数学小课题研究教学案例数学延伸性研究课题魔力七巧板

1、数学延伸性研究课题魔力七巧板一、课题的确定学生的学习生活中，会接触和使用到许多数学工具，近阶段学生学习三角形的图形拼组这部分知识时，课本上有一道题目：用七巧板拼三角形，你能想出几种不同的拼法？我把这部分知识作为课下研究任务让学生研究。在研究的过程中，学生对结构奇特的七巧板充满了好奇，产生了浓厚的兴趣，并提出了很多有关七巧板的问题：七巧板是怎么来的？它是由哪个国家发明的？七巧板是有哪几部分组成的？我们可以自己动手做出七巧板吗？七巧板除了拼图之外还有什么用处呢？看到学生们意犹未尽的样子和渴望探求知识的眼神，我陷入了深思。 经过深入的资料搜集和思考，我认为，七巧板是一种良好的数学辅助学习工具，籍由它

2、的使用，可以帮助学生理解更深入的数学概念。七巧板的构造不过是几块简单的几何图板，却能创造出千变万化的造型。七巧板是我国古代传统的益智游戏，但真让身处21世纪的学生把古代的益智游戏玩出名堂，还真没有几个人能做到。小学四年级学生在智力方面已经达到了一定的程度，如果能适当地加以引导，应该能调动起他们“玩”七巧板的积极性。由此，我决定把七巧板作为数学小课题进行研究。二、课题的布置与指导成立5-6个研究小组，各小组根据自己组的成员情况，确定本组研究的子课题。在研究伊始，根据学生提出的问题进行分组，分成了六个小组，分别是：七巧板的历史研究小组，七巧板的组成和制作研究小组，七巧板的用途研究小组，七巧板的玩法

3、研究小组，七巧板的拼图研究小组，七巧板里的数学问题研究小组。经过初步的研究发现：七巧板的制作和组成研究小组，研究内容新颖，研究成果多，于是把这个小组分成了两个研究小组，即七巧板的构成研究小组和七巧板的制作研究小组；而七巧板的玩法研究小组和七巧板的拼图研究小组研究内容与七巧板的用途研究重合，且单独作为一个子课题略显单薄，因此将这两个小组并入七巧板的用途研究小组；而七巧板里的数学问题，部分研究内容与其七巧板的构成研究重合，因此将这部分并入七巧板的构成这一小组，另外关于七巧板的悖论和七巧板凸多边形的拼组问题，对于四年级的学生来说，难度太大，所以将这部分内容舍弃。最终确立了四个子课题：七巧板的历史、七

4、巧板的构成、动手制作七巧板、七巧板与我们的生活有什么密切的关系（七巧板的作用）。然后指导学生按照拟定方案开展研究活动，激励学生克服困难、解决问题，并不断修订、完善研究活动的计划。其中包括：收集信息，内容筛选。根据学生要开展的研究内容，组织学生有目的地收集有关信息资料。如学生通过查阅文本资料、上网浏览或走访等形式了解到了七巧板的历史渊源以及拼摆技巧、制作方法等。设计实践，分类指导。活动小组需要根据大家收集的信息，选择有关材料，进行设计实践。如七巧板制作小组，大家通过观察、分析、研讨等活动，群策群力，最后确定了制作七巧板的方法：采用画格法和折纸法，每种方法分八步走；再如，七巧板的用途研究小组，学生

5、通过小组合作，商讨出了一条从简单到复杂的研究之路，由七巧板在日常生活中的用途过渡到七巧板拼图，从而重点研究七巧板中的数学奥秘；七巧板的构成研究小组，从开始的只研究七巧板由哪几部分组成，到后来在老师的引导下，进一步研究每块板的特性，研究进展迅速。跟踪指导，随时调控。通过一周的跟进指导，学生的研究日渐成熟，成果凸显。三、课堂教学实录（一）创设情境师：同学们，你们喜欢玩抢答游戏吗？我们先来做一个历史小知识抢答，我国古代有哪四大发明？韩子慧：有火药、指南针。张哲铭：还有造纸术、印刷术。师：对，四大发明是我们的骄傲，也是我们祖先智慧的象征。不仅如此，我们的祖先在游戏方面也充分展示了他们的聪明才智。同学们

