工程力学5讲解课件

1、第五章 轴向拉压杆件本章概述基本概念拉压杆的内力与应力许用应力与强度条件应变和变形轴压杆的稳定性 第一节 基本概念材料力学的任务：保证构件满足足够强度、刚度和稳定性的要求。材料力学的研究对象：变形固体，即在载荷的作用下都要产生变形的固体。弹性变形卸载后能恢复的变形塑性变形卸载后不能完全恢复的变形第一节 基本概念工程应用钢压杆钢拉杆受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。第二节 拉压杆的内力与应力一、内力1、内力定义：由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。内力第二节 拉压杆的内力与应力2、截面法（

2、1）相关定义轴向拉压杆截面上的内力称为轴力。截面法是求内力的一般方法。设一等直杆在两端轴向拉力 P 的作用下处于平衡，欲求杆件横截面 mm 上的内力PPmm第二节 拉压杆的内力与应力（2）截面法的具体过程截开代替平衡PmmPmmPFNX=0FN=P轴力第二节 拉压杆的内力与应力（3）轴力符号的规定PmmFN轴力方向背离截面，则规定为正号，称为拉力，产生轴向拉伸变形。PmmFN轴力方向指向截面，则规定为负号，称为压力，产生轴向压缩变形。第二节 拉压杆的内力与应力3、轴力图（1）轴力图的画法轴力图：表示轴力与横截面位置关系的图线。取坐标系。横轴x-横截面位置纵轴FN-轴力数值xFN按一定比例画轴力

3、图。正值的轴力画在x轴的上侧, 负值的轴力画在x轴的下侧。 +第二节 拉压杆的内力与应力（2）轴力图的意义反映出轴力与截面位置变化关系，较直观。确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。四、截面法确定轴力应注意的问题采用截面法之前，不能将外力简化、平移。FNPF在截开面上设背离截面的内力方向，即轴力方向为正值。FFFN第二节 拉压杆的内力与应力【例题】一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN解：求支座反力CABDE40kN55kN25kN20kNRX=0R+40-55+25-20=0R=

4、10kN第二节 拉压杆的内力与应力CABDE40kN55kN25kN20kNR用力的作用点将杆分段该杆分为：AB，BC，CD，DE四段。1RN1AB段N1=R= + 10kN(+)2BC段 R40KNN2N2= R+40=50kN(+)3CD段N320KN25KNN3= 20-25=-5kN(-)4DE段20KNN4N4= 20=+20kN(+)第二节 拉压杆的内力与应力CABD600300500400E40KN55KN25KN20KNN1=10kN （拉力）N2=50kN （拉力） N3= - 5kN （压力）N4=20kN （拉力）+10+50520+第二节 拉压杆的内力与应力二、应力实验

5、取一等直杆，在其侧面上画出许多与轴线平行的纵向线和与轴线垂直的横向线。PPPP所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与纵向线垂直。1、应力的概念第二节 拉压杆的内力与应力1、应力的概念结论各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同。平面假设 ：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。横截面上作用着均匀分布的正应力PFN第二节 拉压杆的内力与应力2、拉压杆横截面上的应力正应力的符号与轴力的符号相同。正应力轴力横截面面积当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力。当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力。第二节 拉压杆的内力与应力【例题】作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3

6、-3截面的应力，已知杆件均为圆杆，其中AB段直径为30mm，BC段直径为20mm，CD段直径为40mm。60kN40kN30kN50kN112233ABCDRX=0R+60-40+30-50=0R=0kNAB段N1=0kNBE段EN2=60kNEC段N2=20kNCD段N3=50kN第二节 拉压杆的内力与应力60kN40kN30kN112233ABCDE+60kN20kN50kN1-1截面2-2截面1MPa=1N/mm2=103kN/m23-3截面第二节 拉压杆的内力与应力3、拉压杆斜截面上的应力横截面-是指垂直杆轴线方向的截面。斜截面-是指任意方位的截面。FXFFF斜截面上的正应力斜截面上的

7、切应力横截面上的正应力第二节 拉压杆的内力与应力3、拉压杆斜截面上的应力符号的规定压缩为负拉伸为正正应力切应力：对研究对象任一点取矩顺时针为正逆时针为负第二节 拉压杆的内力与应力均为的函数当 = 0 时，max = ，=0，拉压杆最大正应力发生在横截面上，且在此截面上切应力为零。当 = 45o 时，= /2，max = /2 ，拉压杆的最大切应力发生在与杆轴线成45o截面上。当 = 90o 时，= 0， = 0，在平行与杆轴的横向截面上无任何应力。第二节 拉压杆的内力与应力【例题】已知：F = 50 kN，A = 400 mm2，试求： 截面 m-m 上的应力。解：1）轴力与横截面应力2）斜截

8、面 m-m 上的应力第二节 拉压杆的内力与应力第三节 许用应力与强度条件1、许用应力和安全系数极限应力： 对于某种材料，应力的增加是有限度的，超过这一限度材料就要破坏，应力可能达到的这一限度称为材料极限应力u。 韧性材料极限应力为屈服极限s 脆性材料极限应力为强度极限b第三节 许用应力与强度条件1、许用应力和安全系数许用应力：杆件能安全工作的应力最大值，称为许用应力。极限应力许用应力杆件安全工作的条件n 1，n为安全因数第三节 许用应力与强度条件2、强度条件强度条件：杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力。-变截面变轴力拉压杆-等截面拉压杆等截面拉压杆内最大正应力发生在最大轴力所在的横截面上，

