青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题1(附答案详解)

1、青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题1（附答案详解）1 .如图，在平行四边形 ABCD中，EF / AB交AD于E,交BD于F, DE: EA=3: 4, EF=6,贝 U CD 的长为（）A. 14B. 17C. 8D. 122.如图，直角 ABC中，/B=30,点点E,过点E作EFXAB交BC于点F,是ABC的重心，连接 CO并延长交AB于偻AF交CE于点M ,则竺?的值为（）乳F2班C. yD.333.如图，直线l J/ l 2/ l 3,直线AC分别交l 2, l 3于点D, E, F. AC与DF相交于点H,且l1, l2, l3于点A, B, C;直线

2、DF分别交l1,AH=2, HB=1, BO5,则的值为（）4.如图，在 ABC中，点D、EAB、AC 上，DE/BC, AD : DB 1:2,那么S：ADE ：S ABC 的比值等于（） du5.下列各组图形中不一定相似的是（A.各有一个角是45。的两个等腰三角形B.各有一个角是60。的两个等腰三角形C.各有一个角是105 的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形6.如图，在矩形 ABCD中，AB=2 , BC=3 .若点E是边CD的中点，连接 AE,过点B作BFXAE交AE于点F,则BF的长为Rc33振A . B.25.如图，在 4ABC 中，A 60 , BE &AEF和 ABC的周长比

3、为().AA .后 2B, 1:2.如图，已知在RtAAEC中，ZC = 9重心，则点P到久B所在直线的距离等于(第5坳)A. 1B. 近.如图，止方形 ABCD的边长为4cm, 作直线分别与 AD、BC相交于点P、Q.ADSJ*()C叵D空CD55三、CF分别是AC、AB边上的高，连接EF ,C. 3:4D. 1: 40: , AC = BC，B = 6 ,点P 是RtAABC 的 ()C. ：D. 2E为CD边的中点，M为AE的中点，过点 M 若PQ-AE,则AP等于cm.10.如图，已知： CAB DEB,贝BD- CA=11 .如图， ABC中，AE交BC于点D, /C=/E, AD

4、= 4, BC=8, BD： DC = 5: 3, 则DE的长等于.EAG，.如图，在SBCD中，E、F分别是AB、AD的中点，EF交AC于点G ,则 的值AC.如图，正方形ABCD内接于。O, AD=2 ,弦AE平分BC交BC于P,连接CE,则CE的长为.如图，直线11412 / 13,等腰直角三角形 ABC的三个顶点 A, B, C分别在11, 12,13上，ACB 90 , AC交12于点D,已知11与12的距离为1, 12与13的距离为3,AB则的值为BD.如图，在四边形 ABCN, /A=/B,点E为AB边的中点，/ DEC=/ A.有下列结论:DE平分/ AECCE平分/ DEBD

5、E平分/ ADCEC平分/ BCD其中正确的是.(把所以正确结论的序号都填上).如图，DE是ABC勺中位线，DC BE相交于点 Q O屋2.则BE的长为.如图，在 RtABC中，/ C=90 , AC=4cm, BC=5cm,点 D在边 BC上，且 CD=3cm, 现有两个动点 P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点 P以1cm/s的速度沿AC向终 点运动；点 Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE/ BC交AD于点E, 连接EQ设动点运动时间为 ts (0vt1时，四边形EQDP!归够成为平行四边形吗？请说明理由；(2)连接PQ在运动过程中，不论 t取何值，总有PQ与AB

6、平行.为什么？(3)当t为何值时， EDQ为直角三角形？C3.如图，已知 AC LAB, BD AB , AO = 78cm , BO = 42cm, CD = 159cm,求 CO 和19.已知正方形ABCD的对角线AC , BD相交于点口 .(1)如图1, E , G分别是OB , 0C上的点，CE与DG的延长线相交于点F .若DF_LCE,求证：OE = OG;(2)如图2, H是BC上的点，过点H作EH-LBC ,交线段0B于点E ,连结DH交CE于点F,交0C于点G .若0E上。，求证：匚ODG=-OCE；当AB = 1时，求HC的长.(第四篇)20.如图，在那BC中，AB=8cm,

