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文档简介
1、 引言 前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广的应用）.11.4 幂级数一 幂级数及其收敛性二 幂级数的性质三 幂级数的运算一、幂级数及其收敛性1.定义幂级数系数 2.幂级数的收敛点与收敛域因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是区间上的那些点使级数收敛，那些点使级数发散？函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题
2、,实质上是常数项级数的收敛问题.3.和函数定义域是什么?定义域就是级数的收敛域证明由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域由定理11.1知道定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?收敛域是称为幂级数的收敛区间.开区间证明由比值审敛法,例1 求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散;解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为解发散收敛故收敛域为(0,1.解二 幂级数的性质 1 （阿贝尔第二定理）定理11.4证明：2.和函数的分析运算性质:（求和与求极限可交换次序)（求和与求积可交换次序)（求和与求导可交换次序)幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变；说明：在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。 三、幂级数的运算代数运算性质:(1) 加减法(其中(2) 乘法(其中柯西乘积例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是例：由几何级数的收敛得到的几个结论两边求导得 两边积分得解解两边积分得显然，级数的收敛域为（1，1解收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念:思考题思考题解答（注意下角标的灵活处理）思考题 幂级数逐项求导后，收敛半
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