人教A版高中数学必修五 2.2等差数列课件

1、2.2 等差数列复习回顾:1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,简记作:an2.通项公式:数列an中第n项an与n之间的关系式 3.数列的分类(1)按项数分：有穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，无穷数列摆动数列，常数列。4.数列的实质5.递推公式: 如果已知an的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0，5， 10，15，20， 2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其

2、中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63.3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金(1+利率存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位

3、：元）组成一个数列：10072，10144，10216，10288，10360. 48, 53, 58, 6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072, 10144, 10216, 10288, 10360问题1：观察一下上面的这四个数列： 这些数列有什么共同特点呢？ 0, 5, 10, 15, 20 以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数1.等差数列：一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列; 这个常数叫做等差数列的公差， 公差常用字母d表示。二、新课讲解 2.等差数列定义的符号语言： an-an-1=d

4、， ( n2 )，其中d为常数 （ an+1-an = d nN+ ）（一）等差数列的定义： 如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，那么根据等差数列的定义可以得到以下结论：数列 为等差数列是不是不是 练 习 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，（2）9，6，3，0，-3（3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，（6）15，12，10，8，6，小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0

5、 1、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。 可以是整数，也可以是和负数。等差数列你注意到了吗？判断题(1)数列a，2a，3a，4a，是等差数列;(2)数列a2，2a3，3a4，4a5，是等差数列;(3)若anan+1=3 (nN*)，则an是公差为3的等差数列;(4)若a2a1=a3a2, 则数列an是等差数列。已知数列an是等差数列，d是公差，则：当d=0时， an为常数列；当d0时， an为递增数列；当d1)上述各式两边同时相加，得an-a1=(n-1)d方法2：由等差数列的定义可得叠加法又当n=1时，上式也成立an=a1+(n-1)

6、d(3)已知等差数列an的首项是a1，公差是d，通项公式是_;练习 （二）等差数列的通项公式：若等差数列an的首项是a1，公差是d，则 an=a1+(n-1)d二、新课讲解 课本P39.1，2例1：在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：这个数列的首项a1是-2，公差d =3.注: 等差数列的通项公式中 ，an , a1 , n,d这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。 学案P66.例1，变式三、例题例2. 在等差数列an中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10解：a10

7、=a1+9d=2+93=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：21=3+(n-1)2 n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解： a6=a1+5d，即27=12+5d d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：a7=a1+6d 8=a1+6(-1/3) a1=10例3. (1)等差数列8，5，2,的第20项是几？ (2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？ 如果是，是第几项？（2）由题意得，a1=-5，d=-4，an=-401 an=a1+(n-1)d -401=-5+(n-1)(-4) n=100 -401是这个数列的第100项解： （1）依题意得，

8、a1=8，d=5-8=-3 a20=a1+19d=8+19(-3)=-49三、例题例5.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费.令a1 =11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费 a11=11.2 (111) 1.2=23.2答：需要支付车费23.2元。三、例题

9、解：（1）依题意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 a25=a1+24d = -2+243=70例4.在等差数列an中， a5=10，（1）若a12=31，求a25 ；（2）若d=2，求a10；an=am+(n-m)d等差数列通项公式的另一种形式例.a10=a5+ d， a32=a99+ d.567二、例题三、新课设 an是公差为d的等差数列，那么(1) an=am+(n-m)d等差数列的常用性质12. 若xy，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2， b3，y各成等差数列，那么 练习:1. 等差数列an中, a2=5, a6= a3 +6,则

10、a1 =_7练习1. 在3与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则 插入这7个数中的第4个数的值为_2. 若an为等差数列,ap= q, aq=p(p q),则ap+q= _3. 在等差数列an中,已知am+n=A, am-n=B,则a2m = _150例6已知数列an的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数且p0，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断证：取数列an中的任意相邻两项an与an-1 (n2) ，则p是一个与n无关的常数 an是一个等差数列3.等差数列an的通项公式为an=p n+q 的图象的特征是 ; 数列的公差的几何意义是: . 1.数列an是等差数列 an=p

11、 n + q (p、q是常数)解：数列an是一个等差数列2.证明数列an是等差数列的方法: .证明：an+1-an= 常数.二、例题各项对应的点在同一条直线上.各项对应的点所在直线的斜率.如何判断一个数列为等差数列 (3) 已知数列an是等差数列， 求证：数列an+an+1 也是等差数列.（4）证明：若数列 与 是等差数列， 是等差数列吗？ 若 是公差为 的等差数列,则下列数列:(1) (c为任一常数)是公差为 的等差数列(2) (c为任一常数)是公差为 的等差数列(3) (k为任一常数, )是公差为 的等差数列若 分别是公差为 的等差数列,则数列 (p、q是常数)是公差为 的等差数列（4）去

12、掉前几项后余下的数列是等差数列吗？奇数项数列和偶数项数列仍是等差数列吗？等差数列的常用性质2已知数列 为等差数列，那么有若 成等差数列，则 成等差数列.证明：根据等差数列的定义，即 成等差数列.如 成等差数列， 成等差数列.推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）等差数列的常用性质2推论：已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m等差数列的常用性质2等差数列的常用性质

13、2已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，是等差数列首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，是等差数列首项为a2，公差为2d等差数列的常用性质2已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，a21，是等差数列首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，是等差数列首项为ak，公差为kd等差数列

14、的常用性质2已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列,公差为2d 数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，公差为3d。等差数列的常用性质2例：等差数列的常用性质3练习.在等差数列an中，(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8(3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？1015

15、例3 .在等差数列an中，a619 ,a15=46，求a4+a17的值(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.d= _2a14= _3d= 2a14= 31或不能注意：逆命题是不一定成立的；与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即等差数列的常用性质3推论判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多例4.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.解：设这三个数分别为a-d，a，a+d 则 (a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12 a=4 又 (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12 解得 d=2 当d=2时，这三个数分别为2，4，6 当d=-2时，这三个数分别为6，4，2二、例题练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数学案P69例1设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个数成等差数列，则可设为（3）若有五个数成等差数列，则可设为练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数例4.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.等差数列的常用性质4练习：1.已知 ，求 的值。解:2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10= 7. d=an+