7、 BC=16cm,动点P从点A开始沿 AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为 4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时 4QBP与4ABC相似？21 .如图，在 ABC 中，ADXBCDEXAB, DFXAC,垂足分别为点 D、E、F.(1)求证：AD2 AE AB；(2)联结 EF,求证：AE BC EF AC .如图，AD是 ABC7卜角/ EAC勺平分线，AD与 ABC的外接圆交于点 D, AC, BD相交于点P,连接CD.求证：AB： BD= BP： PC.已知，在 ABC中，三条边的长分别为 2, 3, 4, ABC的两边长分别为1, 1.5, 要使

8、 ABCA ABC ,求 A BC中的第三边长.如图，CD是。的弦，AB是直径，CDLAB,垂足为P,求证：PC2= PA PBD参考答案A【解析】. DE: EA=3: 4,DE: AD=3: 7.: EF / AB, e EF :AB=DE :AD=3 : 7,AB=6X73=14.四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=14.故选A.D【解析】试题分析：点O是4ABC的重心，.OC= CE, ABC是直角三角形，CE=BE=AE ,. Z B=30 ,Z FAE= Z B=30 , / BAC=60 , . . / FAE= / CAF=30 , ACE 是等边三角形 /.CM= -CE

9、, .-.OM=- CE- - CE=-CE,即 OM= AE , BE=AE , . . EF= AE ,232663 EFXAB , Z AFE=60 , . . / FEM=30 , MF= - EF, .MF=MEaE,26二 4 Jr=F=故选 D .叱西AE 36考点：三角形的重心；相似三角形的判定与性质；综合题.D试题解析：= AH=2 , HB=1 ,AB=3 ,11 / 12/ 13,DE AB 3EF BC 5故选D.D解:. AD: DB=1: 2, AD: AB=1 : 3, DE/ BC, ADEA ABC, z. Si|ADE ： S1ABe =1 du:9.故选D

10、.A【解析】【分析】判定三角形相似的方法：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似.【详解】解：A、由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；B、不正确，因为没有指明这个45。的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；C、正确，已知一个角为 105 ,则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似

11、来判定这两个三角形相似.故选B.【点睛】本题考查学生对常用的相似三角形的判定方法的掌握情况，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法.B【解析】试题分析：如图，连接 BE.二.四边形ABCD是矩形，AB=CD=2 , BC=AD=3 , / D=90 ,在 RtAADE 中，AE=TT = J： 一 =/ ,SzlABE =- S 矩形 ABCD =3=q？AE?BF,BF= -2L.故选 B.考点：相似三角形的判定与性质;矩形的性质.7. B【解析】BAC 60AC BEAB CF ,ACFABE 30BEC BFC 90 , 1OBFs|OCE ,OFOE OFOBOBOC OE .sin

12、30OC又 FOE BOC,FOEs BOC,.空 1BC 2 又.尤AE 1AC AB 2sC AEF 1CABC 2CD=3,8. A试题分析：如图，根据三角形的重心是三条中线的交点，根据等腰直角三角形可知 可连接CP并延长交AB于D,则/CDB=90，连接BP交AC于点E,并延长到F,使EF=PE, 然后可知AEFCEP,可得/FAD=90 , CP=AF=3-DP ,因此可根据两角对应相等的两PD SDPD 3三角形相似，可得 ABPDABFD,即 丁二二一，由此得到二=-,解得PD=1.AF Al3 P口 6故选：A.考点：1、三角形的重心，2、等腰直角三角形，3、相似三角形的判定与

13、性质1.5 或 2.5【解析】过P作PNXBC,交BC于点N,如图所示:贝叱 PNQ=/APN=90 ,四边形 ABCD为正方形，边长为4cm, E为CD边的中点, . AD=DC=PN=4 , /D=90 , DE = 2;AE=4222 2 5,在 RtAADff口 RtAPNCfr,AE ADPQPN. .eAD窜Rt APNQ( HL),./DAEW NPQ./APQ+NPQ=90 ,. / APQ+DAE=90 ,./AMP=90 ,M为AE的中点，1 . ，一 AM=- AE = V5 , 2/ AMP= / D=90 , / PAM= / EAD , .APMsAED ,AP A

