wor版习题课无穷级数

1、 /10第十二章无穷级数章主要内容小结一、数项级数的审敛法1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2、正项级数的审敛法若limu丰0，则级数区u发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别;nnnsp1,收敛=p1,发散;p=1,失效n=1u对一般项出现阶乘、及n次幕形式，多用比值法，limnsUnp1,发散；lp=1，失效对一般项可经缩小与放大处理后化成p级数或几何级数形式，则用p级数或几何级数作为比较标准，采用比较法或极限形式，对比值法与根值法中p二1的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做;u；注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当lim+存在时

2、，limnunT8UnTsnnu也存在，且lim%u=lim士，反之不一定成立。nunTsnTsn3、任意项级数审敛法艺u为收敛级数，若艺u|收敛 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document nnn=1n=1则艺u绝对收敛；若艺u|发散,nnn=1n=1则无u条件收敛;nn=1莱布尼兹判别法：uu0，且limu=0则交错级数区（T）-1u收敛，且|runn+1nnnn+1nTsn=1二）求幕级数收敛域的方法a1、标准形式的幕级数，先求收敛半径R=lim一-，再讨论x=R的敛散性;nTsan+12、非标准形式的幕级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值

3、法（三）幕级数和函数的求法1、求部分和式的极限；2、初等变换法：分解、直接套用公式；3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算4、数项级数求和直接求和：直接变换，求部分和；间接求和：转化成幂级数，再代值；(四)函数的幂级数和傅立叶级数展开式1、函数的幂级数展开直接展开法：利用泰勒级数；间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质；2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。例1若级数艺a与艺b都收敛，且acb(n二1,2,)，证明级数艺c收敛。nnnnnnn=1n=1n=1证明：/0caba(n=1,2,)，则由已知条件区(ba)收敛，根据比较判别

4、法有nnnnnnn=1=yy(ca)收敛，ynnn=1说明：注意比较判别法只对正项级数成立例2c=(cnnn=1n=1判别下列级数的敛散性1)y2+(1)n2；n=12)4)弓(1+n)n2；n=15)a+a)=y(ca)+ya收敛。nnnnnn=1n=1对一般级数不可用。y丄n-nnn=1n(1+ln2n)n=1解：(1)解法1：利用无穷级数收敛的性质：艺22nn=1n=1区匕比都是几何级数，均收敛，所以2nn=1y斗比=y2+y字收敛;TOC o 1-5 h z2n2n2nn=1n=1n=1解法2：该级数为正项级数，利用比较法，因为2+1)二，而S二收敛，所以原级数收敛;2n2n2nn=1

5、解法3：该级数为正项级数，利用根值法，因为lim2+；-1)=21,所以原级数收敛。ns2n2(2)因为lim=1,所以lim；丄=1，由比较法的极限形式知：级数与S1具有相nsnsnMnjnnnnnn=1n=1同的敛散性，而级数y1发散，所以原级数发散。nn=1u(3)利用比值法：limnnsU=limns(n+1)!22(n+1)2(n!)2limn22n2n*=+s，所以原级数发散。(4)利用根值法：limn；unns=lim(右(1+-)n2=lim|(1+丄)n=383nnn83n35)一般项n(1+ln2n)，利用比值法、比较法、根值法都不易判定级数的敛散性，注意到u是单n调递减数

6、列，因为积分f+8dx2x(1+ln2x)=fdlnx.=arctanlnx21+ln2x；arctanln2收敛，所以原级数收敛。因为n而nlnnn-nn8T1，即lim11,n8nlnn所以原级数发散。例31)艺(1)nln上!nn=1(1)n8(2)”-八,n+(1)nn=23)艺(1)n(、n+1n)；n=1nn+1-1)n(n+1)!n=1判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n+1发散,n2)limunfn因为un-n+(1)nvn一(1)nvn(1)n兰芈匕收敛，兰1n1n1n=2发散，所以n=2为一丄警-亠发散。vn+(1)nn1n1n=2n=2(3)u=xn+

7、1vn=.:nn+1+y/n%n+2+n+1=u,且limu=lim+1nsnns=0，原级数收敛，而区(；n+1x:n)=区发散，所以原级数条件收敛。n+1+x：nn=1n=14)unnn+1u.(n+1)n+2=，lim+1=lim(n+1)!nsuns(n+2)!n=lim(n+1)2(1+丄)n=e1,n*(n+2)nn所以原级数发散。n+11解：(1)因为u=ln=ln(1+)单调递减，且limu=0，由莱布尼兹判别法知级数收敛nnnn8ns=工ln*=lim=0，但1不单调，所以不能用莱布尼兹判别法,nw、：n+(1)nn+(1)n=工ln(k+1)lnk=ln(n+1)ln1=l

