电子科大量子力学期末试题

1、一、填空题1、德布洛意假说为 微观粒子具有波粒二象性 ，其关系式为和E=h 和 p= h k微观粒子体系的状态用坐标和时间的函数(r,t) 描述，则体系在空间某点 r 处一小体积元 d 内出现的几率为2、22；d ，几率密度为 x E x 或设一维谐振子的归一化波函数为 (x) ,则其定态鄂方程为为 kx2 d2213、n2m dx22nn nx E x 。该波函数对应的能级为E x n n=0,1, 2,. ，其中基态2 d22 21m12m dx22nn nn2 ，称为零点能效应，该效应是一种量子效应，是由微观粒子的 波粒二象性 引起的；能量为E 102算符，它们的本征函数 组成完备系n

2、r ，体系所处的任意波函数4、量子力学中表示力学量的算符都是r 都可以表示为本征函数的线性组合 ，此时，所测力学量 F 所得的数值必定是算符 F 的 本征值 之一，测得 F= n2；的几率为 cn 5、能量算符 E i t 与时间算符 t 的对易子E, t i ,则 E 和 t 不对易 ，相应的 E 和 t 不能同时精确测定 ，其测关系为E t 。26、隧道效应指： 微观粒子可以穿过比它能量高的势垒；已知角动量平方算符 L2 对应的本征波函数为Y , ，则 L2 =202 ，m= 0, 1, 2, 3, 4 , L2 的7、4 m简并度为 9 ；8、全同粒子是指质量、电荷、自旋等固有金属性完全

3、相同的粒子。其中，服从-统计分布的粒子叫做费米子，具有半整数自旋，其体系的波函数是交换称的；服从玻色-统计分布的粒子叫做玻色子，具有 整数 自旋，其体系的波函数是交换对称的；二、简答题1、如何理解状态叠加原理？答：若波函数2 是体系的一个可能状态， 2 是另一个可能状态，则其线性叠加 c11 c22 也是同样条件下体系的一个可能状态，其中c1 、 c2 是任意复常数。（ 2 ）推广到一般情况，可以把几个波函数表示为多个状态波函数的线性叠加，即 n c11 c22 . cni1 （3）该原理是微观粒子具有波动性的又一种表现2、何为算符？简述其本征值和本征函数的重要特征。 答：对于任意两个函数 和

4、 算符F 满足, F F, 或 F d (F ) d 则称算符F 为厄密算符。（2）算符的本征值是实数。（3）算符的本征函数具有正交归一性，即不同的两本征函数的两个标识为 0，相同的两个本征函数的标和为 1。（4）算符本证函数具有完备性；即体系任意一个波函数都可以表示为本征函数的线性组合。三、计算题2 sin x 12x 2 sin 5x 是一维无限深势阱中粒子的一个可能态，求1、波函数x 1sin2a22a其能量 的可能值及其对应的几率和能量的平均值。x 解：（1）由题意一知一维无限深势阱的本征波函数和对应的本征能量为：2 sin nx ， E n2 22 ，其中naan2ma 2n=1,2

5、,.（2）证明，是2 sin x 、2 sin 3x 和2 sin 5 x 的线性组合，因而其能量没有确1x1x 3x 5x aaaaaa定的值，只能是 E1、E3、E5 的可能值。 2 22（3）由于 1 。即 x 也是归一化波函数证明11222对应的系数的绝对值的1x3x5x 22 c2 c2，即能量取 E E5 的几率分别为 1 1 15 的几率 c平方分别是能量取E E EE1、 3、1、 3、1354 4 2222E （4）能量的平均值=E E cc1cE2 22 2 22 2 22 42ma 242ma 222ma 2= 15 22 2ma2e22er a ，求半径r、势能 es

6、、动能的平均值及最可几半径(其中a 为常数， e 12、氢原子处于基态 ，s4ra30n!0 x edx )。an1n ax 解：（1）由平均值 F Fd 得 ： 2 r 0 0 r r sindrdd0 2 2 0 0 er / a r er /ar2 sindrdd=1 a31 a302（2） redrsind d2r3 1 a30 a002r r3e a dr 4a3= 4 3! a342-a 3 a2 2-V = 0 0e r r / aer sin drddr / a 21 a1 a0332=redrsin d d2r2 e 4 20a3a000 2r3 （3） = 2re a dre0a0= e21 0a322a2 ese240aa a=h / e12e4e2T E1 V 22ss2h2 12as（4）e4e2e2=- s += 1 ssa2 a2ae