6、听好下面一个抢答题：中国古典游戏三绝是什么？【评析：教师由学生熟知的古代四大发明导入新课，接着引申到“古典游戏三绝”，引起学生浓厚的兴趣，学生对游戏非常感兴趣，急于知道分别是什么，充分调动起学生学习的积极性。】安祥丞：华容道。李秉承：七巧板。师：还有呢？还是老师告诉你们吧（课件展示“中国古典游戏三绝”图片）。华容道、九连环和七巧板被称为“中国古典游戏三绝”，而被西方人美誉为“东方魔板”的七巧板就是就是一个最有名的东方谜题。这节课我们就来感受一下“七巧板”究竟有多大的魅力。出示课题 师：同学们，关于七巧板你想知道哪些问题？韩子慧：我想知道七巧板是干什么用的？张哲铭：我想知道七巧板为什么叫七巧板？

7、张萌：我想知道怎样做七巧板？李敏：我想知道七巧板能拼成什么图形？【评析：学生对于中国的“七巧板”为什么会被西方人推崇为“东方魔板”充满好奇，并且引起探究的欲望，想知道“七巧板”的很多知识，提出许多有价值的问题，这是老师平时就注意培养学生提出问题、解决问题能力的结果。】师：同学们想知道的可真不少，课下我们七巧板研究小组的同学已经对七巧板进行了大量的研究，下面我们就来分享一下他们的研究成果好吗？生：好。（二）汇报展示1、第一研究小组汇报展示：七巧板的历史王孟菲：大家好！我们是七巧板历史研究小组。同学们，你们知道七巧板是哪个国家发明的吗?七巧板的历史有多久吗？我们小组通过上网查阅资料，对七巧板的历史

8、进行了研究，下面就请我们小组的的杨禹同学先给大家介绍。杨禹：七巧板是我国古代劳动人民的发明，它已经有两千五百多年的历史了。最早的有关七巧板的记录是在周髀算经中（展示周髀算经中的七巧板），当时是将大正方形切割成四个同样大小的三角形和一个小正方形，还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。下面请李琦同学接着给大家介绍。李琦：同学们，你们知道吗？那么神奇的七巧板，竟然是由一种古代家具演变来的。宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种吃饭用的小桌子，叫做燕几（展示燕几图）。比如3人吃饭就拼成三角形，4人就拼成四边形，6人就拼成六边形，这样用餐时人人方便，气氛更好。后来

9、有人把它缩小成只有七巧板那么大，用它来拼图，演变成一种玩具。因为它十分好玩，所以人们叫它七巧板。同学们你们有什么问题吗？【评析：这个小组搜集了“七巧板”的详细历史资料，还能让同学们提出问题，勇气可嘉，看来是胸有成竹，做好了应对其他同学的准备。】生：七巧板是中国人发明的，难道外国人就不喜欢玩七巧板吗？安祥丞：我们小组搜集的资料中也有这方面的介绍。18世纪，七巧板传到国外，立刻引起极大的兴趣，有些外国人通宵达旦地玩它。据说拿破仑被放逐后就常常玩七巧板来消磨时光。生：请问七巧板能拼成多少种图形？安祥丞：七巧板可以拼成的图形有很多，荷兰人编写了一本有关七巧板的书，书中搜集了1600多种由七巧板拼成的图

10、形。生：七巧板为什么叫七巧板呢？安祥丞：因为它是由七块板组成的。生：我想对这位同学的解释做个补充，因为七巧板是由七块板组成的，既小巧又好玩，所以叫做七巧板。生：请问七巧板是谁创造的？安祥丞：七巧板是宋朝人黄伯思创造的。生：请问七巧板是经过多少个世纪演变而来的？安祥丞：七巧板是经过上千年演变而来的。生：七巧板为什么有七种颜色？安祥丞：可能是为了好分辨才涂上的颜色。生：古代的七巧板也是用木头做的吗？安祥丞：是的。师：是用木头做的吗？你能解释一下吗？安祥丞：刚才李琦同学说过，七巧板是由宋朝的燕几演变过来的，因为燕几是一种家具，是用木头做的，所以七巧板是用木头做的。师总结：谢谢第一小组的汇报，他们从国