8、n(n+1)+8，所以区lnnkk=1k=1n=1原级数条件收敛。(n+1)!nn+1，则级数绝对收敛。说明：若级数改为区(-1)nn=11)区亡(a0);n=1gna(2)为(a0)；ann=1解题思路：(1)nnpn=1一般项中含有参数0需注意对参数进行讨论。解：(1)注意到limannT8a=1，故就a1,a=1,0a1当0a1时，u1+anan=(丄)n，而级数无(丄)n为公比绝对值小于1的几何级数，是收敛的，由aan=1T2(nTg)，由级数收敛的必要条件知原级数发散;比较法原级数收敛。综上所述：当a1时原级数收敛；当0a1时，原级数发散。nananna12)一般项un=中含有n次幕

9、，用根值法。因为limn-u=limn=lim=，nsannTgnnTgIannTgaa由根值判别法,当1时级数收敛;当丄1时，即0a1时级数发散；丄二1时，即a二1时根值法失效，此时alimunnT8=limn=+g0，由必要条件得级数艺n发散。nTgn=1综上所述：当0a1时原级数收敛。(3)这是交错级数，其绝对值级数为p级数，需分p1,0p1,p1时，其绝对值级数艺1是收敛的，所以原级数绝对收敛;npn=1当0p1时，其绝对值级数艺是发散的，而级数区(-1)n是交错级数，由莱布尼兹判别法可知npnpn=1n=1其收敛，所以原级数条件收敛。1当p0，v0，所以uv0，且(u+v)2=u2+

10、2uv+v20。又已知级数艺unnnnnnnnnnnn=1和艺v收敛，如果级数区u2和区v2收敛，由不等式nnnn=1n=1n=12uvN时，有0u1,TOC o 1-5 h znnnn=1从而u2u，由比较判别法，级数艺u2收敛，同理可证级数艺v2收敛。nnnnn=1n=1又因为2uvu2+v2，而区(u2+v2)收敛，由比较法知级数区2uv收敛,nnn=1nnn=1所以艺(u+v)2=y(u2+2uv+v2)收敛。nnnn=1n=1例6求下列幂级数的收敛半径与收敛域01)yn=12+(1)nXn2n2)ynx2n；2nn=13)yn=13n+(2)n(x+1)n；解：(1)因为a=2+；1

11、)n2n(n=1,2,)，而limnsan+1an=lim；+(氣不存在，用比值法求收敛半nfg22+(1)n1径失效，故用根值法。因为石p=limp=nns=lim去莎nfg2n2+(1)n2n02n=21，所以R=2。此级数发散；当x=2时，原级数为2+(1)n，由lim2+(1)丰0,nfgn=1同理，当x=2时，原级数艺2+(1)n(1)n发散;n=1所以所求收敛域为(-2,2)。n(2)因为u(x)=x2n(n=1,2,)，原级数缺少x的奇次幕项，故直接用比值法。因为2nP=limnsu(x)n+4u(x)n=limns(n+1)2nx2(n+1)2n+1nx2nx22v1,所以|x

12、|2,R=x2,当x=；2时，原级数艺n发散,n=1所以所求收敛域为(2冋。3)因为u(x)=3+(-2)(x+1)n,n令y=x+1，原级数为艺竺土Eyn，取ann3n+(-2)n，n=llimnT8=limnT83n+1+(-2)n+1n3n+(-2)n(n+1)-3时，考察级数=limnT823n+11+(-3)n+1n3n1+(-|)n(n+1)1=3，所以R=3艺竺(-1)n，易知级数艺匕n3nn=1n=1与y丄W)n都收敛,n3n=1所以级数当y=1时，考察级数艺n=1(1)n，因为艺1发散，级数艺匕(|)n收敛,3nn3n=1n=1所以级数y3n+(-2)n1乙(一)n收敛;n=

13、1n3n=142域为-3，-3)。例7求幕级数区需xn的和函数n=1解：因为p=limnTg1(n+1)(n+1n(n+1)=1，且x=1时原级数收敛，所以收敛域为-1,1。注意到发散；y3n+(-2)n1厶/()nn=1从而幕级数无3n+(-2)nyn的收敛域为-1,1)，由y=x+1解不等式-3x+1*得原级数的收敛xn1yxn+1x2n+1n=1令s(x)=S，则s(0)=0，当x丰0时s(x)=Sxn-1=n(n+1)n+1n=1n=1再令s(x)=S1xn+1n+1n=1，贝yss(x)=Sxn1n=1s(x)=Jxs(x)dx+s(0)=Jx(-1)dx=-x-ln(1-x)(x丰

