2019-2020年高三5月高考模拟数学试题-含答案

1、2019-2020年高三5月高考模拟数学试题 含答案1已知全集，集合，则 2在复平面内，复数 （为虚数单位）对应的点到原点的距离为 3阅读如图所示的程序框图，若输入n 是100，则输出的变量S的值是 50494 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000人中再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查，则在2500,3000)（元）月收入段应抽出 人255 已知件产品中有件次品，其余为合格品现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为 6 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则

2、此圆锥的体积为 7若，满足则的最大值为 28在中，则 19. 过双曲线的左焦点作垂直于实轴的弦，为右顶点，若，则该双曲线的离心率为 10已知正数，直线，若，则实数 的最小值为 11已知圆C：，点是直线l：上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得，则的取值范围是 12已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于 1313已知，函数和有交点，且它们在点处有公共切线，则 14若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于 9二解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作

3、答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15(本小题满分14分)在中，角，所对的边分别为，已知.（1）求证：，成等差数列；（2）若，求的面积. 15（1）证明：，由正弦定理得， 2分化简得， 4分，成等差数列. 6分（2）解：，由余弦定理得，即 8分 10分又 12分的面积. 14分16（本小题满分14分）（第16题图）如图，在直三棱柱中，点是上一点，且平面平面（1）求证：；（2）求证：平面16证明：（1）， 平面平面， 2分 又在直三棱柱中， ， 6分 平面； 8分（2）连结 ，设 ，连结 ， 且，是等腰直角三角形的斜边 上的高线，且 10分也是斜边 上的中线，即点 为边的中点，的中位线

4、 ， 12分 （第16题图）BACEFGA1B1C1平面 14分17（本小题满分14分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中tan2在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，eq R(,5)km现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积AMNP（第19题图）CB17.解：（方法一）(A)xNPyOBC（第19题图1）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系因为tan2，故直线AN的方程是y2x设点P(x0，y0)因为

5、点P到AM的距离为3，故y03由P到直线AN的距离为 eq r(5)，得 eq f(2x0y0, eq r(5) eq r(5)，解得x01或x04(舍去)，所以点P(1，3) 4分显然直线BC的斜率存在设直线BC的方程为y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 eq f(3,k) 6分由 eq blc(aal(y3k(x1)，,y2x)解得yC eq f(62k,k2) 8分设ABC的面积为S，则S eq f(1,2)xByC eq f(k26k9,k22k)1 eq f(8k9,k22k) 10分 由S eq f(2(4k3)(k3),(k22k)2)0得k eq f(3,4)或k3当2

6、k eq f(3,4)时，S0，S单调递减；当 eq f(3,4)k0时，S0，S单调递增 13分所以当k eq f(3,4)时，即AB5时，S取极小值，也为最小值15 答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分（方法二）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系因为tan2，故直线AN的方程是y2x设点P(x0，y0)因为点P到AM的距离为3，故y03由P到直线AN的距离为 eq r(5)，得 eq f(2x0y0, eq r(5) eq r(5)，解得x01或x04(舍去)，所以点P(1，3) 4分显然直线BC的斜率存在设直线BC的方程为y3k(x1)，

7、k(2，0)令y0得xB1 eq f(3,k) 6分由 eq blc(aal(y3k(x1)，,y2x)解得yC eq f(62k,k2) 8分设ABC的面积为S，则S eq f(1,2)xByC eq f(k26k9,k22k)1 eq f(8k9,k22k) 10分 令8k9t，则t(25，9)，从而k eq f(t9,8) 因此S1 eq f(t,( eq f(t9,8)22 eq f(t9,8)1 eq f(64t,t234t225)1 eq f(64,34t eq f(225,t) 13分因为当t(25，9)时，t eq f(225,t)(34，30，当且仅当t15时，此时AB5，3

