函数的易错点分析

1、函数的纠错笔记易错点一：求定义域忽视细节致误。例题1： (1)求函数f(x) Jx2 5x 6 _(X=iL的定义域。 x |x|(2)求函数y Jog；x 2的定义域。错因分析：(1)忘了分析。的。次无意义，导致在定义域中多了解；(2)把看成是真数减2, 即由得真数且，所以，另外出现忽略真数大于零的错误：如由，得。正解分析：(1)由函数解析式有意义知x2 5x 6 0 x 3或 xx 1 0 得 x 12即0 x 1或x 3或x 2故函数的定义域是0,1 U 1,2 U 3, TOC o 1-5 h z log1 x 2 011(2)由2,解得0 x 所以函数定义域是0,-x 044误区分析

2、：求函数定义域，关键是依据含变量的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定非负；对数式中的真数是正数； 涉及到对数或指数不等式的求解， 应依据单调性来处理。变式练习：已知函数f(x)的定义域为a,b ,求函数f(3x1) f(3x 1)的定义域。错因分析:理解错f(x)的定义域与f (3x 1) f (3x 1)的定义域之间的关系，致使f(3x 1)函数的定义域由 a 3x 1b得，函数f(3x 1)的定义域由a 3x 1 b得,这样得到的定义域就是3a 1,3b 1a 1a 3x 1 bq正解分析：由，解得 3a 3x 1 b a 13b 1x 3 ,又函数的定义域不可

3、能为空集，所b 1x 3a 1 b 1以必有 x ，即b a 2此时，函数的定义域为33误区分析：复合函数中定义域的求法： 在复合函数中，外层函数的定义域是由内层函数决定 的，即已知f g(x)的定义域为 a,b ,求f(x)的定义域方法是利用 a x b,求得g(x)的范围即为函数 f(x)的定义域。而已知 f(x)的定义域 a,b ,求函数f g(x)的定义域,即由a g(x) b求出x.易错点二：函数单调性判断错误求下列函数的单调区间：(1) yx2 2|x| 1 ； (2) y |x2 2x 3|错因分析：这两个函数可以通过去掉绝对值化为分段函数，但是易错点有：去绝对值出错;单调区间出

4、错或求错易把第一个函3, 一x2 2x正解分析：(1) y 9 x 2x调增区间为 ，1 , 0,1 ,单2(2)若 x 2x 3 0 ,得若 x2 2x 3 0 ,得 x(x 1)2 4( 1 x 3)y ,、2,(x 1) 4(x1或 x :21(x 0)即 (x 1) ，即y21(x 0)(x 1) HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 周递减区间为 1,0 , 1,。21 x 3,此时函数y x1或x 3 ,此时函数y x2画函数图像得函数单调增区间为2(x 0)画出函数图像得单2(x 0)2x 3 (x 1)2 4,2x 3 (x 1)2

5、4 。即1,1和3,，单调减区间为 ，1和1,3误区分析：带绝对值的函数实质就是分段函数，对于分段函数的的单调性，有两种判断方法之一：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画分段函数的图像，结合函数的图像和性质进行直观判断， 在研究函数问题离不开函数图像，函数图像反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”。学会从函数图像上去分析问题，寻找解决问题的方法，对于函 数的几个不同的单调递增 (减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调 递增(减)区间即可。易错点三：求函数奇偶性的几种常见错误判断函数

6、的奇偶性：(1) f(x)(3) f(x)f(x)f(x).1 x2. x2 1x2 x(x 0)x2 x(x 0)错因分析：解本题出现的几种错误是：求错定义域或是忽视定义域，函数奇偶性概念的前提 条件不清，对分段函数的奇偶性判断方法不对等。1 x -正确解析：(1)由 0,的定义域为1,1 ,关于原点不对称，所以函数 f(x)为非奇1 x非偶函数。得,函数f(x)既是奇函数又是偶函数。f(X)1 X202X2 1 0 X 11 f(x) 0f (x)既是奇函数又是偶函数。1 X2 0X2 2得到函数得定义域为 1,0 U 0,1,2 lg(1 X ) (X2 2) 22clg(1 X )1g

