2014高中数学 答疑解惑 回归分析 北师大版选修2-3

1、 word回归分析答疑解惑一.回归含义探究“回归”一词是由英国生物学家 F.Galton 在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。如根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X 记父辈身高，Y 记子辈身高。虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，X 和 Y 之间存在一种相关关系。一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高.依此推论祖祖辈辈遗传下来,身高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈的身高有向中心回归的特点,“回归”一词即源于此。不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用于许多领域的广泛的分析研究方法，

2、在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。二.如何认识相关关系研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：（1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正2方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S x 就是函数关系。即对于边长 x 的每一个确定的值，都有面积 S 的惟一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系.（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅

3、读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些。（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。例如正方形面积 S 与其边长 x 间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计。相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况。因此研究相关关系，不仅可使我们处理更

4、为广泛的数学1 / 4 方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。四应用回归分析解决问题的一般步骤12345678身高/cm体重/kg1651756448解：1、选取身高为自变量 x，体重为因变量 y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画2 / 4 它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上如下图，所以不能用一次函数 y=bx+a 描述它们关系。中国GDP散点图120000D199219931994199519961997199819992000200120022003年我们可以用线性回归模型

5、来表示：y=bx+a+ ，其中 a 和 b 为模型的未知参数， 称为随机误差。根据最小二乘法估计a 和b 就是未知参数 a 和 b 的最好估计，n x y nx yii 0.849 85.712a y bx于是有 b=i1n x nx22ii1 0.849 85.712.所以回归方程是 yx所以，对于身高为 172cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重为y 0.849 72 85.712 60.316kg .对以上案例提出问题问题 1.身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗？答：身高为 172cm 的女大学生的体重不一定是 60.316kg，但一般可以认为她的体重

6、在60.316kg 左右。问题 2.产生随机误差项 的原因是什么？随机误差 的来源(可以推广到一般）：(1)、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；(2)、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；(3)、身高 y 的观测误差.问题 3. 线性回归模型与一次函数的不同：事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重 和身高 之间的关系并不能yx3 / 4 用一次函数 来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻y bx a画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为 165cm 的 3 名女大学生的体重分别为 48kg、57kg和 61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的 3 名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果 （称 为随机误差或残差变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型 y bx a，其中变