数值分析第一章课件

1、 数值分析 庄伟2022/8/22112022/8/2212 第一章 绪论 1.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学中最基本的内容.它研究如何用数值计算方法求解各种基本数学问题以及求解过程中出现的收敛性、数值稳定性和误差估计等问题.数值分析所阐明的各种数值计算方法是从事科学计算的最基本工具.2022/8/2213 1.2 误差知识与算法知识 1.2.1 误差的来源与分类 误差是影响精确度的一种量.误差按它们的来源可分为以下四种:模型误差 反映实际问题有关量之间关系的计算公式,即数学模型,通常只是近似的.由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间的误差称为模型误差.2022/8/22142.

2、观测误差 实际问题中包含的某些参数(如时间、长度、温度等等)往往要通过人们的观测而获得.由人们的观测得到的数据与实际的数据之间是有误差的.这种误差称为观测误差.2022/8/2215 求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种近似的方法,那么只能得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为截断误差. 例如在泰勒展式公式中f(x)可表示为: 3. 截断误差2022/8/2216这里的最后一项为拉格朗日型余项:就是截断误差.2022/8/2217 4. 舍入误差 由于计算机的字长有限,参加运算的数据以及运算结果在计算机上存放会产生误差.这种误差称为舍入误差. 例如所产生的误差就是舍入误差. 本课程中主要

3、研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响.2022/8/2218 1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字 设a是准确值x的一个近似值,记称e为近似值a的绝对误差,简称误差.如果的一个上界已知,记为 ,即则称 为近似值a的绝对误差限或绝对误差界,简称为误差限或误差界.2022/8/2219准确值x、近似值a和误差限 三者的关系为:或记为 例如, 作为圆周率 的一个近似值,它的绝对误差是而2022/8/22110所以, 作为 的近似值,它的一个误差限为 下面我们看相对误差 .记 称 为近似值a的相对误差.因x未知,实际上总把 作为a的相对误差,也记为2022/8/22111 的上界,即称为近似值a

4、的相对误差限或相对误差界.显然有 看书上例题1, 2. 规定:凡是由准确值经过四舍五入而得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位,而与该末位数字无关.2022/8/22112 定义: 设数a是数x的近似值,如果a的绝对误差限是它的某一位的半个单位,并且从该位到它的第一位非零数字共有n位,则称用a近似x时具有n位有效数字. 若绝对误差限为则有定义知, a有n位有效数字. 从有效数字的定义可知,由准确值经四舍五入得到的近似值,从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字.同一个准确值的不同近似值,有效数字2022/8/22113越多,它的绝对误差和相对误差都越小. 要注意2.14和2.1

5、400的区别,前者有三位有效数字,后者有五位有效数字. 注意:准确值的有效数字可看作有无限多位,后面有无限多个零. 看书上例3. 有效数字与准确数字的区别.2022/8/22114 1.2.3 函数求值的误差估计 设 存在足够高阶的导数, a是自变量x的近似值,则 是函数的近似值.如果 且比值不很大,则由泰勒公式可得 的误差估计为2022/8/22115因故近似值 的一个误差限为 如果且比值 不很大,则的误差估计为:2022/8/22116 下面我们看多元函数求值的误差估计.设n元函数 充分可微, 是 的近似值(i=1,2,n)则是函数值的近似值.由多元函数泰勒公式可得 的误差估计为:2022

6、/8/22117 (1.1)如果 全为零或全都很小,则要使用泰勒公式中的高阶项. 设a和b分别是准确值x和y的近似值,则a+b,a-b,ab,a/b 分别是x+y,x-y,xy,x/y的近似值.根据式(1.1),可得2022/8/22118可得2022/8/22119而看书上例4,5.2022/8/221201.2.4 算法及其计算复杂性 算法在计算机上执行时,为了减少舍入误差的影响,设计算法时应遵循一下一些原则:1.要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播.2.两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的计算结果的失真.3.要尽量避免两个相近的近似值相减,以免严重损失有效数字.4.除法运算中

7、,要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值.2022/8/22121 1.3向量范数与矩阵范数1.3.1 向量范数 向量范数是用于定义向量大小的量,又称为向量的模.定义:定义在 上的实值函数 称为向量范数.如果对于 中的任意向量x和y,满足(1)非负性: 当且仅当x=0时,|x|=0;(2)齐次性:对任一数 有(3)成立三角不等式:2022/8/22122定理1.1 对 中的任一向量记:则 都是向量范数.证: 是向量范数是显然的,下面只证是向量范数. 条件(1)是显然的. 对任一数 ,有2022/8/22123因此 满足定义中的条件(2).由 的定义,可用内积表示 为: 任取一向量 ,则有

8、根据Cauchy-Schwarz不等式可知因而 满足定义中的条件(3).证毕.2022/8/22124称 为1-范数; 为2-范数; 为 -范数.更一般的p-范数为: 为正整数.定理1.2: 设 是 上的任二种范数,则存在与x无关的常数m和M(0mM),使下列关系式成立:(证明略). 由定理1.2可知,同一向量的不同范数间可比较大小.当不指明那一种范数时,用 泛指任一种向量范数.2022/8/221251.3.2矩阵范数 矩阵范数是用于定义矩阵“大小”的量,又称为矩阵的模.定义: 定义在 上的实值函数 称为矩阵范数.如果对于 中的任意矩阵A和B,它满足 当且仅当 时,(2)对任一数 ,有(3)

9、(4)2022/8/22126定义: 对于给定的向量范数 和矩阵范数 ,如果对任一个 和任一个 满足则称所给的向量范数与矩阵范数是相容的. 当定义一种矩阵范数时,应当使它与某种向量范数相容.在同一个问题中要同时使用矩阵范数和向量范数时,这两种范数应当是相容的. 下面定理给出了定义矩阵范数的方法.定理1.3:设在 中给定了一种向量范数,对任一矩阵 令则由(1.2)定义的 是一种矩阵范数,并且它与所给2022/8/22127定的向量范数相容.证:先证相容性.对 和任意的非零向量由于所以有对于 显然也成立. 下面再证(1.2)满足矩阵范数的四个条件.(1)当 时, 当 时,必有2022/8/2212

10、8(2)对任一数 有(3)对任意的矩阵 下式成立,(4)证毕.2022/8/22129 称(1.2)所定义的矩阵范数为从属于所给定向量范数的矩阵范数,又称为矩阵的算子范数.设给定的向量范数为 则从属于向量范数 的矩阵范数仍记为 即其中 又称 为矩阵A的p-范数. 由定理1.3可知.矩阵的p-范数与向量的p-范数相容,即对任意的 和任意的 有定理1.4:设 则2022/8/22130其中 表示矩阵 的最大特征值.证:对于1-范数,设 矩阵A可表示为其中 设 则取向量 它的元素1位于第r个分量,显然 且2022/8/22131于是有对于2-范数,设向量 满足因 是正定或半正定的,故它的全部特征值 非负,设并设相应的标准正交特征向量为 因而存在实数 使2022/8/22132并且有由此可推出取 则有 以及所以 对于 -范数,设向量 满足又设 则取向量 则有2022/8/22133这里符号函数又因所以 证毕. 置其中 称为F-范数,又称为Euclic范数,也可记为 可以证明 与向量范数 相容,即2022/8/22134也可以证明, 满足矩阵范数定义的四个条件.注意:矩阵范数 不从属于任何向量范数,它不是算子范数. 单位矩阵I任何一种算子范数都有定理1.5: