材料力学第8章应力应变状态分析和结构讲解

1、材料力学第8章 应力应变状态分析和结构讲解引言在前面几章中，讨论了材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题。其共同特点是：一是材料的危险截面危险点只承受正应力或剪应力二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则但是，对于工程上的复杂结构危险点同时受正应力和剪应力作用，很难用实验确定极限应力如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？材料力学第8章 应力应变状态分析引言应力状态的基本概念平面应力状态应力分析极值应力与主应力应力圆复杂应力状态的最大应力平面应变状态应变分析各向同性材料的应力应变关系应变能计算材料力学第8章 应力应变状态分析 应力状态的基本概念1. 什么是应力状态？3. 描述一点应力状

2、态的方法 2. 为什么要研究应力状态材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的概念过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力的点的概念 同一截面上不同点的应力各不相同 横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FQ横截面上的剪应力分布横截面上的正应力分布FNxMz材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同FPFP受力之前,表

3、面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同受力之前,表面斜置的正方形 受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉后，正方形变成了菱形。FPFP材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同拉杆的斜截面上存在剪应力。材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同 受扭之前，圆轴表面为正圆。这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。 MxMx受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。

4、这是为什么？材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同拉中有剪根据微元的局部平衡材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同剪中有拉根据微元的局部平衡MxMx材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念 微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。应 力指明哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？哪个方向面？材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念应力状态的概念过一点、在不同方向面上应力的集合，

5、称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念 为什么要研究应力状态请看下列实验现象： 低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？低碳钢扭转实验铸铁扭转实验材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念 为什么要研究应力状态不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅要研究横截面上的

6、应力，而且也要研究斜截面上的应力材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念微元及其各面上一点应力状态的描述dxdydz微元（Element） 描述一点应力状态的基本方法 材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念三向（空间）应力状态( Three-Dimensional State of Stresses )yxz材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念 描述一点应力状态的基本方法 ( Plane State of Stresses )平面（二向）应力状态xy材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念 描述一点应力状态的基本方法 xyxy单向应力状态( One

7、 Dimensional State of Stresses )纯剪应力状态( Shearing State of Stresses )材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念 描述一点应力状态的基本方法 三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念F例：画出图示矩形梁在滑动铰支座右侧横截面内不同点的应力状态Qyz1123455432M材料力学第8章 应力应变状态分析应力状态的基本概念例2：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态1. 螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力FF2. 轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用M材料力学第8章 应力应

8、变状态分析8-2 平面应力状态分析 方向角与应力分量的正负号约定 微元的局部平衡 平面应力状态中任意方向面上的 正应力与剪应力 材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析拉为正压为负正应力：拉为正，压为负 方向角与应力分量的正负号约定 材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。剪应力： 方向角与应力分量的正负号约定 引入正负号之后材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析 方向角与应力分量的正负号约定 方向角q 由 x正向反时针转到x正向者为正；反之为负

9、。xydA材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析tyxx 平衡方程y 平衡对象用 斜截面截取的微元局部 参加平衡的量：力应力乘以其作用的面积 微元的局部平衡 xsx材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析tyxdAxsy材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析tyxdAxs材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析xdA根据 和 方向上的平衡条件：由三角倍角公式，可得到任意方向面上的正应力和剪应力：材料力学第8章 应力应变状态分析8-2 平面应力状态分析50701003070例题1：图示微元，表面正应力与剪应力已知。求法向与x轴正

10、向成30的斜面上所受正应力与剪应力。所示应力单位为MPa。解：材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 主平面、主应力与主方向 平面应力状态的三个主应力 面内最大剪应力 过一点所有方向面中的最大剪应力 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 主平面、主应力与主方向 主平面 （Principle plane）：剪应力 的方向面称为主平面，其方向角用 表示。由任意方向面上的剪应力公式：令得：材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 主平面、主应力与主方向 主平面上的正应力称为主应力（princ

11、ipal stress）。主平面法线方向即主应力作用线方向，称为主方向（principal directions）.主方向用方向角 表示。不难证明：对于确定的主应力，例如 ,其方向角 由下式确定请同学自己验证该公式材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 主平面、主应力与主方向 根据剪应力成对定理，当一对方向面为主平面时，另一对与之垂直的方向面（ ），其上之剪应力也等于零，因而也是主平面，其上之正应力也是主应力。 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 主平面、主应力与主方向 将上式对 求一次导数，并令其等于零，有 由此解出的角度这表明，主应力具有极值的性质，

12、即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。 由任意方向面正应力公式 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 主平面、主应力与主方向 需要指出的是，对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有剪应力作用，这种平面也是主平面。这一主平面上的主应力等于零。 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 平面应力状态的三个主应力 由主方向方向角公式：代入任意方向面正应力公式 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 平面应力状态的三个主应力 将以上三个主应力 按照代数值由大到小排列，并分别用 表示则

