中考复习：“一线三等角”构相似经典题型分类训练

1、线三等角构相似经典题型分类训练（时间：90分钟满分:100分）班级 姓名 成绩类型一普通角（2分）如图,AB=5cm, AC=3,BD=2cm/ CAB=/ DBA=a ,点 P在线段 AB上,AP= 时,/CPD=a .（2分）如图，在 ABC中,AB=AC=10,BC=16,D边BC上一动点（不与点 B,C 重合），/ADE=/ B=a ,DE交AC于点E给出下列结论：图中有 2对相似三 角形；线段CE长的最大值为；当 AD=DC时,BD的长为39 .其中，正确的4结论是（）A.B.C.D.（8 分）如图，在 ABC中，AB=AC=& BC=6,点 D 为 BC上一点，BD=2.过 点D作

2、射线DE交AC于点E,使/ ADE=Z B.（1）求证：幽=DC ;（2）求线段EC的长度.AD DE4. （8分）如图，已知在 ABC中，AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点, 并作/ DEF=/ B,射线EF交线段AC于F.(1)求证： DB& ECF；翦1题图BD=2, E是BC上一动点，联结（2）当F是线段AC中点时，求线段 BE的长;DE,6. （8分）如图，在 ABC中，AC=BC点D是线段AB上一动点，/EDF绕点D旋转，在旋转过程中始终 保持/ A=/EDF，射线DE与边AC交于点M,射线DE与边BC交于点N,连接MN .（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；

3、（2）如图，在上述条件下，当点 段MN的距离为定值.D运动到AB的中点时，求证：在/ EDF绕点D旋转过程中，点 D到线7. （2分）如图，在RtABC中，已知/BAC=90:AB=AC=2点D在BC上运动（不能到达点B, C）,过D作类型二45或60角（2分）如图，等边三角形 ABC中，D、E分别在 BC AB上，且/ ADE=60 ,CD=2cm,BE=6 cm,则AB=5（2分）如图，4ABC是等边三角形，点D在边BC上（点D不与点B、C重合），连结AD,以AD为边作/ ADE= / ABQDE交边AC于点E若AB=2,则EC的最大值是 .八一 ，y。八，2，一（6分）已知:如图，4AB

4、C是等边三角形，点D、E分别在边 BC AC上,/ADE=60 .AB=3,ECe ,求DC的长3（6分）如图,在四边形 ABCD中,AD/ BC,/B=/C=60 ,AB=3,BC=7,P为BC边上的一点（不与 B C重合）过点P作/ APE=60 ,PE交CD于点E.若CE=3求PE的长.类型三90角12. （2分）矩形ABCD中，点E, F分别在AD、CD上，且BEX FE,则图中的三角形，一定相似 的是（）A.和 B.和C.和 D.和第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图13. （2分）如图，已知一次函数y=-（x+1的图象与两坐标轴分别交于A、B,点C在x轴上,AC=4第

5、一象限内有 TOC o 1-5 h z 一个点P,且PCXx轴于点C若以点P、A、C为顶点的三角形与 OAB相似，则点P的坐标为（）A. （4,8）B. （4,8）或（4,2）C. （6,8） D. （6,8）或（6,2）（2分）如图,在正方形 ABCD中,E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD. U图中相似三角形的对数是（）14A. 5（2分）如图,在梯形 ABCD中,AD/BC,/ A=90 ,AB=7,AD=2,BC=3点P在线段 AB上，当AP为多少时, PAD 与 PBC相似（）EC(10分)如图,在四边形 ABCD中,/ABC=/ BCD=90，点E为BC的中点,AE DE

6、.(1)求证：AB ECD;(2)求证：AE2=ABAD;(3)若 AB=1, CD=4,求线段 AD, DE 的长.(10分)如图，在矩形 ABCD中,E为AD的中点，EFL EC交AB于F连接FC (AB AE).(1)求证： AEF DCE AEF与 EFC是否相似若相似，证明你白结论；若不相似，请说明理由；(3)设_AB=k，若aed BCF,则k= (请直接写出结果).BC(10分)四边形 ABCD中，点E在边AB上，连结 DE, CE.(1)若/ A=/B=/DEC=50 ,找出图中的相似三角形，并说明理由；(2)若四边形 ABCD为矩形，AB=5, BC=2,且图中的三个三角形都

7、相似，求 AE的长.(3)若/ A=ZB=90 , ADV BC,图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由.E参考答案(1) AB=AC, . B=Z C, ADOA ABD 的一个外角，Z ACD=Z B+Z BAD=Z ADE+Z EDC, 又/ B=Z ADE, ./ BAD=Z EDQAB DCABDA DCE, = _ ;AD DEAB RD/A ABDA DCE,.=，CD CEo n - BC=6, BD=2,CD=4, .,解得 EC=1.4 CE(1) AB=AC=Q . B=Z C,. Z BDE=180 -Z B-ZBED, Z CEF=180 -ZD

