2019-2020年高三数学-基本不等式复习

1、2019-2020年高三数学 基本不等式复习【2015年高考会这样考】1考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题2考查应用基本不等式解决实际问题【复习指导】1突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练2训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养基础梳理1基本不等式：- (1)基本不等式成立的条件：-(2)等号成立的条件：当且仅当-时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同号)；(3)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，bR)；(4)eq f(a2b2,2)eq blc(r

2、c)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为eq f(ab,2)，几何平均数为eq r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2eq r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是eq f(p2,4).(简记：和定积最大) 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是abeq f(a2b2,2)；eq

3、f(ab,2)eq r(ab)(a，b0)逆用就是abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等 两个变形(1)eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) eq r(f(a2b2,2)eq f(ab,2)eq r(ab)eq f(2,f(1,a)f(1,b)(a0，b0，当且仅当ab时取等号)这两个不等式链用处很大，注意掌握它们 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等

4、式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致双基自测1函数yxeq f(1,x)(x0)的值域为()A(，22，) B(0，)C2，) D(2，)2下列不等式：a212a；eq f(ab,r(ab)2；x2eq f(1,x21)1，其中正确的个数是()A0 B1 C2 D33若a0，b0，且a2b20，则ab的最大值为()A.eq f(1,2) B1 C2 D44若函数f(x)xeq f(1,x2)(x2)在xa处取最小值，则

5、a()A1eq r(2) B1eq r(3) C3 D45已知t0，则函数yeq f(t24t1,t)的最小值为_考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2xy1，则eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值为_；(2)当x0时，则f(x)eq f(2x,x21)的最大值为_ 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为：拆、凑、代换、平方【训练1】 (1)已知x1，则f(x)xeq f(1,x1)的最小值为_(2)已知0 xeq f(2,5)，则y2x5x2的最大值为_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，则xy的最小值为_

6、考向二利用基本不等式解决恒成立问题【例3】若对任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，则a的取值范围是_ 当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解【训练3】已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_考向三利用基本不等式解实际问题【例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长

7、度为多少时，总造价最低？审题视点 用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域0 x5；函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性 解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【训练3】东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元从今年起，工厂投入100万元科技成本并计划以后每年比上一年多投入100

8、万元科技成本预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)eq f(80,r(n1).若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？阅卷报告8忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成

9、立的条件同时相等.【示例】已知a0，b0，且ab1，求eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值错因两次基本不等式成立的条件不一致实录a0，b0，且ab1，abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2eq f(1,4).又eq f(1,a)eq f(2,b)2 eq r(f(2,ab)，而abeq f(1,4)，eq f(1,ab)4，eq f(1,a)eq f(2,b)2eq r(8)4eq r(2)，故eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值为4eq r(2).正解a0，b0，且ab1，eq f(1,a)eq f(2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(2,b)(ab)12eq f(b,a)eq f(2a,b)32 eq r(f(b,a)f(2a,b)32eq r(2).当且仅当eq blcrc (avs4alco1(ab1，,f(b,a)f(2a,b)，)即eq blcrc (avs4alco1(ar(2)1，,b2r(2)时，eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值为32eq r(2).【试一试】设ab0，则a2eq f(1,ab)eq f(1,aab)的最小值是()A1 B2 C3 D4尝试解答a2eq f(1