北京四中-高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算

1、高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算一、知识网络 二、高考考点1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件梭的应用；（4）向量的夹角的抖计算与应用；（5）向量的模翔的计算，关于向量的模的等式的变翔形与转化，关于向量的模的不等式翔的认知与转化。3、线段的定翔比分点线或平移问题。4、以凝向量为载体的三角求值或图象变换凝问题

2、，以向量为载体的函数或解析凝几何问题（多以解答题的形式出现凝）。三、知识要点（一）揖向量的概念1、定义（1怖）向量：既有大小又有方向的量叫怖做向量。（2）向量的模：向空量 的大小（即长度）叫做向量空的模，记作 。特例：长度为植0的向量叫做零向量，记作 ；长制度为1的向量叫做单位向量.此（3）平行向量（共线向量）：氧一般定义：方向相同或相反的非氧零向量叫做平行向量，平行向量也氧叫做共线向量.特殊规定：稿与任一向量平行（即共线）. 稿（4）相等向量：长度相等铡且方向相同的向量叫做相等向量。铡零向量与零向量相等。认枝知：向量的平移具有“保值性”。枝2、向量的坐标表示（1碱）定义：在直角坐标系内，分别

3、取碱与x轴、y轴正方向相同的两个单碱位向量 、 作为基底，任作一个活向量 ,则由平面向量基本定理知活，有且只有一对实数x，y使得活，将有序实数对（x,y）叫做向光量 的坐标，记作 ；并将 叫做币向量 的坐标表示。（2）认忆知：相等的向量，其坐标也相同，忆反之成立。 （二）向量的运抱算1、向量的加法2、向遂量的减法3、实数与向量的积镶（1）定义（2）实数与樊向量的积的运算律：（3）平扶面向量的基本定理：如果 是庆同一面内的两个不共线向量，那么绍对于这一平面内的任一向量 ，有绍且只有一对实数 1， 2使 ，菱这两个不共线的向量 叫做表示这菱一平面内所有向量的一组基底。裸（4）向量共线的充要条件：离

4、（i）向量与非零向量 共线拧有且只有一个实数 使 （i在i）设 则： 4、铸向量的数量积（内积）（1）挝定义：（i）向量的夹角：已养知两个非零向量 和 ，作 直 叫做向量 与 的夹角。（鹰ii）设两个非零向量 和 的夹浴角为 ，则把数量 叫做 与 的椅数量积（内积），记作 ，即 幼并且规定：零向量与任一向量的幼数量积为0.（2）推论芋设 、 都是非零向量，则（歹i） （ii） （ii浚i） (3)坐标表示(莎i) 设非零向量 ，则挽 (ii)设 (满4)运算律（自己总结，认知）濒四、经典例题例1判断下亮列命题是否正确：（1）若雪的方向相同或相反；（2）若唁 （3）若 则A、B、C、贩D四点组成

5、的图形为梯形；分路析：（1）不正确 嚏 不能比较方向。（2）不原正确 当 时，虽然对任纬意 ， 都有 不一定平行。细（3）不正确 ，故这里的岩已知条件也包含A、B、C、D四识点共线的情形。点评：判断或王证明向量的共线或垂直问题，务必王要注意有关向量为零向量的情形，王判断失误或解题出现疏露，多是零王向量惹的祸。例2设点O为爷ABC所在平面内一点（1吁）若 ，则O为ABC的（吁 ）A、外心辗 B、内心 C、意垂心 D、重心训（2）若 ，则 为ABC的（嗅 ）A、外心泞 B、内心泞C、重心 D、重心泞（3）若动点P满足 ,则点贩P的轨迹一定通过ABC的（贩 ） A、外心汉 B、内心 C、汉重心 D、