14、M口口 AP5一，即7=，AE AD 2AABD 的中位线，.EF/DB,且EF = 1DB,AEFAADB, 任 如2AD AOEF AE 1AG 1, -, AGDB AD 2AO 2= GO,又 OA=OC, . AG: GC=1 : 3, . AG: GC=1 : 4,故答案为:点睛：考查了三角形的中位线，平行四边形的性质的应用，主要考查学生的推理能力.13.2、5【解析】试题分析：根据题意可知 AB=2 BP=1,根据勾股定理可知 AP=/5 ,根据图像可得: ABP和4CEP相似，则-PC- CE,即 / CE ,解得：CE=2匹. AP AB .525点睛：本题主要考查的就是圆的

15、基本性质以及三角形相似的应用.解决本题的关键就是能够根据题意得出三角形相似，然后根据相似的性质求出未知线段的值.在解答圆中的相似问题时，我们一定要学会根据弧和角之间的关系得出角相等，然后再利用相似进行计算.在圆里面的很多题目我们需要通过转化成直角三角形来进行求解14.返如图所示，过点 A作AF 13于点F ,交直线12于点G .所以 ADG ACF ,又 DAG CAF ,&ADGsacf ,.AD AG 1AC AF 4 拓1-故 AD -AC . 4设 AD x ,则 AC BC 4x ,在RtABC中，由勾股定理得，AB Jac2 BC2 4 4x 24x 472x ,DC AC AD

16、3x.在RtBCD中，由勾股定理得BD JCD2 BC2 3x 247T 5x ,西 AB 4、2x 4.2故BD 5x 5点睛：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，学会添加适当的辅助线，构造出相似三角形， 能综合运用定理进行推理是解此题的关键.【解析】试题分析：在 ADE中，/ADE廿AED廿A=180 ,又/ AED廿DEC4 BEC=180 ,可得/ ADE+ / AED+ / A = / AED+ / DEC+ / BEC ,由 / A= / DEC ,可得/ ADEW BEC 又ZA=Z B,根据两角对应相等的两三角形相似，可得 ADEsB

17、EC,可得匹 生，又EC BCAE=BE得到DE 霹，又/ DEC=Z B,根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似， 可知ACDEs CEB ,然后根据相似三角形的对应角相等，可得/ DCE= / BCE,因此EC平分/BCD即成立；同理4AD曰AEDC 因此DE平分/ ADC即成立；而DE平分/AEC不一定成立；CE平分/ DEB不一定成立.故答案为：.6.【解析】试题分析：根据中位线的性质可得：DE/BC, DE= - BC ,则DOEsCOB,则2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark66 o Current Document OEDE1-,解得：OB

18、=2OE=4 ,则BE=OB+OE=4+2=6. HYPERLINK l bookmark69 o Current Document OBBC2点睛：本题主要考查的就是三角形相似的判定与应用以及三角形中位线的性质，解决本题的关键就是根据中位线的性质得出三角形相似.三角形的中位线平行且等于第三边的一半.一般相似三角形的判定定理：（1）、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等两三角形相似）；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）；（3）

19、、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似）.（1） （2）见解析（3）当t=2.5秒或t=3.1秒时， ED汕直角三角形.【解析】(1)先根据点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动求出1秒后AP及BQ的长，进而可得出QDM的长，再由PEE/ BC可知APACPECD 故可得出PE=QD由PEE/ BC即可得出结论;PC CQ(2)先用t表不出PC及CQ的长，再求出 一即可得出结论;AC BC(3)分/ EQP=90 , /QED=90两种情况，通过三角形相似，列出比例

20、关系，求出 t的值即可.解：(1)能,如图1,点P以1厘米/秒的速度沿 AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒,.AP=1 厘米，BQ=1.25 厘米，,. AC=4cm, BC=5cm,点 D在 BC上，CD=3cm, .PC=AG AP=4 1=3 （厘米）,QD=BO BQ- CD=5- 1.25 - 3=0.75 （厘米）, PE/ BCPE 丘 /口一，解得 PE=0.75,.APm AACD,AP PE1 1,AC CD 4 4 PE/ BG PE=QD四边形EQD混平行四边形;（2）如图2,点P以1厘米/秒的速度沿 AC向终点C运动，点Q以1.

