动点运动轨迹是直线的最值应用举例

1、动点运动轨迹是直线的最值问题应用举例(一)解题方法：(1)利用点到直线的距离即垂线段最短求最值；(2)利用三点共线即三角形三边关系求最值一、利用点到直线的距离即垂线段最短求最值例1、(2019秋武昌区期中)如图，RtAABC中5 .3CB的反向延长线上有一动点。，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE, CE最短为,解：在AC的右侧作等边MC兄连接兄则 3,ZCAF=ZAFC60,.ADE 是等边三角形，.AD=AE,/DAE=60=NCAy,ZCAD=NFAE,rAD=AB在加必。和EAH 中，/CAD=/FAE,qAC丝EAF (SAS),.NACD=NAFE.ZACB=90,ZACD=90

2、,ZAFE=90,ZCFE=9O-60=30,当CEEF时，CE有最小值，CE的最小值宵=土例2、如图,ABC是等边三角形，且AB=1，点M为直线BC上的一个动点，连结AM，将线段AM绕A点顺时针旋转60至 AD，点N为线段AC上的一个动点，则D、N两点间距离的最小值为.解：VA.45C是等边三角形,ZDBA=,V ZMAD- ZC60,:.ADAB= AMAC.DB/AC,二点Z?的运劫轨迹是直DB (DB/AC) f-CL4 ? Ha. = d t根据乖线段最短可知。v的最小值为#例3、（2019宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4, E为BC上一点，且BE=1, F为AB边上的一个动点，

3、连接时，以EF为边向右侧作等边EFC,连接CG,则CG的最小值为解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将 EFB绕点E旋转60 使EF与EG重合，得到ZBFB丝MHG 从而可知EBH为等边三角形， 点G在垂直于HE的直线HN上，作CMLHN，则CM即为CG的最小值，作EPCM，可知四边形 HEPM为矩形，则EC=1+3=|-，故答案尹例4、（2019秋诸暨市期末）如图，菱形ABCD的边长为4，ZB=120，E是BC的中点，F是对角线 AC上的动点，连结EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30，G为点E对应点，连结CG，则CG 的最小值为 F.解：

4、如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CHYJK于H.四边形 ABCD 是菱形，：/FCE=/FCK，CE=CK，AB/CD，；.ZDCB+ZB=180，.ZB=120，.ZDCB=60，.BE=EC，CK=KD，CK=CE，4ECK是等边三角形，VCF=CF，ZFCK=ZFCE，CK=CE，*FCK尖4FCE （SAS），FK=FE， FG=FE，；.FE=FG=FK，；.ZEKG=*ZEFG=15，；ZCKE=60，；.ZCKJ=45，.点G在直线KJ上运动，根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，CG的值最小，在RtACKH中号CD=2，. CH=KH=/ 2，C

5、G的最小值为二、利用三点共线即三角形三边关系求最值例5、如图，RtAABC中矣B,点 M 为 BC 边上一动点，将线段 OM 绕点 O 按逆4时针方向旋转90至ON,连接AN、CN,则AN+CN的最小值为.A解：如图，作OHYBC于H, NJLOH于J.AB=AC,ZBAC=90，.NABC=45,VOHBC 于【AB，AB=8,.OB=2,.OH=BH=24VOM=ON,ZOHM=ZNJO=90,ZNOJ=ZOMH,AOHMANJO (AAS),JN=OH= 2.点N的运动轨迹是直线(该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离i作点C关于该直线的对称点。，连接AC交该直线于冲，连接CN

6、,此时AN+CN的值最小为AC,作 AGBC于G.在RtAAGC中，AC=.：皿 淀+ (? )，=4 “，而:.AN+CN的值最小为.Io.练习： 1、(2019秋东台市期中)如图，正方形48彼 中边长为6, E为BC上一点，且BE=1.5, F为AB边上 的一个动点，连接时，以EF为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为其.A。AD AD解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将AEFB绕点E旋转60 使EF与EG重合，得到AFB丝AEHG,从而可知AEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CMVHN，则CM即为CG的

7、最小值，作EPLCM,可知四边形HEPM 为矩形，则 CM=MP+CP=HE+1eC=2 任=臣.22 4 42、如图，长方形 ABCD中，AB=3, BC=4, E为BC上一点，且BE=2, F为AB 边上的一 个动点，连接EF将EF绕着点E顺时针旋转45到EG的位置，连接FG和CG则CG的 最小值为.解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将EFB绕点E旋转45，使EF与EG重合，得到EFBEHG,从而可知EBH为等腰直角三角形，点G在垂直于HE的直线HG上，作CMYHG，则CM即为CG的最小值，作EN1CM，可知四边形 HENM 为矩形，