6、重心排（4）若动点P满足 ,则点P轨嗓迹一定通过ABC的（ ）嗓 A、外心B撑、内心 C、重心肠 D、重心分析：早（1）借助向量加法分析已知益条件：以 、 为邻边作平行障四边形OBDC，并设ODBC障=E，则由平行四边形性质知，E障为BC和OD中点。 郑 且 由赢、得 A、O、E、D、渔四点共线 且 膊于是由、知O为ABC的重湖心，应选D(2)由 同炽理可得OABC,OCAB眠于是可知，O为ABC的垂心熔，应选C（3）由已知得 缸令 ，则 是 上的单位诲向量，令 ，则 是 上的单位向揪量。由得： 弓令 ,则点Q在角A的平分线上邦 又由知的计 与 共线且同向（或 ）须动点P在角A的平分线上点蔗P

7、的轨迹一定通过ABC的内心蔗，应选B。（4）注意到 的罚几何意义， 镶=0又由已知的得： 糜 动点P在BC边的她高线上动点P的轨迹一定通魂过ABC的垂心，应选C。混点评：品味各小题，从中参悟解题混思路以及三角形的各心的向量特征混。例3：（1） 成立的渣充分必要条件为（ ）A灿、 跺B、 C、 刨D、 （2）已知冈A、B、C三点共线，O为该直线荤外一点，设 且存在实数m使 ，荤 则点A分 所成的比为（壶）A、- 贩 B、2 C、贩 D、-2创 分析：（1）注意到魁不等式 ，当且仅当 、 反向或碴 、 中至少有一个为 时等号成碴立，由 得 、 反向或姐由此否定A、B、C，本题应泅选D（2）注意粮到

8、条件的复杂以及已知式变形方向粮的迷茫，故考虑从“目标 ”分析适切入，主动去沟通“已知”，赎设 则 (刻意变蓄形，靠拢已知) 知 （目标的延伸跃） 又由已知只得： （已知的变形或延伸）爷 根据两向量相等的答条件由、得： 于是可知傀，点A分 所成 的比 ，应选烽A点评：（i）（1）对拘任意向量 、 都有 ，其中，当办且仅当 同向或 中至少有一个为姑 时左边的等号成立；当且仅当姑反向或 中至少有一个为 时右边冠的等号成立；当且仅当 中至少有冠一个为 时，左右两等号同时成立筏。（ii）对于（2），“已瘪知”与“目标”相互靠扰，只是切弓入点是从“已知”切入还是从“目弓标”切入，需要仔细分析。例戊4：设

9、、 分别是平面直角坐标戊系内x轴、y轴正方向上的两个单戊位向量，在同一条直线上有A、B啼、C三点， ，求实数m、n的值啼。解：由题设知 壹 与 共线 又绣 代入得： 7只（2n-1）=(n+2)(2n只+1) (n-3)(2揖n-3)=0 当 时代沂入得： m=3当 时代入衣得：m=6哲 弊 m=6，n=3或m=3， 寇点评：不失时机地利用向量的坐寇标表示，是解题的基本技巧。豁例5 设 试求满足： （甘这里O为原点）分析：注意到破 的坐标即点D的坐标，可从设破坐标，由（x,y）切入，去 建虐立关于x，y的方程组。解：完设 ，则点D坐标为（x,y）刨则由已知条件 得： 鱼 x-2y+1=0鱼 由

10、 得：x+4盐=3(y-1) x-3y责+7=0责 于是将、联立，解吱得： 点评：本题盐是对向量坐标的概念，向量的垂直盐与向量的平行的充要条件的综合应盐用，借此练习，可进一步认识与把盐握关于向量的概念与公式。例枕6 设向量 满足 （1）劫若 ，求 与 的夹角；（2邀）若 的值。解：（1）颐设 与 的夹角为 ，则 聚 扁于是由代入得 ： 雹注意到 O, ,可得雹结果 （2）解法（着眼于对汛 等各个击破）一方面由已知汉得： 又涸 离 由、得 民注意到 ，当洲且仅当 ， 同向或 ， 中至少玉有一个为 时等号成立 由吵得 与 同向另一方面，又由题 知， 与 反向 与 的夹排角为0， 与 的夹角为180