21、25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，PC=AG AP=4- t , QC=BC BQ=5- 1.25t ,PC 4 t t CQ 5 1.25t / t一 1- 1 -，AC44BC 54,PC CQAC BC 又/ C=Z C,.CP贺 ACAB/ CPQg CABPQ/ AB;(3)分两种情况讨论：如图3,当/ EQD=90 时，显然有 EQ=PC=4 t ,又 EQ/ AC.EDQo AADC,EQ DQ AC DC .BC=5 厘米，CD=3 厘米，.BD=2 厘米，.DQ=1.25t- 24 t 125t 2土1.25t 2 ,解得=2.5 （秒43如图4,当/QED=90时，作

22、EM/LBC于M, CNLAD于N 则四边形 EMC屋矩形，EM=PC=4t,在 RtACD中，.AC=4 厘米，CD=3 厘米，AD=AC2 CD2 =5，.c AC CD 12 CN= AD 5 /CDAW EDQ /QED=C=90 ,.EDQ ACDA.DQEQ EM TOC o 1-5 h z ADACCN ,1.25t 25 4 t一 ）512解得t=3.1 （秒）.综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时， EDQ为直角三角形.“点睛”此题是四边形纵综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判定出 APAACID解（2）的关键

23、是判断出PC CQ，解（3）的关键是用分类讨论的思想解决问题.AC BCCO 103.35cm,DO55.65cm【解析】试题分析：根据题意，易证 |AOCs|bDO ,根据相似三角形的判定与性质，列出比例式 即可解得co和do的长.试题解析：设DO xcm,则CO 159 x cm.；AC AB,BD AB, A B 90, AOC BOD.&AOCS&BOD.AO CO .BO DO即Z8 15942 xx 55.65.CO 103.35cm, DO 55.65cm.点睛：两组角对应相等，两三角形相似.(1)证明见解析(2)证明见解析史二1【解析】试题分析：(1)根据正方形的性质，可根据三

24、角形全等的判定( ASA)与性质求证即可；(2)同(1)中，利用上面的结论，根据 SAS可证的结论；设CH=x ,然后根据正方形的性质和相似三角形的判定与性质可得,然后列方HC CD程求解即可.试题解析：(1)证明：二四边形ABCD是正方形AC BD , OD=OC/ DOG= / COE=90./ OEC+Z OCE=90 DFXCE./ OEC+Z ODG=90/ ODG= / OCE. DOGA COE (ASA)OE=OG(2)证明：-. OD=OC , /DOG=/COE=90又 OE=OG. DOGA COE (SAS)/ ODG= / OCE解：设CH=x,四边形ABCD是正方形

25、，AB=1BH=1-x/ DBC= / BDC= / ACB=45 EHXBC/ BEH= / EBH=45EH=BH=1-x / ODG= / OCE / BDC- / ODG= / ACB- / OCE/ HDC= / ECH EHXBCEHC= / HCD=90. CHEA DCH.EH HCHC CDHC2=EHCD得 x2+x-1=0解得.与招=考口（舍去）- HC- v- HC-3、相似三角形的判定与性质，4、考点：1、正方形的性质，2、全等三角形的判定与性质, 解一元二次方程. 2秒或0.8秒【解析】试题分析：设经过t秒时,以 AQBC 与 AABC 相似，贝U AP=2t,BP

26、=8-2t, BQ=4t,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当BP BQ g时,BA BCBPBPQs/ BAC 当BC试题解析：设经过t秒时,BQ时，BPQsBCA.BA以 AQBC与祥BC相似，则 AP=2t,BP=8-2t, BQ=4t,. / PBQ=Z ABC,.当史BA8 2t8BPBQ j 人时，BPQsBAC,BC4t一，解得 t=2 (s);16BQBC BA8 2t 4t时，ZBPQc/3ABCA,168综合上述，经过,解得 t=0.8 (s);2秒或0.8秒时，4QBC与AABC相似.见解析【解析】 试题分析：（1）证明 AEDs ADB即可得出结论;（2）通过证明 EAFsCAB即可.试题解析：证明：（1） DE AB, ADXBC.AED BDA又 EAD DAB .|AEDsaDB .AEAD2 AD2 AE AB.(2)同(1)可得：AD2