9、该截面称为危险截面。危险截面上的正应力称为最大工作应力。第三节 许用应力与强度条件2、强度条件三类强度问题（1）强度校核已知结构构件的荷载、构件的材料、构件的截面尺寸，校核强度条件。第三节 许用应力与强度条件2、强度条件三类强度问题（2）截面设计已知结构构件的荷载和许用应力，根据强度条件选择截面尺寸。第三节 许用应力与强度条件2、强度条件三类强度问题（3）确定许可荷载已知构件的许用应力、截面尺寸，根据强度条件确定许可荷载。第三节 许用应力与强度条件【例题2】：刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力=160MPa，试求：（1）结构的许可荷载；（

10、2）若F=50kN，设计CD杆的直径。2aaFABDC解：1）结构的许可荷载。取ACB杆为研究对象。NCDFNAyNAxACB第三节 许用应力与强度条件NCDFNAyNAxACBCD杆许可轴力结构许可荷载（2）CD杆直径利用NCD与F的关系：CD杆截面面积CD杆截面直径第四节 应变和变形一、应变变形：杆件的几何尺寸和形状在荷载作用下所发生的改变。位移：杆件的变形使得杆件上各点的位置发生改变。线应变：单位长度的变形量。位移ll1杆的纵向应变杆的横向应变dd1第四节 应变和变形一、应变应变的符号：纵向应变拉应变压应变横向应变拉伸压缩泊松比第四节 应变和变形二、胡克定律实验表明工程上大多数材料都有一

11、个弹性（直线）阶段，在此范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量l，与轴力FN和杆长 l 成正比，与横截面面积A成反比，此规律即为胡克定律。E为弹性模量，单位为Pa，其数值随材料而异，由实验测定。EA为杆的抗拉刚度，反映了抵抗拉伸变形的能力。第四节 应变和变形【例题】：图示为一变截面圆杆ABCD，E=210kPa。已知P1=20kN，P2=35kN，P3=35kN。l1=l3=300mm,l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：11，1111，111111截面的轴力，作轴力图;杆的最大正应力max; AD杆的变形。P1P2P3111111111111l1l2l3ABC

12、D第四节 应变和变形解：1）求支座反力。 P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDRX=0R+P3+P2-P1=0R=-50kN第四节 应变和变形2）求轴力并绘制轴力图。 11N1=20kN1111N2=-15kN111111N3=-50kN15+-2050第四节 应变和变形3）求杆的最大正应力。（变截面杆） AB段：DC段：BC段：max = 176.8MPa 发生在AB段。第四节 应变和变形4）求AD杆的变形。AB段：BC段：CD段：第五节 轴压杆的稳定性PP面积均为A=50mm7mm，长度分别为30mm与1000mm，强度极限b=40MPa。按强度考虑，两杆的极限承载能力

13、均应为P=bA=40507=14000N30mm杆：承受接近14000N的压力，且在破坏前一直保持着直线形状；1000mm杆：压力只加到约800N时，就开始变弯，如继续增大压力，则杆的弯曲变形急剧加大而折断。实验结果第五节 轴压杆的稳定性PP细长压杆丧失工作能力不是强度不够，而是由于其轴线不能维持原有直线形状的平衡状态所致，这种现象称为压杆丧失稳定，简称压杆失稳。一、稳定的概念第五节 轴压杆的稳定性一、稳定的概念细长杆受到压力F和干扰力的作用时，当力F不大时，压杆保持直线平衡状态，同时在干扰力的作用下，能够发生微小变形，当去掉干扰力后，又能恢复为原来的直线形状，杆件原来的直线形状的平衡状态称为

14、稳定平衡。当压力F超过某一值时，杆在横向力干扰下发生弯曲，当除去干扰力后，杆就不能恢复到原来的直线形状，而在弯曲状态下保持新的平衡，此时杆件原来的直线形状的平衡状态称为不稳定平衡。第五节 轴压杆的稳定性一、稳定的概念FcrFcrFFcrFFcrFFcr稳定平衡状态压力F作用不稳定平衡状态临界状态临界力第五节 轴压杆的稳定性二、欧拉公式F弯矩挠曲线近似微分方程1、欧拉公式第五节 轴压杆的稳定性1、欧拉公式一元二次微分方程通解边界条件x=0, y=0 x=l, y=0讨论当A=0时当sinkl=0与假设不符第五节 轴压杆的稳定性1、欧拉公式当n=1，得到临界力的公式，即欧拉公式 developed

15、 by Guild Design Inc.为与杆端支承情况有关的长度系数，其取值见表5-2.I为杆横截面对中性轴的惯性矩，其取值见表5-1.第五节 轴压杆的稳定性1、欧拉公式 developed by Guild Design Inc.提高稳定性的措施：第五节 轴压杆的稳定性2、临界应力为压杆长细比（或柔度）。当临界荷载作用时，临界压应力的计算公式 developed by Guild Design Inc.压杆横截面对中性轴的惯性半径第五节 轴压杆的稳定性3、欧拉公式的适用范围欧拉公式是在材料服从胡克定律的条件下导出的，所以只有在临界应力小于比例极限的条件下才能应用。P与材料比例极限相对应的柔度。细长杆或大柔度杆欧拉公式适用中小柔度杆采用经验公式第五节 轴压杆的稳定性三、轴向受压杆的稳定计算1、压杆的稳定条件nst为稳定安全因数s