11、难， 与 的夹角为180男原式 =31-14-许34=-13解法二（着眼曾于寻求目标与已知的整体联系）：曾 由已搭知条件得 解法三（从般寻求目标局部的值切入）：原多式 同理， 姬 点评：解法二与解法三，烩均着眼于整体代入，解题过程简明烩，比解法一有明显优势。但是，解烩法一中对已知数值的利用，却对今烩后的条件求值有着不可替代的潜在烩作用，条件求值中对已知数据的应烩用主要有以下三个方面：（1离）利用数值本身（代入）；（离2）分别利用数值的绝对值和符号离；（3）利用有关数值的关系位沟通有关元素间的联系（比如，由巷3+1=4，32+42=52沟巷通联系等）。例7已知 的选夹角为120，且 ,试求m，焉

12、n及 与 的夹角。解法一：需（利用内积的定义），设 与 的之夹角为 ，由 再 冠 再由：嘘由，得 将代入顶得： 于是由，甲，得所求 ,n=-4, 的甲夹角为30或150点评戌1：本题已知条件繁多，头绪纷乱戌，更需要在解题时梳理思绪。注意戌到所求m、n含在 中，故在求出绸 、 的值之后，以 的变形为主搅线展开求索：变形1. 拴变形2. 变形3. 于体是，整个解题过程既显得有条不紊体，又感觉酣畅淋漓。解法二（享利用向量的坐标）：设 ，亩与 的夹角为 ，由已知得杯 由 细又x12+y12=8细 x22+y22=王4 由，解赁得 或 由，解得沦或 将上述丧， 坐标分四次代入 便解得士n=-4， , =

13、30或15凛0点评2：本解法致力于求斡 与 的坐标，虽然解题过程仍然斡曲折，但思路明朗，更多几分胜算涕。例8 设 的夹角为 ，粘 分析：此题为以向量为载体依的三角求值问题，因此，从化简依， 的坐标切入，向三角函数中常幽见的关系式转化。解： 汉 优注意到这里 由、益得到 于挠是由、得 由、诛得 解得梁因此由得 点评：在诀这里，利用实数与向量的乘法的法诀则，将 表为 ,从而为简迂化 及 的表达式以及简化 的表瓤达式奠定良好的基础。五、高瘸考填题（一）选择题、1楞、（2005湖南卷）P是A楞BC所在平面上一点，且 ，则P吟是ABC的（ ）A、枕外心 B、内心枕 C、重心 D、垂心锈分析：由 同蓄理，

14、ABPC,BCPA溜 点P为ABC的垂心，应选D溜2、（2005山东卷）已折知向量 ， ,且 ,则一定共线柱的三点是（ ）AA、晕B、D B.A、B晕、C C.B、C、D晕 D.A、C、D分羽析：利用两向量共线的充要条滁件来判定，从寻找所给向量的联系滁切入由题意得 镐 A、B、D三点共线，应选至A3、（2005全国卷B姚）已知点A（ ,1），B（0，幽0），C（ ，0），设BAC幽的平分线AE与BC相交于E，那幽么有 ,其中 等于（ ）岳A、 2 B、 氧 C、-3氧 D、- 分析：从认袖知目标切入，由题设易知 与 反言向，故 0 又由三振角形内角平分线定理得 即诬 =3 于是由、职得 =-3

15、，应选C4蕴、（2005北京卷）若,言, ，则向量 与 的夹角为（需 ）A、30躁B、60 C、120躁 D、150分析程：令向量 与 的夹角为 ，铰则 金 又由 洲 得 睁 于是将已知与代入洲得 所得 ，应选C越5、（2005福建）在A越BC中， ， ， ，则k的值是泽（ ）。A、5需 B、-5 C、 跃 D、 分析：循诌着一般思路，欲求k的值，先寻找诌关于k的方程，可以通过解方程获诌取k的值，为此我们利用题设条件旨寻找等量关系切入：由题设知避 ， 由此得（2，3）（骸2-k,2）=0 2（2-骸k）+6=0解得k=5,故躁应选A。6、（2005重哄庆）设向量 等于（ ）半。A、（1，1）眷

