对象的全体称为总体；组成总体的每个单元称为个体，从总体中抽出n个个体，组成总体的一个样本，n称为样本容量。例1 灯泡寿命问题 寿命1000h的为次品灯泡使用寿命X取值的全体为总体，即X为总体,它的分布为:抽取n个个体作试验可得一组数值: ,是随机变量 的一个观察值.需要设计抽取样本的方法,来保证样本的随机性,要求抽样方法满足以下两点:结束 3独立性: X1,X2,Xn 为相互独立的随机变量.代表性: 每个Xi (i=1,2, ,n)与总体X 同分布.满足以上要求的样本为简单样本.以后提到的样本都是简单样本.在有限总体中抽样时,有放回的随机抽样得到简单样本;无

3、放回抽样在总体个数很多时也可看成简单样本.样本的分布 样本X1,X2,Xn 可看成多元随机变量,它的联合分布为若总体X是连续型随机变量,它的密度函数为 f(x),有:结束 4例2 XB(1, p )样本X1,X2,Xn 的联合分布为例3 XE()样本X1,X2,Xn 的联合分布为若总体X是离散型随机变量,可认为它的密度函数为:结束 5统计量: G(X1,X2,Xn )为X1,X2,Xn 的连续函数,且不含有求知参数. 则G为统计量.常用统计量.(1)样本均值:(2)样本方差:(3)样本k阶原点矩:(4)样本k阶中心矩:(5)样本标准差:结束 6样本均值有如下性质:证明:结束 7(3) 由大数定

4、理可证.样本方差的性质:结束 8例4 XU(0, ),求结束 91.3 顺序统计量,经验分布函数和直方图一 顺序统计量定义1.3.1 设X1,X2,Xn 为总体的样本, x1,x2,xn 为样本观察值,将x1,x2,xn 从小到大排序: 为X1,X2,Xn 的顺序统计量.称为样本中位数.X(1)称为最小统计量, X(n)称为最大统计量,Rn= X(n)- X(1)为极差,结束 10F(1)(x) , F(n)(x) 称为X(1) ,X(n)的分布函数: 当X连续时, f(1)(x) , f(n)(x) 称为X(1) ,X(n)的密度函数: 结束 11例1 XU(0, ),求X(1) ,X(n)

5、的密度函数f(1)(x) , f(n)(x)结束 12二 经验分布函数当样本容量较大时经验分布函数可作为总体分布函数的近似.定义1.3.2 样本值x1,x2,xn 从小到大排序x(1),x(2),xn) 称为总体X的经验分布函数.它满足:图1.3.2 是例1.3.2 的经验分布函数 F76(x) 与正态总体分布函数F(x)很接近.结束 13三 直方图直方图用来近似描述连续型总体的密度函数.步骤:求出x1,x2,xn 的极差从小到大排序R= x(n)-x(1),(2) 确定组距: a x(n),a,b分为m个小区间ti,ti+1),i=1,2, ,m. m1.87(n-1)0.4,h=(b-a)

6、/m, ti+1= ti+h, t1=a;计算频率: 计算落入各小区间ti,ti+1)样本数i,称为频数, fi/n称为频率.(4) 在XOY平面上,以X轴上ti,ti+1)为底,以fi/h 为高作第i个矩形,合起来就完成了直方图.由于所有矩形的面积之和为1,沿直方图边缘的曲线就是总体密度函数的近似曲线.(4) 例1.3.2 结束 141.4 抽样分布统计量的分布称为抽样分布,本节讨论正态总体的常用抽样分布一.几个重要分布1. 2 分布X1,X2,Xn 为n个独立且都服从标准正态分布的随机变量.称为2服从具有n个自由度的卡方分布.它的密度函数为:结束 152分布具有如下性质:(1)2 2(n)

7、, 则有 E2=n, D2=2n;(2)X 2(n1), Y 2(n1) 则有 X+Y 2(n1 +n1)结束 162. t 分布XN(0,1),Y 2(n),X,Y相互独立称为T 服从具有n个自由度的 t 分布.它的密度函数为:t 分布密度函数为偶函数, t 分布具有如下性质:(1) n1时,ET=0(2) n2时,(3) n=1时,称柯西分布,密度函数为:即当n相当大时, t 分布近似于标准正态分布N(0,1).结束 17例1 X1,X2, X3,X4 独立同分布于N(0,22)求a,b,使Y1服从2分布,求c使Y2服从t分布,并求其自由度.结束 182. F分布X 2(m),Y 2(n)

8、,X,Y相互独立称为F服从参数为m,n的F 分布. m,n称为第一自由度和第二自度,它的密度函数为:F分布具有如下性质:结束 19二. 分位数以往常进行的是已知x求概率P(Xx)=F(x),反过来,已知概率 P(Xx), 求x的值,称为求分位数,实际上是求F(x)的反函数.称vp为 f (x)的p分位数.常用的分位数有标准正态分布分位数, 2分位数,t分位数,F分位数,分别记为:它们具有如下性质:结束 20 证(3) 当n相当大时, t 分布近似于标准正态分布N(0,1),可得. 证(4) (5)由F分布的性质易证. 这些分位数都可以查表得到.(见附表14). 例2:查表,结合线性插值.结束 21 三.抽