工程材料91张课件

1、第3章 力系的合成和平衡 3.1 平面一般力系的简化 3.2 平面力系的平衡问题3.3 静定与静不定问题及物体系统的平衡3.5 平面力系的重心和形心思考与练习 3.1 平面一般力系的简化 3.1.1 力的平移定理 力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。 但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。 设在刚体上作用一力F，如图3-1所示，由经验可知，当力F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果发生改变。

2、那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。 图3-1 力的平移定理作用于刚体上某点的力，可以平行移动到刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移点的力矩的转动方向。 证明如图3-2(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点， 要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B点加一对平衡力F和F，并使它们与力F平行，而且F=-F=F，如图3-2(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F组成一对力偶(F, F)。于是，原来作用在

3、A点的力，现在被一个作用在B点的力F和一个附加力偶(F, F)所取代，如图3-2(c)所示， 此附加力偶的力偶矩大小为 （3-1） 图3-2 根据力的平移定理，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力。力的平移定理揭示了力与力偶在对物体作用效应之间的区别和联系: 一个力不能与一个力偶等效， 但一个力可以和另一个与它平行的力及一个力偶的联合作用等效。 图3-3 3.1.2 平面一般力系向一点简化图 3.4 1. 力系的主矢 平移力 组成的平面汇交力系的合力 , 称为原平面任意力系的主矢。 作用点在简化中心O点，大小等于各分力的矢量和，即 （3.2） 在

4、平面直角坐标系中，则有 （3.3） (3.4) 式中， Fx, Fy分别为主矢FR和各力在x, y轴上的投影； FR为主矢的大小；为FR与x轴所夹的锐角，FR的指向由Fx和Fy的正负来确定。 2. 力系的主矩 附加的平面力偶系M1=MO(F1），M2=MO(F2), , Mn=MO(Fn）的合力偶矩的大小为MO，称为原平面任意力系对简化中心O点的主矩，MO等于力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，即MO=M1+M2+Mn=MO(Fi)=Mi（3.5） 值得注意的是，选取不同的简化中心，主矢不会改变，因为主矢总是等于原力系中各力的矢量和，也就是说主矢与简化中心的位置无关； 而主矩等于原力系中各力

5、对简化中心之矩的代数和，一般来说主矩与简化中心有关，提到主矩时一定要指明是对哪一点的主矩。主矢与主矩的共同作用才与原力系等效。 3.1.3 简化结果的讨论 (1) FR0, MO0。根据力的平移定理的逆过程，可将主矢FR与主矩MO简化为一个合力FR，合力FR的大小、 方向与主矢FR相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距 ，如图3.4（e）所示。此合力FR与原力系等效，即平面任意力系简化为一个合力。 (2) FR 0, MO =0。原力系与一个力等效，即原力系可简化为一个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心O。 (3) FR=0,MO0。原力系与一个力偶等效，即原力系可简化为一个合

6、力偶。合力偶矩等于主矩，此时，主矩与简化中心O的位置无关。 (4) FR=0, MO =0。原力系处于平衡状态，即原力系为一平衡力系。 【例3.1】 如图3.5（a）所示，正方形平面板的边长为4a， 在板上A、 O、B、C处分别作用有力F1, F2, 3, F4，其中F1=F, , F3=2F, F4=3F。求作用在板上此力系的合力。 主矢的大小为 主矢的方向为 由于x和Fy都为正，主矢FR指向第一象限。 解 （1）选O点为简化中心，建立如图3.5（a）所示的直角坐标系，求力系的主矢和主矩。 由式（3.2）、 (3.3)、 (3.4)和式（3.5）可得：主矩的大小为 MO= MO(Fi)= M

7、O(F1)+ MO(F2)+ MO(F3)+ MO(F4)=F1a+0+F32a-F4a=Fa+4Fa-3Fa=2Fa 主矩的转向为逆时针方向。 图 3.5 （2）由于FR0，MO0，根据力的平移定理的逆过程， 可将主矢FR与主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向与主矢FR相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距d 力系合力的作用线通过D点，如图3.5（c）所示。 3.2 平面力系的平衡问题 3.2.1 平面一般力系的平衡条件和平衡方程 由上节的讨论结果可知，如果平面一般力系向任一点简化后的主矢和主矩同时为零，则该力系处于平衡。反之，要使平面一般力系处于平衡，主矢和主矩都必须等于

