2016-2017学年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课时训练新人教A版必修4

1、PAGE PAGE 123.2简单的三角恒等变换1半角的正弦、余弦、正切公式（1）半角的正弦公式在公式中用来代替，得到公式，即_.（2）半角的余弦公式在公式中用来代替，得到公式，即_.（3）半角的正切公式由于，则_.上述三个式子称为半角公式（不要求记忆），符号由所在象限决定.2三角函数的积化和差、和差化积公式（1）积化和差公式；.（2）和差化积公式；.3辅助角公式，其中，此公式我们称为辅助角公式.利用辅助角公式,可将形如的函数转化为形如的函数,此形式可方便研究函数的性质，此过程蕴含了化归思想.参考答案：1（1）（2）（3）重点三角函数式的化简、求值和证明难点三角恒等变换中角的变换易错求三角函数

2、值时公式选用错误一、辅助角公式的应用依据题中的函数形式，正确转化为辅助角公式的形式是一种化简方法，也为解决复杂三角函数解析式的有关性质问题提供了一个解题方向.【例1】（2015福建）已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度.()求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；()已知关于的方程在内有两个不同的解（1）求实数m的取值范围；（2）证明：【解析】()将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，从而函数的图象的对称轴方程为()（1）（

3、其中）.依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.（2）方法一：因为是方程在区间内的两个不同的解，所以，.当时，当时, 所以方法二：因为是方程在区间内的两个不同的解，所以，.当时，当时, .所以.于是二、三角恒等变换1.三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，基本方法是统一角，统一三角函数的名称.2.三角恒等式的证明实质上是消除式子左、右两边的结构、角、函数名等的差异,有目的地化繁为简.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换、公式变形等. 3.三角函数求值主要有两种类型，即：（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关

4、系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式；（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.【例2】已知sin=1213,sin+=45,与均为锐角,求cos2.【解析】因为02,所以cos=1-sin2=513.又因为02,02，所以0+，若0+2，因为sin+sin,所以+不可能.故2+，所以cos+=-35.所以cos=cos+-=cos+cos+sin+sin=-35513+451213=3365,因为02，所以024.故cos2=1+cos2=76565.【例3】求下列各式的值：（1）cos8+cos38

5、-2sin4cos8;（2）sin 138-cos 12+sin 54.【解析】（1）cos8+cos38-2sin4cos8=2cos8+382cos8-382-2cos8=2cos4cos8-2cos8=2cos8-2cos8=0.（2）sin 138-cos 12+sin 54=sin 42-cos 12+sin 54=sin 42-sin 78+sin 54=-2cos 60sin 18+sin 54=sin 54-sin 18=2cos 36sin 18=12.三、求三角函数值时错选公式【例4】若cos -cos =12,sin -sin =-13,求sin(+)的值.【错解】由2+

6、2得2-2cos(-)=1336,cos(-)=5972.由2-2得cos 2+cos 2-2cos(+)=536,即cos(+)2cos(-)-2=536.把cos(-)=5972代入上式,得cos(+)=-513,sin(+)=1-cos2(+)=1213.【错因分析】错解中无法判定sin(+)的符号,因而对所得结论也无法验证其正确性,解题时应恰当选择解法,合理选用公式.【正解】将两式左边和差化积,得-2sin+2sin-2=12,2cos+2sin-2=-13,由得sin-20,于是,得tan+2=32,sin(+)=2tan+21+tan2+2=1213.【名师点睛】在解决有关三角函数

7、求值问题时，不同的思路与方法求出的值可能不同，但是最终的结果应该相同，因此应该避开含有正负号的公式，灵活、恰当地选择公式求解.1若cos=-35,32,则tan2=A2B12C-2D-122若2,则化简1-cos(-)2的结果是Asin2Bcos2C-cos2D-sin23在中,若B=45,则cos Asin C的取值范围是A-1,1B2-24,2+24C-1,2+24D24,2+244若当x=时，f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cos的值为A255B55C-255D-555若，则.6等腰三角形的顶角的正弦值为513,则它的底角的余弦值为.7函数y=sin(2+x)cos(6-x)

8、的最大值为.8已知|cos |=35,且520),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.（1）求的值；（2）求f(x)在区间,32上的最大值和最小值. 16（2016山东）函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x sin x）的最小正周期是ABCD217（2016北京）已知函数f（x）=2sin x cos x+ cos 2x（0）的最小正周期为.（I）求的值；（II）求f（x）的单调递增区间.18（2015安徽）已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.1C 【解析】32，2234，tan20，.故选C.2C 【解析】2,22,cos20,

9、则原式=|cos2|=-cos2.故选C.3B 【解析】在中,B=45,所以cos Asin C=12sin(A+C)-sin(A-C)=24-12sin(A-C),因为-1sin(A-C)1,所以cos Asin C,故选B.4C 【解析】由题意知, fx=sinx-2cosx=5sinx+，其中,cos=55，sin=-255，当x=时，f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则sin+=1,即sin-2cos=5,所以sin=2cos+5,因为sin2+cos2=1,所以cos=-255.选C.50 因为，所以.62626或52626【解析】设等腰三角形的顶角为,则底角为-2,由题意可

10、知=513,所以=1-(513)2=1213,所以cos-2=sin2=1-cos2=112132,所以cos-2=2626或52626.734+12【解析】方法一：y=sin(2+x)cos(6-x)=cos x(cos6cos x+sin6sin x)=32cos2x+12cos xsin x=34(cos 2x+1)+14sin 2x=34+12.所以函数y=sin(2+x)cos(6-x)的最大值为34+12.方法二：根据积化和差公式得y=sin(2+x)cos(6-x)=12sin(2+x+6-x)+sin(2+x-6+x)=12sin23+sin(2x+3)12(32+1)=34+

11、12.8【解析】|cos |=35,523,cos =-35,5420,cos=2550,所以的终边落在第一象限,2的终边落在第一、三象限.所以tan20,故.12B 【解析】在中，sinAsinB=cos2C2=1+cosC2=1-cos(A+B)2=12(1-cosAcosB+sinAsinB)cosAcosB+sinAsinB=1, cos(A-B)=1, A-B(-,)，A-B=0，即.是等腰三角形.故选B.13【解析】由题意可知为第二象限角.原式.14【解析】因为左边=sin2(B+C)+1-cos2B2-1-cos2C2=sin2(B+C)+12(cos 2C-cos 2B)=si

12、n2(B+C)+sin(B+C)sin(B-C)=sin(B+C)sin(B+C)+sin(B-C)=sin(B+C)2sin Bcos C=2sin Asin Bcos C=右边,所以原命题成立.15【解析】（1）f(x)=32-3sin2x-sin xcos x=32-31-cos2x2-12sin 2x=32cos 2x-12sin 2x=-sin(2x-3).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4,又0,所以22=44,因此=1.（2）由（1）知f(x)=-sin(2x-3).当x32时,532x-383.所以-32sin(2x-3)1.因此-1f(x)32.故f(x)在区间,