复变函数试题及答案

1、一、填空题（每小题2分）1、复数 &2 2i的指数形式是2、函数w = 1将Sz上的曲线x 1 2 y2 1变成Sw（w u iv）上 z的曲线是3.若 1 ez 0 ,则 z =4、5、2 i2积分 z 2 dz =6、2一 ，1积分2 i Isin z , dzz7、幕级数n 0. n _n i z的收敛半径R二8、z 0是函数1ez 1奇点z9、Res z 1 z 110、将点，i,0分别变成0,i,的分式线性变换w 二、单选题（每小题2分）1、设为任意实数，则2、A无意义C是复数其实部等于 卜列命题正确的是（A i 2iD是复数其模等于13、,11C仅存在一个数z,使彳31z卜列命题正

2、确的是（）B零的辐角是零1 -D - z iziA函数f zz在z平面上处处连续B如果f a存在，那么f z在a解析C每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛D如果v是u的共腕调和函数，则u也是v的共腕调和函数4、根式3n的值之一是（）A 13A i22Bi2一 L D i 22225、下列函数在z 0的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）i1sin z1ctg_B cosC e zD Lnzz TOC o 1-5 h z 6、下列积分之值不等于0的是()A dzdz- dzdzA-oBTC - D |z|1z 3|z| 1z 1ziz 2z 4|z 18sz227、函数f z arctanz在z 0

3、处的泰勒展式为（）2n2n 1A 1 n ( z1)B 1 n ( z1)n o 2n 1n 0 2n2n 12nC 1n 蒲() D 1n|-(z1) n 0 2n 1n 0 2n8、幕级数 （1）n1z2n在z 1内的和函数是（ n 011 z21 z2z2 111 z29、设 a i, C: z i =1,则 cosz-dz(C a iA 0 B iC 2 ieeD icosi10、将单位圆z 1共形映射成单位圆外部 w1的分式线性变换是（“i z a , 八Awe （ a 1） 1 az八i z aC w e （ a 1）z a三、判断题（每小题2分）1、（）对任何复数z,z2B w

4、ei z -a (a 1)1 azri z aD w e = (a 1)z az2成立2、（）若a是f z和g z的一个奇点，则a也是f z g z的奇点3、（）方程z7 z3 12 0的根全在圆环1 z 2内54、（ ）z= 是函数f z-2的三阶极点1 z5、（）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分）1、已知 f z x2 axy by2 i(cx2dxyy2)在 Sz上解析，求 a,b,c,d 的值2、计算积分lzl5z2z(zdz一 ，,z 1 ，人一，一，一“，、，.一一3、将函数f z 在z 1的邻域内展成泰勒级数，并指出收敛范围z 14、计算实积分2dx (x2 1)(

5、x2 4).、1，一 、一一，、，、5、求f（z） 在指定圆环2 z i内的洛朗展式1 z6、求将上半平面Im z 0共形映射成单位圆w1的分式线性变换w L z ,使符合条件L i 0, L i 0五、证明题（每小题7分）1、设（1）函数f （z）在区域D内解析（2）在某一点 z D 有 f（z。）0, （n 1,2,）证明：f（z）在D内必为常数2、证明方程ez 5zn 1 0在单位圆z 1内有n个根一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）一 i13 (2k+1) i ,(k=0,1, 2),1 4e -,6 0 ,7上，8 可去， 9 e , 1013.22z 二单选题（

6、每小题2分，共20分）1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C三判断题（每小题2分，共10分）12345,2 u 22k9 A 10 A(k=0, 1, 266四计算题(每小题6分，共36分)1解：u2-U 2xaxy by , v2 cx12dxy yuxvy 2x ay dx2yuyVxax 2by2 cxdy5分解得：a d 2,b2解：被积函数在圆周的2内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1Res f (z)z 05z 2(z 1)2Res f (z)z 15z 2zl5z 2I i 2 z(z 1)2Az 13 解：f z dz= 2i(-2+2)=01 L-z 11