8、零。因此，平面一般力系平衡的必要与充分条件为: FR=0，MO=0。即 由此可得平面任意力系的平衡方程为 式（3.6）是平面一般力系平衡方程的基本形式，也称为一力矩式方程。它说明平面一般力系平衡的解析条件是: 力系中各力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，以及各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。这三个方程是各自独立的三个平衡方程，只能求解三个未知量。 (3.6) 【例3.2】 如图3.6（a）所示为简易起吊机的平面力系简图。 已知横梁AB的自重G1=4 kN，起吊总量G2=20kN，AB的长度l=2m；斜拉杆CD的倾角=30，自重不计；当电葫芦距A端距离a=1.5 m时，处于

9、平衡状态，试求拉杆CD的拉力和A端固定铰链支座的约束反力。 （2） 建立直角坐标系， 列平衡方程。 (a) (b) (c) 解 （1）以横梁AB为研究对象，取分离体画受力图。 作用在横梁上的主动力: 在横梁中点的自重G1、起吊重量G2。作用在横梁上的约束反力: 拉杆CD的拉力FCD、铰链A点的约束反力FAx、FAy，如图3.6（b）所示。图3.6（3） 求解未知量。 由式(a)得 将FCD代入式（b）得 将FCD代入式（c）得 FCD、FAx、FAy都为正值，表示力的实际方向与假设方向相同；若为负值， 则表示力的实际方向与假设方向相反。 （4） 讨论。本题若写出对A、B两点的力矩方程和对x轴的

10、投影方程， 则同样可求解。 即由 解得 FCD=34 kN, FAx=29.44 kN, FAy=7kN 若写出对A、B、C三点的力矩方程 则也可得出同样的结果。 由上面例题的讨论可知，平面一般力系的平衡方程除了式（3.6）所示的基本形式以外，还有二力矩形式和三力矩形式， 其形式如下: (3.7) 其中A、B、C三点不能共线。 (3.8) 其中A、B两点的连线不能与x轴（或y轴）垂直。 由上面例题可知，求解平面一般力系平衡问题的步骤如下: 1） 取研究对象，画受力图 根据问题的已知条件和未知量，选择合适的研究对象；取分离体，画出全部作用力（主动力和约束反力）。 2） 选取投影轴和矩心，列平衡方

11、程 为了简化计算，通常尽可能使力系中多数未知力的作用线平行或垂直于投影轴；尽可能把未知力的交点作为矩心，力求做到列一个平衡方程解一个未知数，以避免联立解方程，但是应注意，不管列出哪种形式的平衡方程，对于同一个平面力系来说，最多能列出三个独立的平衡方程，因而只能求解三个未知数。 3） 解平衡方程， 校核结果 将已知条件代入方程求出未知数。但应注意由平衡方程求出的未知量的正、负号的含义，正号说明求出的力的实际方向与假设方向相同，负号说明求出的力的实际方向与假设方向相反，不要去改动受力图中原假设的方向。必要时可根据已得出的结果，代入再列出的任何一个平衡方程，检验其正误。 3.2.2 平面平行力系的平

12、衡方程 力系中各力的作用线在同一平面内且相互平行,则称平面平行力系。若选择直角坐标轴的y(或x)轴与力系各力作用线平行，则每个力在x(或y)轴上的投影均为零，即Fx0(或Fy0)。于是平行力系只有两个独立的平衡方程， 即 （3.9） 式（3.9）为平面平行力系的平衡方程，它表明平面平行力系平衡的必要和充分条件是力系中各力在与力平行的坐标轴上的投影的代数和为零， 各力对任意点之矩的代数和也为零或二力矩式: (A、B两点连线不能与各力平行) （3.10） 【例3.3】 塔式起重机如图3.7（a）所示，已知轨距为4 m， 机身重G=500 kN，其作用线至机架中心线的距离为4 m；起重机最大起吊载荷