14、1),101101-x11ln(1-x)故s(x)=s(x)=-(x丰0,x丰1)，x21xx2s(x)=Jxs(x)dx+s(0)=Jln(1-x)dx00 xx2I*111=limJx-1-ln(1-x)dx=1+二ln(1-x)，et0+gxx2x=亠-1，所以1-xS(1)丄洁)n=1上丄nn=11=lims(1)=lim1-+223+-=1.nn+1；0所以s(x)=1x丰0,x丰11+1_ln(1-x)xy8n2的和。n!n=1解法1:考察幕级数无n!n=1易知收敛域为+8），由s(x)=艺xn-1=Sxn-1n!(n一1)!n=1n=1=SJx竺丄dx，=艺丄二,o(n一1)!、

15、(n一1)!n=1n=1Y=x艺A丫=(xex)=xex+exn!n=0得s(1)=2e，从而S-=2en!n=18n28n8n-1+1解法2：n!n=1n=1(n-1)!n=1(n-1)!+（n一2）!（n一1）!n!n=2n=1n=0例9将下列函数展开成x的幕级数1=艺丄+区丄=e+e=2e。n!n=0 x2(2)f(x)=ln(x+：1+x2)；解：(1)f(x)是有理函数，应将其化为幕函数与部分分式乘积的形式，再利用相应公式展开。x2f(x)=x2丄x2+3x+2x+1x+2=x2-1=x2区(1)nxn1区(1)n()n1+x2(1丄x)222=x2区(1)n11xn=E(1)n11

16、x”+22n+12n+1n=0n=0(2)先对f(x)求导，得f(x)=ln(x+V1+x2=，利用(1+x)m的展开式展开=1+x21+x2对展开式逐项积分求解。因为1-1113=(1+x2)2=1x2+x4+(-1)nvi+x2224(2x2”+(2n)!=1+才(-1)nn=1(2n-1)!(2n)!x2n,xe-1,1所以ln(x+1+x2)=Jx,=x+(1)”ojl+x2n=1(2n-1)!(2n)!(2n+1)x2n+1,xe-1,1。例10求幕级数艺(1)n-1(1+1、)x2n的收敛域与和函数f(x)(05年考研题)。n(2n-1)n=1解：因为(1)n-1x2n=x2(x2

17、)n-1n=1n=1=去(-1x1)(1)n-1%2nn=1n(2n-1)=2区(1)n-1Jxdx=2Jxxn1dx=2J艺Jxx2n-2dxdx02n-102n-100n=1n=1n=1x2n-1=2JJ乏x2n-2dxdx=2JJxdxdx=2Jxarctanxdx=2xarctanx2Jxxdx00001+x2001+x2n=1=2xarctanx-ln(1+x2)(-1x1)x2所以幕级数的收敛域是(-1,1)，/(x)=口+2xarCtanx-ln(1+x2)。En兀x八-一、,、,2、,bsin(sx+s)，其中n2n=1b=J2f(x)sinnKXdx(n=1,2,)，求s(-

18、1)和s(0)。n02分析：此题不需要进行傅立叶展开，而是应用狄利克雷定理判别当x=0和x=-1时，级数收敛于何值。解：由已知s(x)是f(x)在0,2上的正弦级数，也是奇函数F(x)=；-x-2x0在-2,2上I2-x0 x2的傅立叶(正弦)级数。由狄利克雷定理，在F(x)的连续点x=-1处，s(-l)=F(-1)=-1；在F(x)的11间断点x=0处，s(0)=2F(0-0)+F(0+0)=2(-2+2)=0。例12将f(x)=|sinx|(兀x5兀)展成傅立叶级数。.Isinx0 x兀分析：由f(x)=lsin=I-sinx-kx0，易知函数f在-兀上连续，且有3个极值点满足狄利克雷收敛定理条件，将f(x)以2兀为周期做周期延拓后，直接求傅立叶系数。解：将f(x)以2兀为周期做周期延拓，由f(x)为偶函数，得b=0(n=1,2,)，n=三f(x)cosnxdx=三sinxcosnxdx=丄JKsin(n+1)x+sin(1-n)xdx0an兀0兀01rcos(n+1)xcos(1一n)x=-+|冗兀n+11一n0=丄(-1)n-1一1111兀n+11-n丄-丄=n-1n+1兀(n2-1)n=2k-1(n丰0,1)(-1)n-1-14兀(4k2-1)2I