13、有：材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 平面应力状态的三个主应力 FFFFFF材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。x-y坐标系x-y坐标系- 坐标系 同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。其中，有没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？ 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 显然，用主应力表示的应力状态要比用一般应力分量表示的应力状态简单。用主应力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状态表面上是

14、不同的，但实质是相同的，即其主应力和主方向都相同。 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 面内最大剪应力 与正应力类似，不同方向面上的剪应力也是不同的。因此，存在一个方向面，使得该面上剪应力为极值。已知：令 面内最大最小剪应力：剪应力为极值时材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力思考：1. 正应力最大时的方向角 与剪应力最大时的方向角 有什么关系？2. 正应力最大的平面上剪应力是否一定为零？3. 剪应力最大的平面上正应力是否一定为零？4. 平面内最大剪应力是否是过一点所有方向面中剪应力的最大值？ B.

15、不一定5. 平面内最大正应力与最大剪应力之间有何关系？A.是5. 答：通过比较，可知 为确定过一点的所有方向面上的最大剪应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（1、2、3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。 考察微元三对面上分别作用着三个主应力（123 0）的应力状态。 过一点所有方向面中的最大剪应力 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 考察微元三对面上分别作用着三个主应力（1230）的应力状态。 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 过一点所有方向面中的最大剪应力 x=3,y=2，xy0这就是组方向面内的最大剪应力。 在平行于主

16、应力1方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与1无关。因此，当研究平行于1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态： 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 在平行于主应力2方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与2无关。因此，当研究平行于2的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态： x=1,y=3，xy0。 这就是组方向面内的最大剪应力。材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力x=1,y=2，xy0。 在平行于主应力3方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与3无关。因此，当研究平行于3的这一组方向面上的应力时，所研究的应

17、力状态可视为一平面应力状态： 这就是组方向面内的最大剪应力。材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力对任意一个应力状态，均可以找到一个特殊的方向角，使得微元上仅有三个主应力 作用。材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力例题2：图示圆杆分别采用低碳钢（a）和铸铁（b）进行扭转实验，低碳钢断裂面垂直于轴线，铸铁的断裂面与轴线成45角。试采用以上最大正应力与最大剪应力理论分析该两种材料不同的断裂特性。（a）（b）材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力解：圆杆扭转，微元为平面应力状态。取圆杆表面

18、微元，可知该微元的应力状态为纯剪。由知，最大剪应力的方向角s0与低碳钢的断裂面一致，所以低碳钢是剪力引起破坏。与铸铁的断裂面一致，所以铸铁这种脆性破坏是拉应力引起。由知，最大拉应力的方向角045材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力例题3：如图，薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用。圆管平均直径D50mm，壁厚2mm。外加力偶矩Me600Nm，轴向载荷Fp20kN。薄壁管截面的扭转截面模量可近似取为 。1. 求圆管表面上过D点与母线夹角为30的斜截面上的应力。2. 求D点的主应力与最大剪应力。材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力解：1. 取微元，利用拉伸和圆轴扭转

19、公式计算微元各面上的应力：2. 求斜截面上的应力，首先：则材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力解：3. 确定主应力与最大剪应力：根据最大主应力计算公式求得面内主应力另因为平面应力状态，有按照代数值大小排序，D点的三个主应力为：D点的最大剪应力为：材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 已知: 三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。例 题 4 试求：主应力及微元内的最大剪应力。材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力故微元上平行于 的方向面上的应力值与 无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力 和 时，可以将

20、所给的应力状态视为平面应力状态。 解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力这与平面应力状态相类似。于是，平面应力状态下主应力 和 公式可直接应用解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力 本例中 x=20 Mpa，xy=40 MPa。据此，求得 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力根据123的排列顺序，可以写出 微元内的最大剪应力 例 题 5已知:应力状态如图所示。解：1.确定主应力 试求：1写出主应力1、2、3的表达式； 2若已知x63.7 MPa，xy=

21、76.4 MPa，当坐标轴x、y反时针方向 旋转=120后至x、y ，求: x、xy 。 应用平面应力状态主应力公式 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力解：1.确定主应力 应用平面应力状态主应力公式 因为y0，所以有又因为是平面应力状态，故有材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力于是，根据123的排列顺序，得 材料力学第8章 应力应变状态分析8-4 极值应力与主应力解：2.计算方向面法线旋转后的应力分量 将已知数据x63.7 MPa，y0，xyyx=76.4 MPa，=120等代入任意方向面上应力分量的表达式 ，求得： 材料力学第8章 应力应变状态分析8

22、-4 极值应力与主应力材料力学第8章 应力应变状态分析本节作业：8-2: (b), (c)8-68-9材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 应力圆方程 应力圆的画法 应力圆的应用 三向应力状态的应力圆材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆由微元任意方向面上的正应力和剪应力公式两方程等号左右两边同时平方后相加： 应力圆方程 材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆应力圆方程：该方程描述了以 为横轴， 为纵轴的坐标系。这种圆称为应力圆（stress circle）或莫尔圆（Mohr circle）。应力圆的圆心位于横轴，圆心坐标