13、G1=260kN，其作用线至机架中心线的距离为12 m; 平衡块G2至机架中心线的距离为6 m，欲使起重机满载时不向右倾倒，空载时不向左倾倒，试确定平衡块重G2 ；当平衡块重G2=600 kN时，试求满载时轨道对轮子的约束反力。 解 （1） 取起重机为研究对象，画受力图。 主动力: 机身重力G，起吊载荷G1 ，平衡块重G2 。 约束反力: 轨道对轮子的约束反力FA、FB。 受力图如图3.7（b）所示。 （2）列平衡方程， 求平衡块重。 满载时的情况。 满载时，若平衡块太轻，起重机将会绕B点向右翻倒，在平衡的临界状态时，FA等于零，平衡块重达到允许的最小值2 min。 MB(Fi)=0 G2 m

14、in(6+2)-G(4-2)-G1(12-2)=0 G2 min=450 kN 图 3.7 空载时的情况。 空载时，起重机在平衡块的作用下，将会绕A点向左翻倒， 在平衡的临界状态时，FB等于零，平衡块重达到允许的最大值G2 max。 A(Fi)=0 G2 max(6-2)-G(4+2)=0G2 max=750kN 因此，要保证起重机在满载和空载时均不致翻倒，平衡块重应满足如下条件: 450 kNG2750kN （3） 列平衡方程，求G2=600 kN，满载时轮轨对机轮的约束反力。 MB(Fi)=0 G2(6+2)-FA4-G(4-2)-G1(12-2)=0FA=300 kN（方向如图） MA(

15、Fi)=0 G2(6-2)+FB4-G(4+2)- G1(12+2)=0FB=1060 kN（方向如图） 【例3.4】 一端固定的悬臂梁AB如图3.8（a）所示。已知: q=10kN/m，F=20 kN，M=10kNm，l=2m, 试求梁支座A的约束反力。 解 (1) 取悬臂梁AB为研究对象，画受力图。 主动力: 集中力F，分布载荷q，力偶M。物体所受的力，如果是沿着一条线连续分布且相互平行的力系称为线分布载荷， 如图中载荷q称为载荷集度，表示单位长度上所受的力，其单位为N/m或kN/m，如果分布载荷为一常量，则该分布载荷称为均布力或均布载荷。列平衡方程时，常将均布载荷简化为一个集中力，其大小

16、为F=ql（l为载荷作用长度），作用线通过作用长度的中点。 约束反力: A端受一固定端约束，其约束反力为FAx、FAy 、 MA。受力图如图3.8（b）所示。 图3.8 （2） 建立坐标系Axy，列平衡方程并求解。 Fx=0 FAx=0 Fy=0 FAy-FQ-F=0其中: Q=ql=102=20 kN，作用在AB段中点位置。FAy=FQ+F=20+20=40kN（方向如图）MA(F)=0 3.3 静定与静不定问题及物体系统的平衡3.3.1 静定与超静定问题的概念 由前面介绍的平衡计算可知，每一种力系的独立平衡方程的数目都是一定的。例如: 平面力偶系只有一个，平面汇交力系和平面平行力系各有两个

17、，平面任意力系有三个。因此，对每一种力系来说， 所能解出的未知数也是一定的。 如果所研究的平衡问题的未知量数目少于或等于独立平衡方程的数目，则所有未知量可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题， 如图3.9（a）、（b）所示。 图 3.9 图 3.10 如果所研究的平衡问题的未知量数目大于独立平衡方程的数目，则所有未知量不能全部由平衡方程求出，这类问题称为超静定问题，或称静不定问题。 如图3.10（a）、（b）所示。把总未知量数目减去总独立平衡方程数目之差称为超静定次数。3.3.2 物体系统的平衡 所谓物系就是指由若干个物体通过约束按一定方式联接而成的系统。当整个物系处于平衡时，系统中每一个

