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文档简介
1、 提纲 力学量用算符表达18-11 量子力学的基本假设 本征值和本征函数18-10 势垒贯穿(复习)例题:线性谐振子的定态薛定谔方程及解作业:讲义:12,15118-10 势垒贯穿(隧道效应)在经典力学中,若 ,粒子的 动能为正,它只能在 I 区中运动。即粒子运动 到势垒左边缘就被反射回去,不能穿过势垒。OIIIIII求一个动量和能量已知的粒 子受到势场的作用后,被散 射到各个方向去的几率。在量子力学中,无论粒子能量是大于还是 小于 都有一定的几率穿过势垒,也有 一定的几率被反射。我们下面只就 时,讨论薛定谔方程的解。2势垒的势场分布写为:在三个区间内波函数应遵从的 薛定谔方程分别为:OIII
2、III定态薛定谔方程 的解又如何呢?3令:定态解的含时部分:三个区间的薛定谔方程化为:4若考虑粒子是从 I 区入射,在 I 区中有入射波 反射波;粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区, 在III区只有透射波。粒子在处的几率要大 于在处出现的几率。其解为:根据边界条件:时、空异号 为右行波5求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数:IIIIII隧道效应当 时,势垒的宽度约50nm 以上时, 贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在 实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。6 隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应,金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内,电子密度并不在表
3、面边界处突变为零, 而是在表面以外呈指数形式衰减,衰减长度约为1nm。只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极,当样品与针尖的 距离非常接近时,它们的表 面电子云就可能重叠。若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变,则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy7因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变,通过隧道电流的变化可 得到表面电子态密度的分布;使人类第一次能够实时地观 测到单个
4、原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。空气隙STM工作示意图样品探针利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 阵列。可以直接绘出表面 的三维图象8利用光学中的受抑全反射理论,研制 成功光子扫描隧道显微镜(PSTM)。 1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。STM样品必须具有一定程度的导电性; 在恒流工作模式下有时对表面某些沟 槽不能准确探测。任何一种技术都有 其局限性。见FPCAI、ZLCAI、CAIUPS软件。 量子围栏和分子人。9例题:线性谐振子的定态薛定谔方程及解若选取
5、线性谐振子平衡位置为坐标原点,并选取 其为势能的零点,则线性谐振子的势能表示为:m是粒子的质量,K是 谐振子的弹性系数。对经典谐振子 它是角频率。线性谐振子的定态薛定谔方程为:它是变系数二阶常微分方程,可解。10引进无量纲参量 和方程化为:* 波函数在 时的渐近行为:方程化为:其渐近解为:因为谐振子是处于束缚态应舍弃 解。 所以有当 时11根据渐近行为方程解可写为:上述厄米微分方程的解是个无穷级数。为了 保证束缚态边界条件的成立,必须使这个级 数只包含有限项,其条件是:代入原方程应满足:12* 得出满足束缚边界条件的级数解是:称为厄米多项式。它的前几个为:普遍表达式:13* 能量本征值和零点能
6、因为:所以线性谐振子的能级只能取分立值,能级间隔相等。线性谐振子基态能:14有关光被晶体散射的实验, 证明在趋于绝对零度时,散 射光的强度趋于一确定值。 说明原子有零点振动存在。常压下,温度趋于零度附近,液态氦也不会 变成固体,具有显著的零点能效应。实验事实:* 能量本征函数和宇称线性谐振子的定态波函数15线性谐振子波函数线性谐振子位置几率密度16线性谐振子 n=11 时的几率密度分布在原点速度最大,停留时间短,粒子出现的 几率小;在两端速度为零,出现的几率最大。 虚线是经典结果。17可见当n为偶数时,称线性谐振子处于偶宇称。可见当n为奇数时,称线性谐振子处于奇宇称。随量子数n增大,量子谐振子
7、的几率密度迅速 震荡,其平均值与经典结果趋于符合。相似性 逐渐增大。在原点速度最大,停留时间短,粒 子出现的几率小;在两端速度为零,出现的几 率最大。18波函数的模方 代表粒子在 t 时刻 r 处的 几率密度。波函数是几率波,满足波的叠加。18-11 量子力学的基本假设量子体系的状态由波函数完全描述。可观测的力学量对应一个线性厄米算符。力学量算符的本征值方程 中的本征值 对应该力学量的一切可 测量值。 19其展开系数的模方 就是在该态 中测量 到与算符 相应的本征态 其本征值的几率。力学量算符的本征函数 构成完备正交系力学量的平均值:任何态函数 均可以用力学量算符的本征 函数系,或一组力学量完
8、全集的共同本征 函数系来展开。例如:20函数随时间的演化服从薛定谔波动方程对于全同粒子系的状态,粒子的交换不改变 系统的状态全同性原理。其中 是系统的哈密顿算符21除了位置和动量以外,其中一类以坐标为函数 的力学量,其量子力学所对应的算符形式不变。 如势能 和作用力 。 力学量用算符表达经验告诉我们,与经典力学量对应的量子力学 中的算符形式:另一类经典力学量是与动量有关,其量子力学 所对应的算符可用动量的对应关系得出,例如 动能算符的表达式:22角动量算符的表达式:23角动量算符的模方定义为:球坐标24 本征值和本征函数是力学量A 取确定值 时的本征态称上式为算符 的本征值方程。 是力学量A的
9、一个本征值。由本征值方程解出的全部本征值 就是相应力学量的可能取值。当力学量算符 作用在波函数 上,其结果是 同一个函数乘以一个常量时: 25则称本征值 是 重简并的。称 为简并度简并态的选择不是唯一的。如果属于本征值 的本征态不是一个,而是 个,即力学量A的本征方程为:矩阵代数中的厄米矩阵 矩阵代数中的本征矢 矩阵代数中的本征值 物理量算符微观粒子的定态与定态对应的 物理量的确定值26举例:动量算符的本征值方程是式中 是动量算符的本征值,在直角坐标系下 为 均为实数。动量本征值方程的解:它就是 的单色平面波,在量子力 学中,平面波代表粒子有确定的动量、在 空间各处出现的几率相同的状态。27力学量算符必须是线性厄米算符。* 厄米算符的本征值必为实数。* 厄米算符的平均值必为实数。* 当出现简并时,可以证明:总可以适当 地线性组合简并态,使之彼此正交。线性厄米算符的性质:* 厄米算符的属于不同本征值的本征函数 彼此正交。厄米算符28力学量的完全集、本征函数的完全性通常一个力学量 的本征值是简并的,这时必 定存在独立于 ,而又
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