一对一相似三角形判定复习教案学案含习题答案

1、三角形相似的判定教学目标：1、理解并掌握两个相似三角形判定的方法2、能灵活应用四种判定方法判定两个三角形相似，并能结合相似三角形的性质进行证明3、培养学生的观察、动手探究及归纳总结的能力重点、难点：灵活应用判定方法判定两个三角形相似，并能结合相似三角形的性质进行证明教学内容相似三角形的判定方法：1、有两个角对应相等的三角形相似2、 平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似3、 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似4、 三边对应成比例的两个三角形相似相似三角形的几个基本图形一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD

2、于点E、F，则AGD。分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由BCAD可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分线，求证：ABCBCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36，ABC是等腰三角形，ABC=C=72又BD平分ABC，则DBC=36在ABC和BCD中，C为公共角，A=DBC=36ABC

3、BCD例3：已知，如图，D为ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD。求证：DBEABC分析：由已知条件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要证的DBE和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即： =DBE和ABC中，CBE=ABD, DBC公用CBE DBC=ABD DBCDBE=ABC且=DBEABC例4、矩形ABCD中，BC

4、=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中1=2，则ADEABC称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与ECA解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=，在EAF与ECA中，AEF为公共角，且所以EAFECA针对性练

5、习：1：已知：如图，中，P为AB上一点，在下列四个条件中：；. 其中，能满足和相似的条件是（）2、如图，在正方形网络上有6个斜三角形：，. 其中，中，与三角形相似的是（）A B C D3、已知：如图，在正方形ABCD中，F是BC上的点，且BF3FC，Q是CD的中点求证：ADQQCF二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D点作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=

6、BE，DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DFAC=BCFE例6：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）证明：（1）BAC=900，M是BC的中点，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，评注：命题1 如图，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命题2 如图，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例7：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于

7、F，求证：AE：ED=2AF：FB。分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。与结论相比较，显然问题转化为证。证明：过D点作DGAB交FC于G则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）（1）D为BC的中点，且DGBFG为FC的中点则DG为CBF的中位线，（2）将（2）代入（1）得：针对性练习：1、如图，在ABC中，ABC=60，点P是ABC内的一点，且APB=APC=BPC,PA=8，PC=6,则PB=

8、( )AP:BP=BP:CP BP2=AP*CP BP=4根号32、如图，在ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上的一点，过点C作CFAB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP=PE.PF连结pc BP:PE=PF:BF3、点F是四边形ABCD对角线AC上的一点，EFBC，FGAD，求证：AE:AB=AF:AC CG:CD=CF:AC可得AE:AB CG:CD=AF:AC CF:AC=14如图，在中，已知，于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F. 求证：. 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例9、平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、

9、DP为四角的平分线，求证：SQAB，RPBC分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQAB，只需证明AR：AS=BR：DS。证明：在ADS和ARB中。DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，则，SQAB，同理可证，RPBC例10、已知A、C、E和B、F、D分别是O的两边上的点，且ABED，BCFE，求证：AFCD分析：要证明AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要

10、证明AFCD，只要证明即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。证明：ABED，BCFE，两式相乘可得：例11、直角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC于F，FGAC交AB于G，求证：FC=FG分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。证明： FGACBE，ABEAGF 则有而FCDE AE

11、DAFC则又BE=DE（正方形边长相等），即GF=CF。例12、RtABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF证明：CO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。针对性练习：1已知：如图，在中，、分别是、上的两点，并且；求证：2已知：如图，AD是的中线，. 求证：. 巩固练习1、如图，已知为内一点，为外一点，且，求证：2、已知圆的两条弦BA、DC的延长线交于点F，ADBC交于点E，求证：（1）ABECDE；（2）FA.FB=FC.FD3、在ABC中，AC=AB,A=36，BD是ABC的平分

12、线，求证：（1）ABCBCD；（2）BC是CD与CA的比例中项4如图，在中，交AB于E，垂足为D，若，则_，_，_. 5、如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过点D作DGBC，垂足为G，分别交CE及BA的延长线于点F、H，求证：（1）DG=BG.CG;(2) BG.CG=GF.GH6如图，AD是的高，于E，于F. 求证：. 方法1：AEDF四点共圆方法2：射影定理得AD2=AF*AC=AE*AB AF:AE=AB:AC 相似相等7如图，梯形ABCD中，求. 8如图，中，M为BC的中点，交CA的延长线于D；交AB于E. 求证：. 补充作业一、选择题1（滨州）如图所示，给出下列条件：；其中能

13、单独判定的个数为（ ）A1B2C3D4【关键词】三角形相似的判定.【答案】C4. (安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）CDECAB，（3）CDE的面积与CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：A0个 B1个 C2个 D3个【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形【答案】D 6.（杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A只有1个B可以有2个C有2个以上但有限D有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B8.（江苏省）如图，在方格纸中，将图中的

14、三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A先向下平移3格，再向右平移1格B先向下平移2格，再向右平移1格C先向下平移2格，再向右平移2格D先向下平移3格，再向右平移2格【关键词】平移【答案】D10. （娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A，若OA=0.2米，OB=40米，AA=0.0015米，则小明射击到的点B偏离目标点B的长度BB为（）A3米B0.3米C0.03米D0.2米【关键词】相似三角形【答案】B12.（甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）A12m B10m C8m D7m【关键词】相似三角形判定和性质【答案】A13.（孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90得AOB已知AOB=30，B=90，AB=1，则B点的坐标为（）ABCD【关键词】旋转【答案】A14.（孝感