11、内和国外两个方面谈了七巧板悠久的历史。（多媒体演示七巧板的历史发展流程图）其实七巧板发展到现在经历了很长的历史过程，七巧板最早叫做“乞巧”，后来演变为宋朝的燕几图、明朝的蝶几图，最后演变成现在的七巧板。现在的七巧板又分为三个流派，分别是方式、燕式和碟式，同学们请看，我们现在研究的七巧板是哪一种？生：蝶式。师：对，蝶式七巧板也是我们现在最流行的七巧板。七巧板是我国古代劳动人民的一项卓越发明，很多外国人都喜欢玩它，据说拿破仑、安徒生都曾经非常钟爱七巧板。直到今天，我们依然感受到古典游戏的魅力。其实，七巧板里还蕴含了很多数学知识呢。我们有一个小组就专门研究了七巧板的构成，我们一起来听听他们的想法。【

12、评析：对于七巧板，教师从新的角度出发，适度拓展，系统阐述它的历史，使学生的认识得到深化。】2、第二研究小组汇报展示：七巧板的构成席昊：普通的七巧板竟然能拼成成千上万种图形，小小的七巧板里究竟藏着什么数学秘密呢？经过讨论，我们小组决定重点研究七巧板的构成，就先请张哲铭同学先来介绍我们的成果。张哲铭：七巧板，顾名思义，是由七块大小不同的板组成的，完整的图案是一个正方形。我想先提问同学们一个问题：你知道七巧板是由几种图形组成的吗？生：七巧板是由三种图形组成的。张哲铭：是哪三种呢？生：三角形、正方形、平行四边形。张哲铭：说得对。具体来说，七巧板是由五个三角形，一个正方形和一个平行四边形组成的。其中最大

13、的两块是两个完全一样的等腰直角三角形，最小的两块也是两个完全一样的等腰直角三角形，还有一个三角形个头不大不小，也是一个等腰直角三角形。两外两块分别是一块正方形，一块平行四边形。张哲铭：我们还研究了七巧板整体图中线段的垂直和平行关系，下面就让我来简单的介绍一下。（演示线段的垂直和平行关系图）用相同的颜色表示一组平行线段和垂直线段，我们发现七巧板有十三组平行线段，有六组垂直线段。王昱文：我们小组还从面积出发，研究了各块板之间的联系：七巧板中最大板占总面积的 ，最小板占总面积的 ，七巧板中最大板是最小板面积的4倍。同学们，你们对我们的汇报有什么疑问吗？生：七巧板的面积是多少？王嘉鑫：七巧板的总面积是

14、不固定的，可以说有十六个最小板那么大。生：那平行四边形占总面积的多少呢？王昱文： 。因为我们小组将七巧板整体图进行分割分析：实际上七巧板是由16个最小板这样的基础三角形组成的。而平行四边形正好是由两个基本三角形组成的，所以占总面积的 。生：为什么两个三角形就占总面积的 呢？王昱文：因为一个最小的三角形占总面积的 ，两个就占了。生：正方形占总面积的几分之几？王昱文：和平行四边形一样，都是 ，因为它也是由两块最小的三角形组成的。席昊：我们还从角的度数出发研究了各块板，七巧板中七块板的角的度数只有三种：45度，90度，135度（演示度数）。生：刚才我举手了没提问到我，我对刚才的汇报有个问题可不可以现

15、在问？师：可以。生：两个最大三角形的面积占总面积的几分之几？张哲铭：占总面积的 。生：你们刚才说七巧板中一共有三种度数对吗？（对）七巧板拼成的图形中一共有几种度数呢？王嘉鑫：也是只有三种度数，分别是45度，90度，135度。【评析：学生从“七巧板”由三角形、正方形、平行四边形三种图形构成出发，研究了垂直和平行的关系、各种图形所占面积的大小、角的度数等问题，说明学生在课下进行了深入细致地研究。】师：通过刚才第二小组的汇报老师发现，他们在课下一定下了很多功夫，研究出了那么多内容。其实，老师也非常喜欢研究七巧板，玩七巧板拼图，看老师拼的小人还会跳舞呢。这些小人的头部占整个小人的几分之几？生：小人头部

