2022年余弦定理习题课参考教案

1、112 余弦定理授课类型： 习题课【教学目标】1 把握余弦定理的推导过程,熟识余弦定理的变形用法；2 较娴熟应用余弦定理及其变式,会解三角形,判定三角形的外形；【教学重、难点】重点：娴熟应用余弦定理；难点：解三角形,判定三角形的外形；【教学过程】【学问梳理】1.余弦定理：1形式一：a2b2c22 bccosA；b2a2c22 accosB；c2a2b22 abcosC.形式二：cosAb2c2a2；2 bccosBa2c2b2；2 accosCa2b2c2.（角到边的转换）2ab2.解决以下两类问题：1）、已知三边,求三个角； （唯独解）2）、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角；（唯独

2、解）2 2 2a b c A 是直角 ABC是直角三角形3.三角形 ABC中 a 22 b2 2 c 22 A 是钝角 ABC是钝角三角形a b c A 是锐角 ABC是锐角三角形4.解决以下两类问题：1）、已知三边,求三个角； （唯独解）2）、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角；（唯独解）【典例应用】题型一 依据三角形的三边关系求角例 1已知 ABC中,sinAsinBsinC 3 1 3 110 ,求最大角 . 解： a sinA b sinB c sinCksinAsinBsinCabc 3 +1 3 110 设 a 3 1k,b 3 1k,c10 k k0就最大角为a2b2c2

3、 2ab 3 12 3 122 3 1 3 1 10 21 2C120 .评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,这一转化技巧,应娴熟把握 .在三角形中,大边对大角,所以角 C最大；变式训练 1在 ABC中,如abcbca3 bc,就 A 6002A900B600C1350D1500解：abc bca3 bc bc2a23 bc ,c2a21,Ab22 ca23 bc ,cosAb2bc2答案： B题型二：题型二已知三角形的两边及夹角解三角形x223x20的两根,例 2.在 ABC 中, BC =a , AC =b

4、,且 a , b 是方程2cosAB1；（1） 求角 C的度数；（2） 求 AB 的长；（3）求 ABC的面积；评析：在余弦定理的应用中,留意与一元二次方程中韦达定理的应用；方程的 根往往不必直接求出,要充分利用两根之和与两根之差的特点；变式训练 1 在 ABC中,Ao 60 ,AC16,面积S2203,求BC的长2. 钝角 ABC的三边长为连续的自然数,求三边的长；题型三：判定三角形的外形例 3.在ABC 中,如b2sin2C2 csin2B2 bccosBcos C ,试判定ABC 的外形 .解： 方法一 ：由正弦定理和已知条件得：sin2Bsin2Csin2Csin2B2sinBsinC

5、cosBcosC , sinBsinC0, sinBsinCcos cos C ,即 cosBC0,B、C为ABC 的内角, BC90o ,A90o故ABC 为直角三角形 .方法二：原等式变形为：b21 cos2Cc212 cosB2 bccosBcosC ,即：2 bc2b22 cosCc22 cosB2 bccosBcosC ,由余弦定理得：b2bc2b2a22 bc22c2a2cc2b222bca22 cb2a2b2c22ab2ac2ac2 ab故2c2a2b2c2a22b222 bc2a24a2ABC 为直角三角形 .评述：判定三角形的外形,一般是从题设条件动身,依据正弦定理、余弦定理

6、进行边角变换, 全化为边的关系或全化为角的关系,系,然后利用平面几何学问即可判定三角形的外形；变式训练 2导出边或角的某种特别关1.在 ABC中,如 2cosBsinA=sinC,就 ABC的外形肯定是（）D.等边三角形A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形解：由 2cosBsinA=sinC得a2c2b2a=c,a=b.ac答案： C2. 在ABC 中, bcosAacosB,就三角形为（）c2b2D. 等边三角形A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形解：由余弦定理可将原等式化为：bb2c2a2a a22bc2ac即2b22a2,ab答案： C典例训练 1在 ABC中,如C

7、900,a6,B300,就cb等于（）A1B1C23D232如 A 为 ABC的内角,就以下函数中肯定取正值的是（）AsinABcosACtanAD1Atan3在 ABC中,角A B 均为锐角,且cosAsinB,就 ABC的外形是（A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形4等腰三角形一腰上的高是3 ,这条高与底边的夹角为0 60 ,就底边长为（A 2B3C 3D2325在 ABC 中,如b2asinB,就 A 等于（）A0 30 或600B0 45 或600C0 120 或600D0 30 或15006边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（）A900B1200C1350D15007.在 ABC中,如acosAbcosBccosC,就 ABC的外形是什么8在 ABC中,求证：abc cosBcosA