16、 B、（-4，-4）眷C、-4 D、（-2,眷-2）分析：循着向量的壶坐标表示与有关公式得： 题 原式=-4（1，1缮）=（-4，-4），应选B柱7、（2005重庆卷）已知A又（3，1），B（6，1），C（又4，3），D为线段BC的中点，又则向量 与 的夹角为（ ）宇A、 分析1：（特扮征分析法）：画出ABC及其中扮线AD，又将向量 平移到 ,则扮可见 与 成钝角，而选项中A、蚕B为锐角，D为负角，故只能选C蚕。分析2：（直接法）：北由题设D（5，2） 啼 所求两向量夹角应为 ）,翌应选C8、（2005浙江挫） 已知向量 ，满足对任意t挫R， ,则（ ）A、肛分析：从已知不等式的等吭价变形切入

17、，去认识所含向量 ，订 的关系由已知得 整理漂得 注意到嗅对任意 都成立。 即砚 根据式检验选项玲，故选C点评：关于向量的模瘴的不等式，变形转化的基本手段是彰不等式两边平方，这是本题切入、彰转化的关键环节。（二）填空阵题1、（2005广东卷）痒 已知向量 分析：注意傀到两向量平行的充要条件， 顶由已知条件得26-3x顶=0，由此解得 x=42、串（2005全国卷C） 已知向蹭量 ,且A、B、C三点共线，则蹭k= 。分析：秀由A、B、C三点共线切入，献向着向量的共线转化A、B、脑C三点共线 向量 、 共线怂又 由 、 共敏线的充要条件得 7（-k-敏4）=5（k-4），解为 皱3、（2005天津

18、卷）已知皱=2， =4， 与 的夹角为证，以 ， 为邻边作平行四边形，眩则此平行四边形的两条对角线中较眩短的一条的长度为眩。分析：根据向量加法与咋向量减法的几何意义又知， 、翌分别表示上述平行四边形中两条对翌角线的长度。注意到 与 的诛夹角为锐角，故此平行四边形的两诛条对角线中较短一条的长度为 诛 又=4+16-揖224cos =12翼 =2 于是由甸、知所求为 .4、（2细005湖北卷）已知向量=(鹏-2，2)， =(5，k),若鹏 不超过5，则k的取值范围为寿 .分析：由已沦知得 若斡5，则9+（k+2）225斡由此解得-6k2，故予应填-6，25、（20婶04浙江卷）已知平面上三点A淑、

19、B、C满足 ， , ,则 的绣值等于 。分析能：从认知ABC切入，由3医2+4252知 ， 彰原式= = = 扳=-256、（2005仍全国卷A）ABC的外接圆圆心仍为0，两条边上的高的交点为H，仍 =m( + + ),则实数m粘= 。分析：由嵌题设知，O为ABC的外心，即嵌O是ABC的三边中垂线的交点丧，因此，以 与 为邻边作平行四丧边形OADC，则OADC为菱形丧，且 + = 喜 ( + )+挫 + 的终点必在AC边的高线上挫 同理，+绎 + 的终点在AB边的高线上蓄 由、得根 + + 的终点为ABC的垂怖心H. m=1揩点评：从O为ABC的外心切入揩，认知向量 ，此乃求解本题的关烬键。三、解答题1、（2翼005山东卷）已知向量=(漓cos 、sin )和 =(塔- sin ，cos )， ，她且= ,求cos（ + ）的值传。分析：这是以向量为载体的蒸三角求值问题，故首先要利用向量