8、EF-Z BED,. Z DEF=ZB, BDE=/CER /.A DBEA ECFBD BE(2) DBBECR . .=,CE CF1.F 是线段 AC 中点，. CF=- AC=32,BE=2或 3;5 BE 35.(1) v AB=AC, . B=Z C,又/ ADE=Z B,.1. Z ADE=Z C,Z DAE=Z CAD, ADBA ACD;AD AE 2=,AT=AE- AC.AC AD/AB=AC, Z B=ZC,/ ADC=Z BAD+Z B, Z ADC=Z ADE+Z EDCADE=Z B/. Z BAD=Z EDQ又. / B=Z C/.A ABDA DCEAB BD

9、 =ABEC=BDCD.CD EC(1) ADMA BND,理由如下：AC=BQ .-/ A=Z B, Z A+Z AMD= Z EDF+Z BDN, Z A=Z EDF.Z AMD=Z BDN, .A ADMA BND;(2)证明：作 DGXMN于G, DHXAM于H,如图,由(1)得， ADMA BND,ADMA DNM,./AMD=/NMD,又 DG MN, DHL AM,.DG=DH,即在/ EDF绕点D旋转过程中，点 D到线段MN的距离为定值.21.-2AB=AC,. ,ABC 是等边三角形，/ B=Z C=60 , / B+Z BAD=Z ADE+Z CDE, / B=Z ADE=

10、60BD CE/ BAD=Z CDEJ ABA DCE,=一AB DC设 CD=x5U BD=3-x,/. 3-x = ,.-. x=1x=2, DC=1 DC=2.3 3x11./Z APE+/ EPC4 BAP+Z B,Z APE之 B,. / BAP=Z EPC一BP AB而/ C=/B,/APBs PEC； .=,EC PCx 4设 BP=x,则 PC=7-x, .=，解得：xi=3, x2=4,3 7 x当BP=4时， CEP为等边三角形， PE=CP=3当 BP=3 时，PE=Vt3 ,PE的长度为3或W3 .八216. 6 或一 3易证： ABEs DEA,则 AE2=BE AD

11、.设 BE=x，则 EC=3x,AD=4x,解得 x=2，可得 AB=2 J3，面积为 16 73 .(1)证明：- AE DE,/ AED=90 , ./AEB+/ CED=180 -90 =90 , / ABC=90 ,/ BAE+Z AEB=90 , . / BAE=Z CED,又./ ABC=/BCD, .ABEs ECD;(1) . EF，EG/ FEC=90 ,即/ AEF+/ DEC=90 , / AEF+Z AFE=90 , . / DEC=Z AFE,. /A=/D=90 , .AEF DCE;AEDAECF证明如下：延长FE与CD的延长线交于G,. E 为 AD 的中点，A

12、E=DE / AEF=/ GED, RtAAEF RtA DEG. . . EF=EG,. CE=CE / FEC=/ CEG=90 ,EF黄 RtA EGC/ AFE=Z EGC=Z EFC又. / A=/FEC=90 ,RtAAEF RtA ECFEBAFE=Z FCB一3点拨:要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：当/2时，那么/ AFE就和/ BFC互余，因此/ EFC就是直角，而/ FEC也是直角因此这种情况是不成立的.当/ AEF=/FCB时，AE: BC=AE BF,那么由于 E是AD中点，因此BC=2AE所以我们可得出 BF=2AF,即AB=3AF,

13、 又根据(1)中AF=GD, AB=CD,我们可在 CEG中根据 EGD和 EDC相似，得出关于 GD、ED DC的比 例关系，也就是 AF、AB、AE的比例关系，有了 AB=3AF,就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了 BC 与AF的比例关系，以 AF为中间值即可得出 AB与BC的比例关系，也就求出了 k的值.(1) DA& EBG理由是：.一/ A=/DEC=50 ,./ADE+/DEA=180 -Z A=130 , / DEA+/CEB=180 -/DEC=130 ,，ADE=Z CEB,./A=/B, .DAEBQ设 AE=x,贝U BE=5-x,.DA EBC, /ADEv 90 , / EC8 90 ,，DEC=90 ,解得：x=1或4,即AE=1或4;(3) AE=BE或 BE=2AE理由是：当/ A=/B=/ DEC=90 时，/ DCg /CEB,可彳导/ DCE=Z BCE, 所以 DEC DA EBQ当/ DEO 90时， ADEA BCE / DEA=Z CER5. （8分）如图，在 ABC中，AB=AQ点D在线段BC上运动（点