7、2 4分(|z 12)4解：被积函数为偶函数在上半一阶极点i,2i 1x2dI=-22dx2(x21)( x24)z平面有两个1.=-2 i Resf (z) Resf (z)3分z 2i2z2z(z(zi)(z24) 1)(z 2i)5 解：f(z)1(z i)(z i)_11=(z i)2 1 2Lz i1(Z i)2n(1)n0(2i)n(z i)n6解:w=L(i)=kzi z i2i(z i)2w L (i)0 k i五证明题(每小题7分，共14分)1 证明:设 k : z z R(k D)f (z)在z0解析f (7c )由泰勒止理 f (z)-(z zo)(z kn o n!D)

8、由题设f(n)(zo)0f(z) f(z0) , (z k D)由唯一性定理f (z) f(z0) (z D)2 证明：令 f (z) 5zn ,(z) ez 1f z及 z在z 1解析z 1 上，f z 5zn 5z ez 1 ez 1 ez 1 e 1 5故在z 1上f z z ,由儒歇定理在z 1内N(f zz, z 1) N(f z , z 1) n, , 1分3分6分2分3分4分6分 2分4分, , 7分2分4分, , 7分一、填空题（每小题2分）21、-cos5isin5 3的指数形式是cos3 isin32、ii=3、若 0r1,则积分 ln 1 z dz zl r4、若v是u的

9、共腕调和函数，那么v的共腕调和函数是 5、设z 0为函数f（z）=z3 sin z3的m阶零点，则 m =6、设z a为函数f z的n阶极点，那么Res f z = z a f zn7、幕级数 乙的收敛半径R= n 0 n!u 1 一，.8、z 0是函数z sin的 奇点z9、方程z7z3 12 0的根全在圆环 内10、将点，i,0分别变成0,i,的分式线性变换w 二、单选题（每小题2分）1、若函数f z在区域D内解析，则函数f z在区域D内（）B存在任意阶导数D存在有限个点不可导）A在有限个点可导C在无穷多个点可导2、使z2 |z2成立的复数是（A不存在 B唯一的C纯虚数 D实数3、cosz

10、Izl 2 (1 z)2dzA i sin1 B i sin1C -2 isin1 D 2 isin14、根式Vi的值之一是（）sin z 用5、z 是的（）A可去奇点B 一阶极点 C 一阶零点D本质奇点6、函数f z0为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=（）A 1B 27、下列函数是解析函数的为（.22c.A x y 2xyiC 3D 4)B x2 xyi2233C 2(x 1)y i(y x 2x) D x iy8、在下列函数中，Resf z 0的是()ez 1z 0sin z 1z z11ez 1 z八. sin z coszC f z z9、设 a i, C: z i =1,则 cc

11、osldz(C ,a iC 2 ieD icosi10、将单位圆z 1共形映射成单位圆外部 w1的分式线性变换是A w ei z -a (a 1)1 azB w ei z -a (a 1)1 azC w eiD weiz a一(a 1) z az a一(a 1) z a三、判断题（每小题2分）1、（）幕级数 zn在z1内一致收敛 n 02、（ ）z=是函数1 COsz的可去奇点 z3、（）在柯西积分公式中，如果a D,即a在D之外，其它条件f 7不变，则积分dz 0, z Di C z actg14、（）函数f z e z在z 0的去心邻域内可展成洛朗级数5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算

12、题（每小题6分）1、计算积分x y ix2 dz, C: i 1 + i 的直线段2、求函数fz2在所有孤立奇点（包括 ）处的留数z 13、将函数f,在z i的去心邻域内展成洛朗级数，并指出收敛域 z i4、计算积分dz2y 2y 1，5、计算实积分da cos(a 1)6、求将单位圆1共形映射成单位圆w 1的分式线性变换w L z满分14得分使符合条件 五、证明题（每小题7分）1、设函数f z在区域D内解析，证明：函数也在D内解析12n11f(n 1,22n2n、一一 , 一一 12、证明：在z 0解析，且满足的f 2n 1函数f z不存在2i一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）2k(k=0,土)，3 0,8本质，910单选题1 B（每小题2分，共20分）2 D 3 C 4 D 5 A10 A判断题（每小题2分,四计算题（每小题6分, 1解：C的参数方程为：共10分)4共36分)z=i+t, 0 tdz=dtix2 dz =it22解:zf z 一阶极点3解：fResfz 1Re1sfResfzz二阶极点4解：在C内f6分12i11 i2i1nA(0z i k于是所求变换z2- z122z 12z 2T分3分5分6分2分4分6分五证明题（每小题7分