实数高数教学课件1

1、 数学发展的几个历史阶段： 公元前600年以前是数学的形成时期. 公元前600年至17世纪中叶是初等数学时期.完整的几何知识；代数，三角、对数有了完整的系统理论，成为独立的学科.在这一时期中，一个重大的事件是无理数的发现. 17世纪中叶至19世纪20年代（数学发展的第三个时期）是变量数学时期. 这个时期，有两件大事，第一件是几卡儿引入了坐 标并建立了解析几何的观念.第二件是牛顿与莱布尼兹两人同时创立了微积分.引 言 19世纪至20世纪40年代是近代数学时期 . 产生了近世代数；微分几何、复变函数论、拓扑学形成了各自的体系 .20世纪40年代是现代数学时期. 计算机的发明形成和发展了许多应用数学

2、的学科.计 算数学、运筹与控制、数学物理、经济数学、概率论与数理统计，等等有了飞速的发展.一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束 二、如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习 , 天才在于积累 .学而优则用 , 学而优则创 .由薄到厚 , 由厚到

3、薄 .马克思 恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .华罗庚1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程主要内容多元微积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1-1 实数1. 有理数和无理数自然数 N: 1, 2, 3,整 数 Z: 有理数 Q:数域: 对加减乘除封闭的数集合.显然,有理数集合是一个数域.第一章 函数和极限证用反证法.假设 是有理数， 即存在两个正整数m及n,使得(m,n)=1,且对上式两边取平方，即得到这

4、表明 是偶数.设m=2 ,则有这又表明 是偶数，因此，m一定是偶数.从而 n 一定是偶数.既然 m与n均为偶数，那么2则是它们的公约数.这与(m,n)=1矛盾.证毕.命题1: 不是有理数. 无理数:无穷不循环小数 有理数可以表示成有穷小数或无穷循环小数，比如 反过来有穷小数或无穷循环小数一定是有理数，因此 我们认为无理数是无穷不循环小数. 因此，可以认为一个无理数是一串有理数无限逼近 的结果. 有理数与无理数统称为实数,实数集合记作R.2. 实数集合R的基本性质 (1) R是一个数域(2) 对乘法与加法满足交换律、结合律与分配律.(3)实数域是一个有序数域.ab与ba有仅只有一种情况成立.且有

5、(4)实数域 的完备性 (连续性)在实数域中,任意一个单调有界序列一定有极限.序列 有界 有 使得单调递增;实数域 完备性的一种刻画：单调递减.单调序列. 极限概念朴素的理解为： 在实数域中单调有界序列总有极限存在这一性质，体 现了实数域 的完备性.而在有理数域中这一性质不成立. 例如，一个逼近 的有理数序列；1.4,1.41,1.414, , 虽然它是一个单调有界序列，但在有理数域中却没有 极限存在. 区间介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点.开区间闭区间3. 数轴与区间左闭右开区间左开右闭区间注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间4. 绝对值不等式 数a-b的绝对值|a-b|在数轴上代表点a到点b的距离. 数 的绝对值 在数轴上恰好就是点 到原点的距离.o命题2对于任意的 我们有:(1) 其中等号当且仅当 时成立；(2)(3)证 （3）当 时， 当 时，当 时,令而命题3对于任意的实数 我们有：(1) 其中等号当且仅当 时成立；(2)(3)令及命题2即可证出证令则命