8、4t eq f(225,t)的最大值为4从而S有最小值为15答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分（方法三）如图2，过点P作PEAM，PFAN，垂足为E、F，连接PA设ABx，ACyAMNPBC（第19题图2）EF因为P到AM，AN的距离分别为3， eq r(5)， 即PE3，PF eq r(5)由SABCSABPSAPC eq f(1,2)x3 eq f(1,2)y eq r(5) eq f(1,2)(3x eq r(5)y) 4分因为tan2，所以sin eq f(2, eq r(5) 所以SABC eq f(1,2)xy eq f(2, eq r(5) 8

9、分由可得 eq f(1,2)xy eq f(2, eq r(5) eq f(1,2)(3x eq r(5)y)即3 eq r(5)x5y2xy 10分因为3 eq r(5)x5y2 eq r(15 eq r(5)xy)，所以 2xy2 eq r(15 eq r(5)xy)解得xy15 eq r(5) 13分当且仅当3 eq r(5)x5y取“”，结合解得x5，y3 eq r(5) 所以SABC eq f(1,2)xy eq f(2, eq r(5)有最小值15答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分18（本小题满分16分）已知圆的圆心在轴上，半径为2，直线被圆截得

10、的弦长为，且圆心在直线的上方（1）求圆的方程；（2）设，（2t4），若圆是的内切圆，求的面积S的最大值及对应的值【答案】（1）；（2）2或4解：（1）设圆心，由已知得M到的距离为=1（2分）又在的上方，0，=5，故圆的方程为 4分（2）设斜率为，斜率为，则直线的方程为，直线的方程为由于圆与相切，所以=2，=, 6分同理，=，联立两条直线方程得点的横坐标为 |AB|=t=6，S=6=8分-=10分 2t4，98，-，14分=24此时=8，t=2或416分19（本小题满分16分）已知函数f(x)ax3|xa|，a eq o(sup1(),)R（1）若a1，求函数yf(x) (x eq o(sup1

11、(),)0，)的图象在x1处的切线方程；（2）若g(x)x4，试讨论方程f(x)g(x)的实数解的个数；（3）当a0时，若对于任意的x1 eq o(sup1(),)a，a2，都存在x2 eq o(sup1(),)a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，求满足条件的正整数a的取值的集合解：（1）当a1，x eq o(sup1(),)0，)时，f(x)x3x1，从而f (x)3x21当x1时，f(1)1，f (1)2，所以函数yf(x) (x eq o(sup1(),)0，)的图象在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy30 3分（2）f(x)g(x)即为ax3|xa|x4所以x4ax3|

12、xa|，从而x3(xa)|xa|此方程等价于xa或eq blc(aal(xa，,x1)或eq blc(aal(xa，,x1) 6分所以当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1；当1a1时，方程f(x)g(x)有三个不同的解a，1，1；当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1 9分（3）当a0，x eq o(sup1(),)(a，)时，f(x)ax3xa，f (x)3ax210，所以函数f(x)在(a，)上是增函数，且f(x)f(a)a40所以当x eq o(sup1(),)a，a2时，f(x) eq o(sup1(),)f(a)，f(a2)，eq F(1024,f(x) e

13、q o(sup1(),)eq F(1024,f(a2)，eq F(1024,f(a)，当x eq o(sup1(),)a2，)时，f(x) eq o(sup1(),) f(a2)，) 11分因为对任意的x1 eq o(sup1(),)a，a2，都存在x2 eq o(sup1(),)a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，所以eq F(1024,f(a2)，eq F(1024,f(a) eq o(sup1(),) f(a2)，) 13分从而eq F(1024,f(a2)f(a2)所以f 2(a2)1024，即f(a2)32，也即a(a2)3232因为a0，显然a1满足，而a2时，均不满足所以满足条件的正整数a的取值的集合为1 16分20（本小题满分16分）若实数数列满足，则称数列为“数列”.（1）若数列是数列，且，求，的值；（2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值. 20.（1）因为是数列，且所以，所以, 所以，解得, .1分所以. .3分（2）假设数列的项都是正数，即，所以，与假设矛盾.故数列的项不可能全是正数, .5分假设数列的项都是负数，则而,与假设矛盾, .7分故数列的项不可能全是负数.（3）由（2）可知数