清实2.21等差数列第一课时

1、清实高二数学组 张传彬1在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）你能预测出下一次的大致时间吗？2062主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？天文学家说: 2062年左右。 相差76新课引入2通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。8844.43米高度(km)温度()1232821.515458.529-24(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, , -24.减少6.53观察与思考 ：下面的几个数列：（1）1 ，3 ，

2、5 ，7，9，11， （2）3，6，9，12，15，18，（3）1，1，1，1，1，1，1，（4）3，0，3，6，9，12，问题：这些数列有何特点？特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数对于数列（1），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于2;对于数列（2），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于3;对于数列（3），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于0;对于数列（4），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于-3.4一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d

3、表示. 如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，那么根据等差数列的定义可以得到以下结论：数列 为等差数列判断标准5对等差数列的定义的理解1如果一个数列，不是从第2项起，而是 从第3项起或第4项起，每一项与它前一 项的差是同一个常数，那么这个数列不 是等差数列 2一个数列从第2项起，每一项与它前一 项的差尽管等于常数，这个数列也不一 定是等差数列，因为这些常数不一定相 同当这些常数不同时，此数列不是等 差数列 6对等差数列的定义的理解3求公差时，要注意相邻两项相减的顺序 d=an+1-an或d=an-an-1(n2) 后-前 4. 要判断一个数列是不是等差数列，只要 看对于任意正整数n，an-an-

4、1，是不是通 一个常数，切记不可通过计算a2-a1,a3-a2 等有限的几个式子的值后，发现它一个 常数，就得出该数列为等差数列的结论75.常数列一定是等差数列6.等差数列公差d的讨论3种d0,递 数列d0,递 数列d=0, 数列8例1、判断下面数列是否为等差数列.ex1、 观察下列数列是否是等差数列9ex2、判断正误数列a，2a，3a，4a，是等差数列（ ）若anan+1=3 (nN*)，则an是公差为3 的等差数列。 （） 若a2a1=a3a2, 则数列an是等差数 列 （）10问题：已知等差数列an的首项为a1，公差为d，求an解法一：由等差数列的定义可知： a2a1=d,a3a2=d,

5、a4a3=d, 则 a2=a1d a3=a2d=（a1d）d=a12d a4=a3d=（a12d）d=a13d 由此可知：an=a1（n1）d当n=1时,a1=a1（11）d=a1 等式成立这表明当n N*时，an=a1（n1）d成立。不完全归纳法11解法二：等差数列 an 的首项是 a1 , 公差是d ，如： 那麽，则由定义得： a2-a1=d (1) a3-a2=d (2) a4-a3=d (3) a5-a4=d (4) 、 an-a n-1=d分析：如果把左边由（1）式到最后一个式子，共_个式子相加，则有： n-1 等号左边为：an-a1 , 等号右边为：(n-1)d所以： an-a1=

6、(n-1)d ,即 an=a1+(n-1)d 当n =1时，上式两边都等于 a1 。 nN*，公式成立。 等差数列的通项公式是:an = a1+(n-1)d累加法12简单应用等差数列中a1 =1,d=2an = 关键求出a1和d1+（n-1）2=2n-113简单应用通项公式中有几个量？a1 ,d, an ，n的含义？已知其中三个量就可以求出第四个14例1 (1) 求等差数列8，5，2，的第20项。解：(2) 401是否是等差数列 -5，-9，-13，的项？如果是，是第几项 ？解：因此，解得,20,385,81=-=-=ndaQ15解：由题意得：例2求通项公式的关键步骤：求基本量a1和d ：根据

7、已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。16 （一）求通项an若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：a1=1, d=2, 则 an=1+(n1)2=2n1已知等差数列8，5，2，求 an及a20(第20项)。解： a1=8, d=58=3a20=49an=8+(n1)(3)=3n+11练习：已知等差数列3，7，11， 则 an=_ a4=_ a10=_an=a1+(n1)d (nN*)4n-11539典例精讲17(二)求首项a1例如 ：已知a20=49, d=3 则，由a20=a1+(201)(3)得a1=8练习：a4=15 d=3 则a1=_6an=a1+(n1

8、)d (nN*)18(三)求项数n 例如： 已知等差数列8，5，2问49是第几项? 解 ：a1=8, d=3 则 an=8+(n1)(3)49=8+(n1)(3)得 n=20。an=a1+(n1)d (nN*)19 问400是不是等差数列5，9，13， 的项？如果是，是第几项？解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 400=5+(n1)(4)成立所以400不是这个数列的项解之得 n= 4399 -401是该数列 的项 吗？如果是，是第几项？20 练习：在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？解：这些数组成首项a1=105,公差 d=7的等差

9、数列。 an=105+(n1)7 又an999 即 105+(n1)7999 解得 n128nN* n最大为128， 故共有128个。 7521(四)求公差d例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。 由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。总结：在 an=a1+(n1)d nN* 中，有an,a1,n,d

10、四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？an=a1+(n1)d (nN*)22 即这个等差数列的首项是2，公差是3.例3、在等差数列 中，已知 求首项 与公差d.解：由题意可知解得：注：等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中，an, a1, n，d 这四个变量 ，知道其中三个量就可以求余下的一个量，知三求一. 23 解： 由题意可得 a1+5d=12 (1) a1+17d=36 (2) an=2+(n-1) 2=2n a1=2 d=2 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考

11、的思想方法，应熟悉并掌握。变式、 在等差数列an中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,求通项an 。 分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。*评注：24小结：证明一个数列是等差数列的方法是：25四、能力培养：两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，求：这两个数列相同项的个数解法一：已知两个等差数列 an: 5，8，11，公差为3 bn: 3，7，11，公差为4 通项公式分别是an=5+(n1)3=3n+2 bn=3+(n1)4

12、=4n1假设an的第n项与bn的第k项相同，即 an=bk 则 3n+2=4k1 3n=4k3 nN* k必是3的倍数 k=3,6, 9, 12,， 组成新的等差数列cn而相应的 n=3,7,11,15,， 组成新的等差数列dn 即 a3=b3, a7=b6, a11=b9, a15=b12，又因为这两个数列最多只有100项，所以 cn=3+(n1)3100 n100/3=33 n25 dn=3+(n1)4100 n101/4=25 又 nN* 这两个数列共有25项相同。 31 41 4126解法二：已知两个等差数列an：5，8，11， 和bn：3, 7, 11, 则 通项公式分别是an=5+(n1)3 bn=3+(n1)4观察： 5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41， 3