16、的面积占小人总面积的 。师：为什么占 呀？生：因为头部小正方形占整体图总面积的 ,而拼图后面积没变。师：一副七巧板里面竟然有那么多学问，而且都和我们的数学有关系，随着同学们年龄的增长和知识的增加，老师相信你们一定能发现七巧板里更多的数学奥秘。3、第三研究小组汇报展示：七巧板的制作师：在课下研究的过程中，有同学认为：七巧板这么神奇，我们能不能自己做一副七巧板呢？第三研究小组将带领同学们走进七巧板的制作世界，我们来听听他们的想法。李秉辰：大家好，我们小组研究的是七巧板的制作，第一种方法是画格法。我们发给大家方格纸，请大家跟着我们一起做。（出示画格法步骤图）第一步，首先在纸上画一个正方形；第二步，把

17、正方形分为十六个小方格；第三歩，再从左上角到右下角画一条线；师：我想请问研究小组同学，你们发给同学们方格纸，他们应该从哪一步开始呢？李秉宸：从第三步开始。师：同学们就从第三步开始。李秉宸：第四步，在上面的中间连一条线到右面的中间；第五步，再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了；第六步，再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了；第七步，从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四分之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停了；第八步，把它们涂上不同的颜色，你就有一副全新的七巧板了。同学们还有什么疑问吗？生：制作七巧板的时候应该注意些什么呢？陈方会：这个问题我来回答，制作七巧板的

18、时候要注意（指制作图）这条线是这条线的 ，做的时候要找线的中心点，然后连接。还有其它几条线也要先找到中心点，然后连接。生：我对你的回答很满意。【评析：学生对于“七巧板”的制作回答很详细，学生很满意。可别小看学生的评价“很满意”，一般来说，学生对于同伴的回答，都带着挑剔的眼光，当他感到“很满意”时，说明学生对这个小组的研究实在是无可挑剔，也说明学生在课下进行了大量、深入的研究。】生：难道只有这一种做七巧板的方法吗？陈方会：还有一种制作七巧板的方法，是折纸法（投影演示折纸法步骤）第一步，先裁一个正方形；第二步，把正方形沿角对折，裁成两个一样的三角形；第三步，把其中一个三角形沿角对折，裁成两个相同的

19、三角形；第四步，剩下的是一个等腰三角形，在等腰三角形的两条腰上找到中心点，连接得到一个三角形，裁下来，剩下的是一个梯形；第五步，将梯形对折，得到两个相同的直角梯形；第六步，再把其中一个梯形分成一个三角形和一个正方形；第七步，把另外一个三角形分成一个平行四边形和一个小三角形，第八步，涂上不同的颜色，七巧板就做成了。同学们对我们的汇报有什么疑问吗？生：用折纸法的时候应注意什么呢？有什么窍门吗？陈方会：要注意折的时候要对齐，不要折偏了，注意准确度。再就是要注意训练自己手指的灵活度。师：她把这个窍门都告诉你们了，满意吧，同学们？生：满意。生：折纸法一共有几步？陈方会：我们一共展示了八组图形，所以我们把

20、它分为八步。生：那画格法有几步呢？李秉宸：画格法也有八步。生：用画格法做七巧板简单还是用折纸法做七巧板简单呢？李秉宸：每种方法都有它的优点。师：同学们通过刚才的体验，你觉得哪一种更简单，更好呢？说说你的理由。生：折纸法可以直接裁下来，而划线法还要剪下来，容易剪歪。所以折纸法更好。生：我觉得折纸法简单，因为折纸法用的工具少一些。师：老师也有跟你一样的想法。生：我觉得画格法比较标准。陈方会：你们是用的现成的方格纸，所以你们才会觉得画格法简单。【评析：学生的这些交流，老师没有任何引导，都是自发的提问与解答，而且是在思维的深层方面进行互动交流，说明学生养成了善于倾听、全员参与研究的好习惯。】师：我们一