8、则 CM=MN+CN=HE+L EC =1*23、（2019南平模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4, P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使ZDPG=ZDAC，且过D作DGPG，连接CG，则CG最小值为解：如图，作DHYAC于压连接HG延长HG交CD于F，作HEVCD于H.DGPG，DHAC，.NDGP=NDHA，.NDPG=NDAH，.ADHsApdg，；思=碧，ZADH=ZPDG，；,/ADP=ZHDG，；.ADPsDHG，；.ZDHG=ZDAP=定值，DP DG.点G在射线HF上运动，.当CGHE时，CG的值最小，.四边形ABCD是矩形，.NADC

9、=90，.NADH+/HDF=90。，:ZDAH+ZADH=90，；.ZHDF=ZDAH=ZDHF，；FD=FH， ZFCH+ZCDH=90，ZFHC+ZFHD=90，；,ZFHC=ZFCH，；,FH=FC=DF=1.5,在RtADC 中，.NADC=90。，AD=4, CP=3，.AC=+4见：?=CH= 澎-时遂，EH=业，.NCFG=NHFE，NCGF=ZHEF=90。，CF=HF，5CD 25 CGF竺HEF (AAS)，CG=HE= 至，；CG的最小值为旦225254、如图，菱形48CD的边长为8,NA=120, E是BC的中点，F是对角线BD上的一动点，连结EF, 将线段EF绕点F

10、按逆时针旋转30得到线段GF,连结BG，则BG的最小值为.解：如图取AB的中点H，连接FH，HG，EH，延长HG交BC于肱，作BMYHM于N.可得8友 是等边三角形，AFBEAFBH，AFH=FE，VFG=FE，AFE=FG=FH，AH G、E 在圆 F ZEFG=15，VZBHE=60AZBHN=45，A 点 G 在直线 HM 上运动，根据垂线段最短可知，当点G与N重合时，BG的值最小。在RtABHN中，,： ZBHN=45，ZBNH=90，BH=%BA=4，：BN=HN=4 2；BG 的最小值为 4 25、在平面直角坐标系中，已知点A (4, 0)，点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以

11、AB为一边向 下作等边MBC，连结0C，则U OC的最小值为.解析：如图，将MBO绕点A逆时针旋转60得AAACM，并延长MC交x轴于点N.则点C在直线MN 上运动，当OCLMN时，OC最小号AM=2，则OC的最小值为2.6、如图，平行四边形ABCD中，ZB=60，BC= 12, AB=10，点E在AD上，且AE=4，点F是AB 上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为.解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120得到EH,连接HG,过点H作HMAD,.四边形ABCD是平行四边形，./A+NB=180, .ZA = 120,.将线段AE绕点E逆时

12、针旋转120得到EH,将线段EF绕点E逆时针旋转120得到EG,EF=EG=4, AE=EH, ZAEH= ZFEG=120,.NDEH=60, ZAEF= ZHEG，且 EF=EG, AE=EH, :.AAEFAHEG (SAS)NA = ZEHG=120=ZAEH, .ADHG,.点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，.当DGLHG时，线段GD长度有最小值，.ZHEM=60, EH=4, HMY,EM=2, MH= *EM=2 3, 线段GD长度的最小值为 双7、如图，菱形ABCD的边长为4, ZA=60, E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60得到EG，

13、连接BG、CG,则BG+CG的最小值为()A. 3 . 2B. 2 7C. 4 3D. 2+2 3解析：如图，取AB的中点可.连接EN, EC, GN,作EH上CD交CD的延长线于H.四边形 ABCD 是菱形，.AD=BD, ,:AE=ED, AN=NB, ：.AE=AN,.ZA=60, AEN 是等边三角形，.ZAEN=ZFEG=60, ZAEF=ZNEG,:EA=EN, EF=EG, AEFANEG (SAS),ZENG=ZA=60, :/ANE=60,ZGNB=180 - 60 - 60=60, 点G的运动轨迹是射线NG,易知B, E关于射线NG对称，GB=GE, :.GB+GC=GE+

14、GCEC，在 RtDEH 中，: ZH=90, DE=2, ZEDH= 60,:.DH=*DE=1, EH= * 在 RtAECH 中，EC= 田护=2 7,:GB+GOGB+GC的最小值为3.故选：B.8、如图，在平行四边形ABCD中.2 M 是 AD边的中点，N 是 AB 边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN,连接N B, N C,则N B+N C的最小值解：如图，作MELAD交AB于,连接EN. AC. 作 CFAB于F.NMAE=45,3MAE是等腰直角三角形，MA=ME,VZAME=ZNMN=90o,AZAMN=ZEMN,VMN=MN,AMNAEMN,.NMAN=NMEN=45,./AEN=90,.ENAB，.AM=DM=忑 AB=4,.AE=2, EB=2,AE=EB,：N B=N A,N B+N C=N A+N C,当A、N、C共线时，N B+N C的值最小，最小值=AC,在 RtABCF 中 项 NCBF=NDAB=45，.CF=BF=2，在RtMCF中成十/=29