23、为：圆半径为：OR材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 二倍角对应半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。 转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力； 应力圆与微元应力状态的对应关系 材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆A点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；A材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆ADnxAD转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 二倍

24、角对应半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。 转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力； 应力圆与微元应力状态的对应关系 材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆Oca(sx ,txy)BBb(sy ,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径ABAABB 应力圆的画法 材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆Oca(sx ,txy)BBb(sy ,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径ABAABB再将上述过程重复一次（20, 0）例 题 6材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆40103020

25、某点处两截面应力如图（单位MPa），画出该点应力圆。 A (30, -20) B (40, 10)所以，图示两截面夹角135AB建立坐标系由面找点确定圆心和半径材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 应力圆特征点 OR面内极值正应力： 面内极值剪应力： 两个主平面的方向角相差： 主平面与极值剪应力平面的方向角相差： 在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。 应力圆的应用 材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆sxsxtxysxo245245BEADadcbeEEBB4545材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆拉中有剪的例子：ctxysxo2

26、45245adbesxsxEBEBsxsx材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆EBsxsx 轴向拉伸时，45方向面上既有正应力又有剪应力，正应力不是最大值，剪应力却最大。材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆otxysx245245sytsxtBEDAttd(0,-t )Ca (0,t )eb材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆剪中有拉的例子：sytsxtBEDAttsytsxtBE材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 在纯剪应力状态下，45方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。DAttsytsxtBE材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应

27、力圆txysxsytyxtxysxoadAD主平面（principal plane）：t = 0,与应力圆上和横轴交点对应的面。cbePBPE2qp材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆由应力圆找主平面，主应力：sxsytyxADtxyPEPBsstxysxoadcbe2qpss主应力（principal stresses）：主平面上的正应力。材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 应力圆在坐标轴 xy 的右侧，因而和均为正值。这种情形不具有普遍性。当x0或在其他条件下，应力圆也可能在坐标轴 xy 的左侧，或者与坐标轴 xy 相交，因此和也有可能为负值，或者一正一负。 材料力学

28、第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆txysxoadcbessadcbessadcbess材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 有几个主应力？txysxoadcbess材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆一点处的所有主应力：txysxoadcbess 有几个主应力？材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 主应力排序 s1 s2 s32qptxysxocbeadss材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆 对应应力圆上的最高点的面上剪应力最大，称为“ 面内最大剪应力” （maximum shearing stress in plane）。txysxocsst材

29、料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆材料力学第8章 应力应变状态分析8-3 应力圆1. 证明：对于确定的主应力，例如 ,其方向角 由下式确定2. 正应力最大时的方向角 与剪应力最大时的方向角 有什么关系？3. 正应力最大的平面上剪应力是否一定为零？4. 剪应力最大的平面上正应力是否一定为零？ 思考ACOBD材料力学第8章 应力应变状态分析本节作业：8-38-8材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力 考察微元三对面上分别作用着三个主应力（1230）的应力状态。 材料力学第8章 应力应变状态分析 三向应力状态的应力圆8-5 复杂应力状态的最大应力txysx由s2 、

30、 s3可作出应力圆 Is3s2IIs1s2s3 三向应力状态的应力圆材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力由s1 、 s3可作出应力圆IIIIs1 s3IIIs2s3txysxOs2s3s1材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力IIItxysxOs3由s1 、 s2可作出应力圆 IIIIIIs2s1IIIs2s1s3材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力s1IIIs3IIIs2Otxysx 微元任意方向面上的应力对应着三个应力圆之间某一点的坐标。材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力最大正应力：最大

31、剪应力：最小正应力：三向应力状态下：平面应力状态是三向应力状态的特例材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力 例 题 7obatmax20030050(MPa) 求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大切应 力tmax。AB材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力Ob2005030050(MPa)tmax 例 题 8 求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大剪应力tmax。aAB材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力O300100(MPa)tmax例 题 9 求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大切应力tmax。

32、abAB材料力学第8章 应力应变状态分析8-5 复杂应力状态的最大应力材料力学第8章 应力应变状态分析8-6 平面应变状态应变分析平面应变状态：构件内某点处变形均平行于某一平面材料力学第8章 应力应变状态分析8-6 平面应变状态应变分析平面应变状态分析的结论与平面应力状态分析的结论极其类似，只需将平面应力状态分析结果中的任意方向正应变和剪应变：材料力学第8章 应力应变状态分析8-6 平面应变状态应变分析OA应变圆：材料力学第8章 应力应变状态分析8-7 各向同性材料的应力应变关系11横向变形与泊松比 泊松比1xyx1x 广义胡克定律 材料力学第8章 应力应变状态分析8-7 各向同性材料的应力应变关系三向应力状态的广义胡克定律材料力学第8章 应力应变状态分析8-7 各