21、起用掌声感谢制作小组的同学。（全体鼓掌）生：我觉得画格法比较简单，但是也有缺点，就像刚才同学说的，划线的时候如果不直就会画偏。还有，画格法剪的时候可能会剪偏。师：他替大家总结了一下，真不错。生：我觉得折纸法更方便一些。师：跟刚才那位同学们想法一样。生：刚才同学说的折纸法是简单，不过一定要对齐，不然就不标准了。师：说得好。生：除了这两种方法，就没有别的方法做七巧板了吗？陈方会：由于我们搜集的资料有限，时间也有限，我们就不在这里给大家介绍了。生：有第三种方法，可以用木头做。陈方会：我反对你的说法，用木头做有危险性而且还有技术含量，所以不太适合我们小学生。师：你同意他的说法吗？生：同意。【评析：学生

22、大胆陈述，相互质疑，勇于挑战，气氛热烈。学生自有学生的看法，允许有不同的想法存在，只要学生自己感到方法是最优的，不必过于统一。这样既培养了学生的思辩能力，又培养了学生的语言表达能力和逻辑思维能力。】师：用木头怎样做七巧板我们留到以后再研究，好吗？谢谢七巧板制作小组的汇报。在这里老师还要告诉大家一个秘密，探究小组手里拿的七巧板都是这一小组同学的作品，让我们再次用热烈的掌声感谢他们的劳动。师：同学们，七巧板有什么用处呢？生：可以用来拼图。师：七巧板到底能拼成什么图，除了拼图之外七巧板还有什么用处呢？第四小组的同学将带给大家更多七巧板的魅力和神奇。4、第四研究小组汇报展示：七巧板的用途韩子慧：我们觉

23、得，七巧板这么巧妙、好玩，它除了拼图之外，一定还有很多用途，我们通过上网查资料，发现七巧板一共有三种用途：第一种，七巧板可以用来拼人或物，这些图案很风趣，有一定的艺术价值；第二种：七巧板可以开发孩子的智力，如手眼协调能力等；第三种：七巧板可以用来研究数学等。许怡然：七巧板可以拼出千变万化的图形，如：烛台、稻草人、小兔、锤子、风景、字母等。（逐一展示拼图）请问同学们有什么疑问吗？生：七巧板可以拼成数字吗？韩子慧：可以，我们就拼出了两组数字，数字3和数字9。（展示拼图）师：看他们拼得像吗？生：像。生：七巧板可以用来当建筑工具吗？韩子慧：我觉得你提的这个问题好像不太对吧？你的意思可能是七巧板可不可以

24、用在建筑这方面。师：你同意她说的吗？生：同意。韩子慧：七巧板的用处非常多，它在建筑方面，比如说在盖房子的时候应该是有用的。你对我们的回答满意吗？生：满意。生：刚才同学说在工程上用到七巧板，请问七巧板在其他方面还有什么用处吗？韩子慧：七巧板的用途很广，在我们看来，七巧板应该还有很多用途，但在这里我们主要就介绍这三种。师：她们在这里只介绍三种，其他的用途你们在课下继续交流，好吗？生：我还有一个问题，第一组同学说一副七巧板可以拼成1600多种图形，你们也用七巧板拼了一些图形，请问，在这1600多种图形中，哪种图形的面积是最大的？韩子慧：七巧板不管怎么拼，它的面积都和原来的整体图面积相等。生：刚才第一

25、小组说用七巧板可以拼成1600种图形，这1600种图形全部是由七块板组成的吗？韩子慧：对，全部都是由一副七巧板组成的。赵晶：我们还研究了用七巧板拼几何图形。长方形，（展示拼图）用其中的两块大三角形斜边对在一起成一个正方形放在左边，中号三角形的斜边紧靠大三角形的直角边，然后上面放那个平行四边形和小三角形，下面放小三角形和正方形就成了。韩子慧：（展示拼图）平行四边形，只需把两个大三角形按上面的方法一左一右相反放在由那些小东西组成的正方形的两边就行了。赵晶：（展示拼图）三角形，只要把两个大三角形按上面的方法一个在那些小东西组成的正方形上边，一个放在侧边就可以组成一个最大的三角形。韩子慧：（展示拼图）