18、物体或某一个局部一定平衡，因此，可取整个系统为研究对象，也可取单个物体或系统中部分物体的组合为研究对象。 作用于研究对象上的力系都满足平衡方程，所有未知量也均可通过平衡方程求出。 在研究物系的平衡问题时，不仅要分析外界物体对于整个系统作用的外力，同时还应研究系统内各物体间相互作用的内力。 由于内力总是成对出现，因此当取整体为研究对象时，可不考虑内力，但内力与外力的概念又是相对的，当研究物系中某一个物体或某一部分的平衡时，物系中其他物体或其他部分对所研究物体或部分的作用力就成为外力，必须考虑。 【例3.5】 多跨静定梁由AC和CE用中间铰C联接而成，支承和载荷情况如图3.11（a）所示。已知:

19、F=10kN, q=5kN/m, M=10 kNm, l=8m。试求支座A、B、E及中间铰C的约束反力。 解 对整体进行受力分析，共有四个未知力，而独立的平衡方程只有三个，这表明以整体为研究对象不能求得全部约束反力。为此可将整体从中间铰处分开，分成左、右两部分，取研究对象进行分析。 （1） 取梁CE为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解。 受力图如图3.11（b）所示。 其中: 作用在CD段的中点。 （2） 取梁AC为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解。 受力图如图3.11（c）所示。 其中: ， 作用在BC段的中点；， 方向如图3.11（c）所示。 图3.11 【例

20、3.6】 三铰拱每半拱重G=300 kN，跨长l=32 m，拱高h=10m，如图3.12(a)所示，试求: 铰链支座A、B、C的约束反力。 图 3.12 解 第一种解法: 先取三铰拱整体为研究对象，再取半拱AC（或BC）为研究对象进行求解。第二种解法: 分别取半拱AC、 BC为研究对象进行求解。第一种解题方法比较简单，下面就介绍第一种。 (1) 先取三铰拱整体为研究对象，画出受力图。 主动力: 两个半拱重力各为G。 约束反力: 铰链支座A、B出的约束反力FAx、 FAy、Fx、FBy。 受力图如3.12(b)所示。 (2) 建立坐标系Oxy，列平衡方程。 (3) 取半拱AC为研究对象，画出受力

21、图。 半拱AC上作用有主动力G，约束反力有FAx、Fy、FCx、FCy， 受力图如图3.12(c)所示。 【例3.7】 如图3.13(a)所示为一曲柄连杆机构，它由活塞、 连杆、曲柄及飞轮组成，设曲柄处于图示铅垂位置时系统平衡， 已知飞轮重G，曲柄OA长为r，连杆AB长为l，作用于活塞B上的总压力为F，不计各构件自重及摩擦。试求阻力偶矩M和轴承O的约束反力。 图 3.13 解 本题是物系平衡的另一类问题，属于运动机构，一般可以按照力的传递顺序，依次取研究对象。 （1） 以活塞为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解。 受力图如图3.13（b）所示。 （2） 以飞轮连同曲柄一起为研究对

22、象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解, 其中FAB =-FAB，它们互为作用力与反作用力，受力图如图3.13（c）所示。 3.5 平面力系的重心和形心 3.5.1 重心的概念及其坐标公式地球上的物体内各质点都受到地球的吸引力，这些力可近似地认为组成一个空间平行力系，该力系的合力为G，称为物体的重力。 不论物体怎样放置，这些平行力的合力作用点总是一个确定的点， 这个点叫做物体的重心。 图3.14 设有一个物体由许多小块组成，每一小块都受到地球的吸引，其吸引力为G1，G2，Gn，它们组成一个空间平行力系（图3.15 ）。该空间平行力系的合力为G，即为该物体的重力，即 若合力作用点为C（，），

