刚体力学解题指导

1、第三章 刚体力学解题指导（一）基本要求在刚体力学部分中对于刚体运动学的解题，应该首先学会确定刚体在空间的 位置.从数学上说，就是要找出描述刚体位置的参数随时间变化的数学方程式.作 为刚体的位置参数，即刚体自由度的确定就显得重要了.刚体的自由度，可以按照 刚体运动分类而很快确定.由于刚体可以被看作包含几个质点的质点组，所以利 用质点组质心运动定理和对于质心的动量矩定理，就可以写出刚体的运动微分方 程.m x = Fm y=F 解决移动问题m Z0 = F dJ= M dt xJ 二 M，|dt y解决转动问题dJ二M dt z这六个方程，对求解一般运动的刚体（六个自由度）足够了 .它表明：在外力

2、作用下 的刚体，它的质量中心就具有刚体所具有的质量，而且主矢就在质心上，因而对质 心的动量矩就可以看成对固定点之矩的形式.在解决有关刚体运动问题之前，应该先队刚体的转动惯量、刚体的动能、动 量矩的基本概念有一充分了解；同时，只有正确将刚体运动分类，然后再按各解法 去计算.这里，我们主要介绍刚体的定轴转动、平面平行运动及定点运动的解题方法.（二）基本方法前面介绍过刚体运动学需要了解的一些基本问题，实际上就是找出刚体自由 度数及建立能决定刚体所在坐标系中位置的方程式，然后再用数学知识去解方程. 但是对于不同的刚体运动，往往还有一些特殊而便捷的方法.用动力学微分方程I也=M来解决刚体定轴转动力学问题

3、是应用最多 z dt z的一个方程.它与牛顿第二定律F = ma形式相似，它既可以解决已知刚体转动 定律,求作用于刚体上的外力矩;也可以解决已知刚体受到的外力矩；还可以直 接积分求出刚体转动角随时间的变化规律来；即运动规律。有时还可以采用能量 方程112 + y = e与其联合使用，而求得定轴转动的一般问题.2 女在平面平行运动中，刚体转动瞬心的确定,对解决角速度和各点的速度会 带来很大的方便.要注意,刚体的平面平行运动可以看成刚体的平动和绕基点转 动运动的合成.由于刚体内各点的位移、速度、加速度是各不相同的，因而谈不上 什么刚体的位移、速度、加速度.应当把“刚体运动”与刚体内各点运动区别开

4、来.我们所说的“刚体”其实就是一个平行固定面的剖面.在运动学中，基点的选 取可以是任意的.但在动力学中，为了利用质心运动定律，相对质心的动量矩定理 通常是取质心为基点，从而写出平面平行运动的动力学方程.若对瞬心应用动量 矩定理写出它的动力学方程，必须是有条件的，有一点是必须注意到.这三个方程 是彼此独立的，在直角坐标系中表示为：mX=Z Fcxci=1i=1d wI=M dt zc 如果未知量数目多于独立的方程数，还应根据题设条件、运动学关系及约束条件、 增补方程.刚体平面平行运动力学题目往往有多种解法.所以可以看成是动力学 普遍定理的综合应用题.解题步骤最好参照以下形式进行：确定运动形式，选

5、定研究对象；对研究对象进行受力分析（主动力、约束力、力矩）选好坐标系，写出相应方程；解方程，并讨论之.若使用了动量矩定理，在这里尤其要注意到，动量矩定理对固定点，对质心都是成 立的,但对瞬心是有条件成立的.其充分必要条件是：质心和瞬心的距离r在刚体 运动过程中保持不变.例如，质心在几何中心的圆柱、圆筒、圆球等沿任意曲面的 运动.刚体绕固定点的转动是一个诱人而复杂的论题，它也许是经典力学的最高 点和最困难的部分.在这个论题中叵转器和陀螺是各种问题的原型，它的精巧而 有趣的行为常常使人难以理解。但是，一旦对其作全面的理解，就可以使我们体 会到这个理论的令人惊奇简洁而优美的特点。但在本书的定点运动的

6、讨论中，采 用的是向量法，并不直接用到那个到欧拉角及欧勒用学方程。因此我们在解定点 转动的有关运动学问题时，可以按照这样的步骤来进行：（1） 找瞬轴 在这瞬时，轴上各点速度为零，刚体在任一时刻都绕该时 刻瞬轴转动。在处理实际问题时，瞬轴的求法一般用下列两种方法找到：1。 刚体某瞬时总角速度为零；2.刚体上任两点速度为零的点的连线，即将固定点 与瞬心相连。（2）确定所求点的位置，这样刚体内各点的速度 TOC o 1-5 h z ijkv =切x r = ro 尤yz/为瞬时总角速度矢量，r为所求点到固定点的位矢，而加速度等于转动加速度 与向轴加速度矢量和，d /x rdt是由瞬轴指向所求点的位矢

7、。 R刚体绕定点转动的动力学特征量是角速度和角加速度，它们均是刚体上各点所共 有的。刚体总是处于单纯转动之中。但是由于瞬时加速度并不沿瞬轴方向、角速 度有随时间变化，因此转动轴既在刚体内又在基本空间内不断改变着位置，并 分别形成两个瞬时轴面（空间极面、本体极面）。还应特别指出的是，&应由刚 体的三个位置参数（欧勒角）及其导数表示，绝对不可简单地将它误认为某一角 度的导数。欧勒动力学方程/ - （/- I ）TO y =MI CD , -（I 一 I）TO =M I CD -（I - I）TO D = M和欧勒运动学方程 = sin 0 sin w +。cos W= sin 0 cos W - 0 sin w =w cos 0 + w这两组方程合并起来是六个非线性常微分方程。从理论上讲，解上面的方程就可 以求出0.W和,的时