26、我们组还拼了五边形和直角梯形。下面，哪位同学能用最短的时间拼出一个五边形呢？试一试吧。师：同学们利用我们手中的七巧板试一试。韩子慧：可以参考大屏幕上的图形。师：有一个小组已经拼完了，你要过去检查一下吗？韩子慧：看一下吧。这位同学拼得非常标准，我想问一下，你能只挪动一块板，就把它变成直角梯形吗？师：其他同学也可以试一试。韩子慧：这位同学的方法和我们是一样的，你只要把上面五边形大三角形拿下来放在旁边，就可以拼成一个直角梯形了。师：你们同意吗？生：同意。生：我想给你们提个建议，你们在介绍拼图的时候说得并不详细，比如在说拼平行四边形的时候，中间的那个正方形你们并没有说出是怎样拼成的。师：你的意思是说，

27、她们在说怎样拼正方形的时候介绍得不详细，对吗？生：对，没有说明方向，如果方向不对，胡乱拼就不能拼成一个正方形了。韩子慧：正方形的拼法，我们在介绍拼长方形的时候已经详细介绍过了，如果你听得不够清楚的话，我们还可以给你再讲一遍，需要吗？师：你们可以在课下再交流一下。生：我想问一下，七巧板可以拼成等腰三角形吗？韩子慧：应该是可以的，但是具体可不可以我们还要试一下。师：同学们，七巧板可不可以拼成等腰三角形，动脑想一想，动手拼一拼。韩子慧：可以拼成等腰三角形。只要把两个大三角形按照刚才的方法一左一右放在由其它五块板拼成的正方形的旁边就可以了。生：我还想问一个问题，你们怎么能确定这是一个等腰三角形呢？韩子

28、慧：我们在课下的时候用尺子量过了，它的两条腰是相等的。师：老师可以帮他们分析一下吗？因为两个大三角形是完全一样的，所以他们的斜边也是完全一样的，所以有两条边相等的这个三角形是等腰三角形。生：七巧板一共可以拼成1600多种图形，它们一共可以分为几类？韩子慧：大致可以分为人物类、动物类还有机械类。生：你们说有那么多种图形，能给大家展示一下吗？师：他们小组拼成的图形刚才已经给大家展示过了，一会儿由老师来给大家展示更多的图形，好吗？生：好。师：谢谢第四小组精彩的汇报。（鼓掌）师：实际上，七巧板在生活中还有很多用途，比如说可以做书橱，一个书橱可以像摆七巧板一样摆出不同的样式。（课件展示各种拼图）七巧板拼

29、成的图形也有很多，同学们请看，可以拼成动物类，有马、企鹅、长嘴狗等，还有人物类，有跑步的人、渔夫、搬运工，有机械类的飞机、船、桥等等。七巧板不光可以拼图还可以讲故事呢，看这就是一个守株待兔的故事（课件展示守株待兔故事）。其实，七巧板还可以做动画片呢，信不信？（播放七巧板小动画）【评析：学生从自己的角度进行思考，总结了“七巧板”的用途，介绍“七巧板”可以拼成的图案、图形等等，符合学生的研究特点，看起来比较散，结构也不很清晰，恰恰说明老师对于学生的研究没有包办代替，让学生用自己的眼光看待课题研究。】（三）总结师：同学们，拿起你的七巧板，看着它，你有什么话要说？张哲铭：七巧板你拼成的图形真多。安祥丞：七巧板你的历史太悠久了。李敏：七巧板我太喜欢你了。汪嘉鑫：七巧板你的用途太广了。李秉宸：七巧板太奇妙了，我非常喜欢你。陈方会：七巧板里的数学奥秘可真多，真值得我们去研究。韩子慧：七巧板，虽然我们今天已经研究了你的很多知识，但是你还有许许多多的奥秘我们还没有去研究，以后我一定会继续研究你的。师：同学们说得太好了，我们一定会继续研究七巧板的。对吗？生：对。师：同学们请看，大屏幕上显示的