23、根据合力矩定理，对轴则有 所以 (3.11a) 同理，对轴，则有 （3.11b） 若将物体连同坐标系统绕轴逆时针方向转过90o，再对轴应用合力矩定理，则可得 (3.11c) 点C为重力作用点，就是物体的重心。式（6.11）即为重心的坐标公式。 图3.15若物体为均质体，则G=V，Gk=Vi，代入式（3.11），并消去，可得 (3.12) 可见，均质物体的重心位置完全取决于物体的形状。于是， 均质物体的重心也就改称为形心。 如果物体不仅是均质的，而且是等厚平板，消去式（3.12）中的板厚，则其形心坐标为 (3.13) 若平面图形处在xy平面内，即zC0，则平面图形的形心公式为 （3.14a） (

24、3.14b) 式中, ,称为平面图形对轴和的静矩或面积一次矩。 上式表明，图形对某轴的静矩等于该图形各组成部分对同轴静矩的代数和。从上式可知，若轴通过图形的形心，即yC=0，则该图形对的静矩为零。相反，若图形对轴的静矩为零，必有 yC =0，即轴通过图形的形心。由此可得出结论： 1） 若某轴通过图形得形心，则图形对该轴的静矩必为零。 2） 若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 3.5.2 确定物体重心的方法 对称法（图解法） 对于均质物体，若在几何形体上具有对称面、对称轴或对称点，则该物体的重心或形心亦必在此对称面、对称轴或对称点上。 若物体具有两个对称面，则重心在两个对称面的交线

25、上； 若物体有两根对称轴，则重心在两根对称轴的交点上。例如， 球心是圆球的对称点，也就是它的重心或形心；矩形的形心就在两个对称轴的交点上。 2积分法（无限分割法）在求基本规则形体的形心时，可将形体分割成无限多块微小的形体。在此极限情况下，式（3.11a）（3.11b）（3.11c）均可写成定积分形式 （3.15） 表3.1 基本形体的形心位置表 表3.1 基本形体的形心位置表 3.组合法（有限分割法）组合法是将一个比较复杂的形体分割成几个形状比较简单的基本形体，每个形体的形心（重心）可以根据对称判断或查表获得，而整个组合形体的形心由式（3.13）求得，具体求解方法以下面的例题加以说明。例3.8

26、 如图3.16所示截面。其中a=100，b=300，c=200，（单位：mm）试求该截面的形心位置。 图3.16 解：方法一：如图选取坐标系，根据对称原理，该形体的形心必在轴上，故有yC0。 将截面分割为三部分C1、C2、C3，如图3.16 （a）所示，每一部分都是矩形，其面积和形心坐标如下： 将以上数据代入公式（ 3.13），得 方法二：将形体分割成两部分：矩形ABCD和矩形EFHK，C1、C2分别代表各自形心位置，如图3.16 （b）所示，其中EFHK的面积为负值。根据对称性，同样有yC=0。 以上数据代入公式（ 3.13），得在这一例题中，综合运用了对称法、组合法。 . 实验法 实验法常

27、用来确定形状比较复杂，或质量不匀的物体，方法简单，且具有一定的准确度。实验法通常采用的方法是悬挂法（图3.17）和称重法（图3.18）。 图3.17采用两次悬挂，重心必在AB和DE的交点上。图3.18采用称重，记录FN，则 图3.17图3.18思 考 与 练 习 3.1 一力系由力F1, F2, F3, F4组成，已知F1= F2= F3= F4，各力方向如练习3.1图所示，试问力系向A点和B点简化的结果是什么？二者是否等效？ 练习3.1图 3.2 如练习3.2图所示，在物体上A、 B、 C三点处分别有等值且互成60夹角的力F1, F2, F3 ，试问此物体是否平衡？为什么? 练习3.2图 3.3 列平衡方程时，坐标轴选在什么方向上可使投影方程简便？ 矩心应选在什么点上可使力矩方程简便？ 3.4 已知沙石与皮带间的静摩擦因数fs=0.5，试问如练习3.4图所示输送带的最大倾角应为多少？ 练习3.4图 3.5 如练习3.5图所示平面力系，已知F1= F2=F, F3= F4= ， 每个方格边长为a。 求力系向O点简化的结果。 练习3.5图 3.6 构件的支承和载荷情况如练习3.6图所示，l=4m， 求支座A、B的约束反力。 练习3.