7、 1 ( X ) lg(1 X )一 Q f ( X) 22 f(X)XXX所以函数f(X)为偶函数。(4)当 X 0 ,则 X 0 , f( X)(X)2 XX2 X f (x)当 x 0,贝Ux 0, f ( X) ( x)2 xX2 X f (x)。综上所述对任意的X ()，都有 f ( X) f (X)。所以函数f(x)为奇函数。误区分析：函数奇偶性的判断方法：首先看函数定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件定义域关于原点对称，如果不具备函数为非奇非偶函数，若关于原点对称的前提下，再由函数奇偶性定义进行判断， 在用定义判断时注意自变量在定义域中的任意性，再由函数定义分四类：函数为非奇非偶

8、函数，函数既是奇函数又是偶函数，函数为偶函数，函数为奇函数。易错点四：抽象函数的推理不严谨致误设函数f(x)是定义R在上的函数，对任意 m,n (,)恒有f (m n) f (m)gf (n),且当x 0时0 f(x) 1。(1)求证：f(0) 1 (2)求证：x (,)时，f(x)0 (3)求证：f (x)在R上是减函数。1错因分析：忽视条件导致论证不严谨或推理论证错误，这样在(1)中就会出现f(1) 0的可能，此时无法确定 f(0)的值，(2) (3)中就缺少了推理论证的依据，导致不严谨和错误。1 一 1 一 1 一一 1正确解析：(1)取 m 0,n 3,则 f0) f ()gf(0),

9、因为 f1)0,所以 f(0) 1。设x 0,则x 0,由条件可知f( x) 0,又因为 1f(0) f(x x) f(x)gf ( x) 0,所以f (x) 0。所以当 (，)时，恒有f(x)0。(3)设 2X2 ,则f(Xi)f(X2)f(Xi) f(X2Xi Xi)f(Xi)f(X2 Xi)gf(Xi)f(x1)1f(X2Xi)因为 XiX2,所以 X2Xi 0,所以 0f(X2Xi) 1即1 f(X2Xi) 0。又因为 f(X1) 0,所以 f(X1)g1 f(x2 X1)0。所以f(Xi) f(X2) 0 ,即该函数f (x)在R上是减函数。误区分析；解答抽象函数问题注意用赋值法找到

10、函数的不变性质，而这个不变性质往往使问题解决的突破口，注意推理的严谨性，每一步的推理都要有充分的条件，不可漏条件，更不能臆造条件。变式练习：若f(X)是定义在 0, 上的增函数，且对于 X 0满足f(2) f (x) f(y)。y(1)求f(i)的值,(2) f(6) 1试求不等式f(x 3) f(-) 2的解集。 x易错点五：基本初等函数性质不清致误 _X 1已知函数 f(x) log2 log2(x 1) log2(p x),x 1(1)求函数f(x)的定义域。(2)求函数f(x)的值域。错因分析：(1)求函数定义域时先化简函数的解析式再求定义域。 函数、二次函数的性质，分类讨论不准确致误

11、。(2)求值域时易用错对数正确解析：(1)由题意得 0X 1XX 1 0 ,即 X1X 1,即 。函数定义域为 1,pX pX 1(2) f(x) log2 rvx i)(p x)10g2 (x 1)(p x) log 22X (p 1)x p令 tx2 (p 1)x p(X2 p 1)2 (p 1)24g(x)g(p) t g(i)即0 t 2p 2当T1 1即1 p 3, t在1,p上为单调减函数, p 1所以 f(x) 1 log2( p 1),函数的值域为(,1 10g2(p 1)。(P 1)241 u p 1当 22 ，即 P 3, g(p) t g(-)，即 0 tP 12f(x)

12、 2log 2(p 1) 2,函数的值域为(，2log2(p 1) 2)由上分析得：当1 p 3时，函数的值域为(,1 log2(P 1),当p 3时，函数的值域为(，2log2(p 1) 2)。误区分析：函数定义域是只是函数有意义的自变量的取值范围，当函数解析式可以化为另一个解析式时，定义域也会随之发生变化， 所以变形时注意等价性。 注意函数定义域不是空集 求函数的值域时注意正确使用基本初等函数的性质是关键环节。易错点六：函数的零点定理使用不当致误函数f(x)=mx2 2x 1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是A ,1 B ,0 U 1 C ,0 U 1 D ,1错因分析：解本题易出现的错误是分类讨论应用不当，零点定理应用不当。1正确斛析：当m=0时，x 一为函数的零点；2当m 0时，若0,即m 1时，x 1是函数的唯一零点，若0,显然x 0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x) = mx2 2x 1=0有一个正根和一个负根，即 mf(0) 0,即m 0